Composizione dell asse. geometrie di transizione

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1 Composizione dell asse geometrie di transizione

2 Principali criteri di composizione dell asse La lunghezza massima dei rettifili è limitata dalla normativa ad un valore pari a 22 V p max ; le ragioni di tale limitazione sono da individuare nei seguenti fatti: Limitare le velocità dei veicoli Ridurre la monotonia dei tracciati Consentire una adeguata valutazione delle distanze Contenere i fenomeni di abbagliamento La lunghezza minima dei rettifili è limitata dalla normativa per valori variabili con la velocità; tale limitazione deriva dalle esigenze di percezione della geometria che condizionano il fenomeno della guida La lunghezza minima delle curve circolari imposta dalla normativa per garantire che l utente possa percepire l elemento geometrico è tale che il tempo minimo di percorrenza in curva sia pari 2.5 secondi La normativa inoltre, al fine di assicurare un livello minimo di omogeneità geometrica del tracciato, impone un rapporto tra raggi planimetrici di curve consecutive e una relazione tra lunghezza di un rettifilo e raggio della curva adiacente

3 Le geometrie di transizione 1 Nel passaggio tra un rettifilo e un arco di cerchio si determina una brusca variazione di curvatura che comporta: per i veicoli a guida vincolata (ferrovia) significativi effetti dinamici (contraccolpo c=da t /dt), per i veicoli stradali l impossibilità di descrivere traiettorie coincidenti con la geometria dell asse della corsia Per contenere questi effetti è opportuno introdurre tra rettifilo e arco di cerchio una geometria a curvatura variabile di opportuno sviluppo. Può utilizzarsi allo scopo una spirale clotoidica del tipo r s n =A n+1 ove s indica lo sviluppo generico della curva a partire dal punto ove 1/r = 0 (punto di flesso) Essendo A>0, la clotoide in un sistema cartesiano si sviluppa nel I e III quadrante. Poiché il punto finale della clotoide deve coincidere con il punto di inizio della traiettoria circolare risultando ad essa tangente deve essere: R L n =A n+1 da cui A = (R L n ) 1/(n+1) Inoltre la curvatura locale 1/r dipende dal valore assunto per l esponente n: 1/r = 1/R (s/l) n

4 Le geometrie di transizione 2 Nota la legge di variazione delle velocità lungo un tratto clotoidico, la curvatura locale varierà in funzione del tempo di percorrenza con la seguente legge: 1/r = 1/R [v(t) t / L] n In funzione delle necessità che si intendono soddisfare (variazione delle curvature nel tempo e nello spazio) potrà ricavarsi il parametro n che definisce il grado della clotoide. L angolo di deviazione di un arco clotoidico di sviluppo s può ricavarsi considerando uno sviluppo infinitesimo nell intorno dell ascissa curvilinea s, approssimarlo ad un arco di cerchio per il quale ds = r dα Essendo r = A n+1 / s n sostituendo ed integrando si ottiene E nel punto finale α s = s / [r(n+1)] α f = L / [R(n+1)] Pertanto, a parità di altre condizioni, tanto maggiore è n tanto minore risulterà la deviazione realizzata dalla clotoide rispetto al rettilineo.

5 Le geometrie di transizione 3 In funzione delle esigenze progettuali, assunta una legge del moto v(t) e imposto un predeterminato andamento delle curvature, può ricavarsi il grado n della clotoide. Se si considera una variazione lineare della curvatura, per velocità costante si ha n=1 N.B. Predeterminato il grado della clotoide l equazione gode di un solo grado di libertà. Imponendo quindi una condizione tutte le altre variabili risultano univocamente determinate. Trasformazione della clotoide in coordinate cartesiane Approssimando l arco infinitesimo alla corda sottesa possiamo scrivere dx = ds cos α & dy = ds sin α essendo rs n = A n+1 si ricava s = [(n+1) α] 1/(n+1) A dalla precedente si può ricavare ds = A dα / [(n+1) α ] n/(n+1) per sostituzione si ha infine dx = A cosα / [(n+1) n α n ] 1/n+1 dα & dy = A sinα / [(n+1) n α n ] 1/n+1 dα Il sistema di equazioni non è integrabile in forma chiusa, ma per via numerica (sviluppo in serie) è possibile definire la soluzione del sistema generale per A=1 e per A diverso dall unità sarà sufficiente moltiplicare la soluzione generale per il valore assunto dal parametro A

6 Le geometrie di transizione in ferrovia La necessità di introdurre una curva di transizione tra rettilineo e arco di cerchio nella geometria ferroviaria deriva dal fatto che in assenza di essa si determina nel punto di raccordo l insorgere istantaneo di un accelerazione centripeta ed il conseguente sviluppo impulsivo di una forza centrifuga, che può indurre sollecitazioni dinamiche non compatibili al contatto ruota rotaia. E pertanto indispensabile limitare la variazione nel tempo dell accelerazione attraverso l introduzione di una geometria a curvatura variabile (1/ρ), alla quale corrisponda una variazione regolare della curvatura. Definito come contraccolpo (C) la variazione nel tempo dell accelerazione centripeta (a c ) e limitandone superiormente il valore ad un limite prefissato (C max ), compatibile con le esigenze strutturali si può scrivere: da c /dt = Cmax da c /dt = d(v 2 /ρ)/dt nell ipotesi di v=costante da c /dt = v 2 /ρ 1/t Cmax = v 2 /ρ v/s = v 3 /(ρ s) da cui: ρ s = cost = A 2 Che rappresenta, in coordinate intrinseche, l equazione della clotoide, spirale (ρ s n = A n+1 ) di grado n=1

7 Le geometrie di transizione stradali 1 Nella geometria stradale l opportunità di inserire una curva di transizione tra arco di cerchio e rettilineo deriva da problematiche sostanzialmente differenti rispetto a quanto discusso per il caso ferroviario. Infatti essendo il veicolo stradale non vincolato ad una specifica traiettoria imposta geometricamente, può percorrere ed in generale percorre una propria traiettoria di transizione che è definita dalla sterzatura applicata dall utente alla guida. D altra parte una geometria priva di transizione tra cerchio e rettilineo non può essere esattamente percorsa dal veicolo stradale considerata l impossibilità di ruotare istantaneamente lo sterzo nel punto di raccordo in modo da passare dall assetto delle ruote in rettilineo ad un assetto deviato di uno specifico angolo θ R che consenta di percorrere l arco di cerchio di raggio R. Ciò sarebbe possibile in prima approssimazione solo se il veicolo si fermasse in corrispondenza del punto di raccordo e, a veicolo fermo, l assetto delle ruote passasse da θ=0 a θ=θ R. Pertanto allo scopo di disporre di una geometria dell asse stradale teoricamente percorribile da un veicolo è indispensabile inserire un arco di transizione tra il rettilineo ed il cerchio, tale per cui la curvatura vari lungo la transizione regolarmente e l utente possa articolare una manovra così che la traiettoria del veicolo non si discosti dall asse stradale. Assunto che il passo tra il treno delle ruote anteriori e posteriori di un generico veicolo si pari a p, la curvatura nel generico punto dell arco di transizione sia 1/ρ e l angolo al centro che sottende il passo p sia θ, si ha: p = θ ρ= ρ (dθ/dt) dt = ρ (dθ/dt) (s/v) da cui ρ s = v p / (dθ/dt) Assunta una velocità costante (v) e una velocità di sterzatura costante (dθ/dt) si ottiene l equazione in coordinate intrinseche della clotoide ρ s = cost = A 2, spirale (ρ s n =A n+1 ) di grado n=1

8 Le geometrie di transizione stradali 2 Il dimensionamento di una clotoide deve rispettare alcuni criteri al fine di garantire una configurazione idonea sotto il profilo della sicurezza dell esercizio viario. In particolare: per quanto attiene i criteri di natura ottica: si deve garantire che la clotoide abbia uno scostamento dal rettilineo sufficiente da essere percepita dall utente L > 4.90 (R) 1/2 si deve garantire che la clotoide abbia una deviazione per un angolo di ampiezza sufficiente ad essere percepita A > R/3 per quanto attiene il contraccolpo: si deve garantire che il contraccolpo sia inferiore ad un valore massimo accettabile A > V 2 per quanto attiene le sovrapendenze: si deve garantire che la rotazione della sagoma stradale non avvenga così velocemente da indurre accelerazioni di rollio eccessive i max = 18 B/V per quanto attiene le pendenze minime di piattaforma: si deve garantire che la rotazione della sagoma non avvenga troppo lentamente per cui il tratto a pendenza trasversale < 2.5% sia troppo esteso i min = 0.1 B per quanto attiene gli aspetti strettamente geometrici: si deve garantire che la lunghezza della clotoide non sia superiore ad una lunghezza massima legata alla necessità di inserire un arco di cerchio L < R ω

9 Sistemazione planimetrica dei cigli 1 In curva circolare è necessario verificare la necessità di un eventuale allargamento della sezione. Tale allargamento può essere dovuto ad alcune ragioni riconducibili a condizioni di carattere geometrico, dinamico e riconducibili alla dinamica di guida. 1.Esigenze geometriche Un veicolo in curva spazza un area maggiore rispetto a quella spazzata in rettilineo: la dimensione dell allargamento δ è facilmente calcolabile considerando il veicolo in curva e assumendo il Centro Istantaneo di Rotazione dell atto di moto rotatorio del veicolo coincidente con il centro dell arco di cerchi che definisce la curva stradale. In buona approssimazione, assunto CD il passo tra le ruote anteriori e posteriori, l allargamento d è pari a δ=cd 2 /(2R) 2.Esigenze dinamiche Un veicolo in curva è sottoposto ad un sistema di forze trasversali diverso da zero (una componente della forza centrifuga e una componente della forza peso). Tali forze determinano una deformazione dello pneumatico. Tale deformazione comporta la deviazione della traiettoria del veicolo per effetto di deriva. L angolo di deriva (ω) risulta dipendente dalla rigidezza dello pneumatico e generalmente è inferiore ai 3. Quando prevale la forza centrifuga sulla forza peso (in genere autoveicoli) si ha uno spostamento in avanti del Centro Istantaneo di Rotazione rispetto al Centro della curva con conseguente deriva positiva, nel caso in cui prevale la forza peso (in genere veicoli pesanti) si ha un arretramento del CIR con conseguente deriva negativa. E possibile valutare d anche in questo caso: δ=(cd-ωr) 2 /(2R). 3.Esigenze connesse alla dinamica di guida Il veicolo che percorre una curva ha in genere una traiettoria non coincidente con la geometria dell asse stradale, e si evidenzia una dispersione delle reali traiettorie funzione della velocità.

10 Sistemazione planimetrica dei cigli 2 Laddove non risulti necessario alcun allargamento in curva, nella zona di transizione la planimetria dei cigli è realizzata con una curva geometrica detta equicentrica. Infatti l utilizzo di una clotoide di ciglio non è praticabile poiché: fissato il punto di inizio della curva di ciglio (inizio della transizione) e il punto di fine (inizio dell arco di cerchio), determinato a fronte della necessità di mantenere la sezione stradale di dimensione costante, risultano due vincoli a fronte di un unico grado di libertà della clotoide (parametro A), quindi è necessario verificare che l equazione della clotoide possa soddisfare simultaneamente tali vincoli, calcolando la lunghezza della eventuale clotoide di ciglio (L ciglio =L asse [(R-b)/R] 0.5 ) e quindi l angolo di deviazione finale, si può verificare facilmente che l angolo finale della clotoide di asse è diverso da quello della clotoide di ciglio quindi non esiste una curva clotoidica che soddisfa i vincoli imposti. La curva equicentrica è il luogo dei punti individuati lungo l ortogonale alla tangente alla clotoide di asse nel punto generico P, distanti dal punto P una lunghezza b pari alla dimensione della corsia. Il generico punto P dell equicentrica risulta dalle seguenti coordinate, avendo assunto un sistema di riferimento con origine coincidente con il punto di inizio della clotoide di asse e gli assi coordinati ortogonale e tangente a detta clotoide: x P = x P b sin α y P = y P + b cos α essendo P un generico punto della clotoide di coordinate x,y e angolo di deviazione della clotoide in P pari a α In caso di allargamento, la normativa descrive il metodo da applicare.

11 Sistemazione altimetrica dei cigli La sagoma stradale in rettilineo ha una configurazione trasversale diversa da quella in curva, è pertanto necessario provvedere ad un raccordo altimetrico dei cigli in modo da garantire che tale variazione avvenga con continuità. In genere tale raccordo si sviluppa lungo il tratto di transizione provvedendo ad una rotazione della sagoma attorno all asse stradale in modo da sollevare con continuità il ciglio esterno sino alla quota prevista in curva. Nel tratto in cui avviene tale rotazione, quando le due falde stradali risultano complanari (pendenza 2,5 % di entrambe nella medesima direzione) si provvede a ruotare rigidamente l intera sagoma a doppia falda. Per gli schemi grafici si faccia riferimento a quanto riportato in normativa. E opportuno sottolineare che nel tratto di raccordo altimetrico dei cigli la sezione stradale si mantiene per uno sviluppo con pendenze trasversali inferiori al limite di norma del 2,5 %. Per limitare tale sviluppo della strada ad estensioni contenute, la normativa impone una velocità minima di rotazione della sagoma in modo che il tratto a pendenza inferiore al 2,5 % resta confinato in uno sviluppo assai modesto e il conseguente rischio di formazione di un velo idrico conseguente a eventi di pioggia sia basso. E opportuno notare che, laddove l inizio del raccordo altimetrico dei cigli coincida con l inizio dell arco a curvatura variabile (clotoide), per il tratto di strada compreso tra l inizio della clotoide e la sezione in cui si ha una pendenza trasversale della falda esterna nulla (falda orizzontale) si hanno condizioni sfavorevoli rispetto all equilibrio dinamico del veicolo allo slittamento e al ribaltamento. Infatti la componente della forza peso connessa alla pendenza trasversale della piattaforma gioca a sfavore di sicurezza piuttosto che in favore come nel tratto susseguente. Ciò suggerisce di anticipare l inizio del raccordo altimetrico dei cigli già nel tratto in rettilineo, in modo da avere in clotoide una pendenza trasversale favorevole alla stabilità del veicolo.