4πε. Esercizio 1. per r > R A. E = 0 per r R A, E =

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "4πε. Esercizio 1. per r > R A. E = 0 per r R A, E ="

Liliana Ferrario
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Esercizio 1 a) Il campo elettrostatico E all interno e all esterno della sfera di raggio R A deve essere, per simmetria, radiale ed assumere lo stesso valore in ogni punto di una generica sfera concentrica ad essa. Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio r concentrica alla sfera dell esercizio si ottiene: 1 Q E = per r R A, E = 2 4πε r per r > R A. dove Q è la carica portata sulla sfera dal generatore (la quale per le proprietà dei conduttori si distribuisce uniformemente sulla superficie). Questa distribuzione di campo radiale è identica a quella generata da una carica puntiforme posta nel centro della sfera. Per ottenere tale carica si utilizza la condizione sul potenziale della sfera rispetto all infinito (massa): V A = 1 4πε Q R A Q = 4πε R A V A Il campo elettrico per r > R A risulta dunque: V R E = 2 r A A. Dal momento che V A è positivo, anche Q è positiva e le linee del campo sono orientate verso l esterno, come nell figura qui sopra. b) Il lavoro L necessario per caricare la sfera viene compiuto dal generatore ed è opposto al lavoro L el compiuto dalla forza elettrostatica. Si ha: L = L el = E p = 2 1 C V 2, dove la capacità della sfera è C = 4πε R A = F e la differenza di potenziale rispetto a massa è V = V A. Da cui: L = J

2 c) Anche in questo caso il campo elettrostatico E deve essere, per simmetria, radiale ed assumere lo stesso valore in ogni punto di una generica sfera concentrica alle sfere conduttrici. La seconda sfera subisce induzione completa ed accumula sulla sua superficie interna (T. di Gauss) una carica pari in modulo ed opposta in segno a quella sulla sfera di raggio R A ; sulla superficie esterna non vi è carica a causa del collegamento a massa. Applicando il T. di Gauss, si ha: E = E = 1 4πε E = Q R A r < R A R A < r < R B r < R B Q è la carica presente sulla sfera interna, diversa da quella presente nel caso trattato al punto a) La capacità C del condensatore sferico così formato è RARB C = 4πε = F R R B A e il lavoro per caricare il condensatore L = J. Si noti che la capacità C è doppia rispetto alla capacità C di cui al punto a). Ciò vuol dire che Q = 2Q, poiché il potenziale della sfera di raggio R A rimane lo stesso, e quindi il campo elettrico per R A < r < R B è il doppio di quello ottenuto al punto a).

3 Esercizio 2 a) La potenza W dissipata da una resistenza R, sottoposta ad una differenza di potenziale elettrico V ed attraversata da una corrente di intensità I vale: W = V I = R I 2 = V 2 / R. Per dissipare una potenza di 1 W con un alimentazione di 22 V la lampadina deve quindi possedere una resistenza elettrica R pari a: R = W V 2 = 484 Ω. b) La seconda legge di Ohm descrive la dipendenza della resistenza di un cilindro conduttore in funzione della resistività ρ del materiale e delle sue caratteristiche geometriche: L R = ρ D = π D / 2 ( ) 2 4ρL πr = m. c) La resistenza di due lampadine identiche poste in serie è R eq = 2R, e quindi la potenza dissipata è paria a W = V 2 / R eq = 5 W.

4 Esercizio 3 a) Si veda nel grafico qui a fianco il diagramma vettoriale dell orientamento della forza che agisce su un singolo tratto orizzontale della bobina. Nella geometria riprodotta nel diagramma la forza esercitata sul filo è rivolta verso l alto se la corrente, misurata nel verso indicato dalla freccia, è positiva. Per il terzo principio della dinamica (legge di azione e reazione), al magnete è applicata una forza di direzione opposta rispetto a I N F B θ S quella esercitata sulla spira. Nel caso rappresentato in figura la bilancia leggerebbe un incremento della forza che agisce sul piatto su cui è posto il magnete. L espressione del modulo F della forza è F = N I L B senθ. b) Il modulo della forza, a parità di corrente elettrica, è proporzionale a senθ. Si converta la θ [ ] m [g] F [N] F / (NILsenθ ) [T] forza misurata dalla bilancia da grammi-peso in Newton e si sottragga il peso del magnete (che E-3 altro non è che il valore della forza, espressa in E-2 grammi-peso, ottenuta per θ = ), come E-2 riportato nella tabella qui a lato. Il grafico più adatto per mostrare che la relazione di cui al punto a) è valida è mostrato qui sotto, nel quale F è riportata in funzione di senθ. Si noti che F è negativa, quindi fra bobina e magnete agisce una forza attrattiva. La retta mostrata in figura è quella che interpola i dati minimizzando l errore quadratico medio

5 . -.2 F (N) sen(θ ) c) In tabella è pure riportato valore F/(NILsenθ)), che, entro una banda di incertezza pari a circa ± 3% è costante ed ha un valore medio pari a -.11 T, pari al modulo B del campo magnetico: F 1 B = senθ NIL = 1.1 mt.

6 Esercizio 4 a) Come di può facilmente ottenere dall espressione della legge di Lorentz, il valore I della corrente che è necessario far circolare è: I = lb F = B f = 1 A dove l è la lunghezza del conduttore misurata lungo la direzione in cui scorre la corrente elettrica. b) All equilibrio stazionario la forza elettrostatica compensa quella di Lorentz: qe = qvb dove q è la carica del singolo portatore, v è la velocità di deriva, E e B sono il campo elettrostatico all interno del conduttore (in direzione parallela alla freccia V) e B è il campo magnetico. Da qui: V = EL = vbl Ricordando il legame tra J e le grandezze elettriche microscopiche: J = S I = q n e v Otteniamo (per corrente di elettroni ): IBL V = =.625 µv qns c) La differenza di potenziale rappresentata in figura ha i seguenti segni: V < per q < V > per q >

Documenti analoghi

σ int =. σ est = Invece, se il guscio è collegato a massa, la superficie esterna si scarica e la densità di carica σ est è nulla. E =.

σ int =. σ est = Invece, se il guscio è collegato a massa, la superficie esterna si scarica e la densità di carica σ est è nulla. E =. Esercizio 1 a) Poiché la carica è interamente contenuta all interno di una cavità circondata da materiale conduttore, si ha il fenomeno dell induzione totale. Quindi sulla superficie interna della sfera