COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI

Transcript

1 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 23 gennaio 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. In Svizzera, al primo gennaio di ogni anno, tutti i cittadini vengono sottoposti a vaccinazione contro l influenza annuale. Al primo gennaio 22 i cittadini residenti erano per il 7% di lingua tedesca, per il 2% di lingua francese e per il % di lingua italiana. Volendo conservare le preferenze dei cittadini, gli amministratori svizzeri hanno somministrato ai cittadini di lingua tedesca il vaccino T, a quelli di lingua francese il vaccino F e a quelli di lingua italiana il vaccino I. I vaccini però hanno un efficacia diversa, e quindi la probabilità per un cittadino di lingua tedesca di rimanere immune dall influenza nel 22 è del 99%, per un cittadino di lingua francese è del 96%, e per un cittadino di lingua italiana il 9%. (a) Qual è la probabilità che un cittadino svizzero si ammali di influenza nel 22? (b) Se un cittadino svizzero si ammala, qual è la probabilità che sia di lingua italiana? Soluzione: (a) La probabilità cercata p è la somma delle probabilità che si ammalino un cittadino svizzero di lingua tedesca, uno di lingua francese ed uno di lingua italiana (gli eventi sono fra loro disgiunti). Abbiamo dunque p = =, 7 +, 8 +, =, 25. (b) Questa è una probabilità condizionata, ossia si deve calcolare la probabilità che un cittadino sia di lingua italiana, sotto la condizione che si ammali. Questo si calcola con il rapporto Probabilità di un cittadino italiano ammalato Probabilità di essere ammalato =,, 25 =, 4.

2 2. L osservatorio internazionale sui cambiamenti climatici ha registrato le temperature nel mondo nell arco del decennio 2-2. All inizio del decennio la temperatura media mondiale era di 4 o, alla fine era di 6 o e in generale la temperatura mondiale al tempo t (dove t è il numero di anni trascorsi dall inizio del periodo) era di t2 gradi. Determinare il valor medio della temperatura media mondiale e la sua varianza nell arco del decennio. Soluzione: Il valor medio e la varianza sono E[X] e Var[X], dove X è la variabile aleatoria che assegna il valore della temperatura al tempo t, dove t varia fra e. Poiché il periodo che si considera è un intervallo di anni, la funzione di distibuzione, costante nel tempo, è uguale a. e µ = E[X] = (4 + 5 t2 )dt = ] [4t + t3 = Var[X] = E[X 2 ] µ 2 = (4 + 5 t2 ) 2 dt ( )2 = [ 4t t3 + ] 25 t5 ( )2 = = 6 45.

3 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 3 febbraio 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. La ditta SNAT costruisce dadi cubici in cui su una faccia c è il numero, su due facce il numero 2 e su tre facce il numero 3. (a) Qual è la probabilità che, tirando due dadi, la somma faccia 5? (b) Qual è la probabilità che, tirando tre dadi, la somma faccia 8? (c) Qual è, in media, la somma che si ottiene lanciando 6 dadi? Soluzione: (a) Supponiamo, per distinguerli, che un dado sia rosso e l altro sia blu. Si può ottenere somma 5 in due modi: 2 con il dado rosso e 3 col dado blu o 3 col dado rosso e 2 col dado blu. Pertanto la probabilità cercata è = 3. (b) Supponiamo che il terzo dado sia nero. Per ottenere 8 bisogna che ci sia 3 in due dei dadi e 2 nel terzo. Ci sono tre casi possibili (2 nel dado rosso, nel dato blu e nel dado nero). Per simmetria, tutti hanno la stessa probabilità. Pertanto la probabilità cercata è 3 ( ) = 4. (c) Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il lancio di un dado. Allora E[X] = = 7 3. Poiché i lanci sono indipendenti, abbiamo E(6X) = 6E[X] = = Un generatore di numeri a caso fornisce numeri nell intervallo [, ] con una densità di distribuzione data dalla funzione f(x) = λe x per ogni x [, ], dove λ è un numero reale positivo.

4 (a) Determinare il valore di λ. (b) Calcolare la probabilità che un numero generato sia compreso nell intervallo [ 3, 2 3 ]. Soluzione: La probabilità che un numero generato sia compreso nell intervallo [a, b] è uguale a b a λe x dx. (a) Poichè la probabilità che un numero generato sia compreso cada nell intervallo [, ] è uguale a, si deve avere da cui λ = e. e = λe x dx = [ λe x ] = λ( e + ), (b) Per quanto detto all inizio, la probabilità cercata è λe x dx = e e [ e x ] = e e (e 2 3 e 3 ).

5 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 3 aprile 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. In un gioco di carte si utilizzano due mazzi, uno rosso ed uno blu, di 54 carte ciascuno. Ogni giocatore riceve 3 carte. (a) Quante sono le combinazioni possibili? (b) Qual è la probabilità che un giocatore riceva 8 carte rosse e 5 carte blu? Soluzione: (a) Il numero di combinazioni possibili è uguale al numero di modi di scegliere 3 elementi da un insieme di 54 elementi, ossia ( 54 3). (b) Il numero di casi favorevoli (cioè il numero dei modi in cui un giocatore può ricevere 8 carte rosse e 5 carte blu) è uguale al numero di modi di scegliere 8 carte rosse su 54, ossia ( ) 54 8, moltiplicato il numero di modi di scegliere 5 carte blu su 54, ossia ( ) La probabilità cercata è dunque ( 54 ) ( 54 3 ) ( ). 2. Per ogni angolo α compreso fra a π (cioè fra o a 8 o ), sia T (α) un triangolo isoscele con due lati di lunghezza e l angolo compreso fra loro uguale ad α. Sia X = X(α) la variabile aleatoria che misura l area del triangolo T (α). Supponendo che la densità di probabilità dell angolo α nell intervallo [, π] sia uniforme, determinare E[X] e Var[X]. Soluzione: È immediato verificare che X(α) = sin α cos α = sin α Abbiamo dunque E[X] = π π sin α dα = 2 2π [ cos α]π = π

6 e V ar[x] = π = 4π = 4π π π ( 2 sin α)2 dα E[X] 2 cos 2α 2 [ 2 t sin 2α 4 = 8 ( π ) 2. ( dα π ( π ] π ) 2 ) 2

7 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 3 maggio 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. Dieci carte, numerate da a, sono mescolate in modo casuale e poste in fila su un tavolo. (a) Qual è la probabilità che tutte siano al loro posto, ossia compaiano nell ordine, 2, 3,...,? (b) Qual è la probabilità che tutte eccetto due siano al loro posto? (c) Qual è la probabilità che tutte le carte dispari siano nei posti dispari e tutte le carte pari nei posti pari? Soluzione: (a) Il numero di modi in cui le carte possono comparire è uguale al numero di permutazioni delle carte, ossia!. Una sola di queste permutazioni ha tutte le carte al loro posto, quindi la probabilità è /!. (b) ( Le due carte che non sono al loro posto possono essere scelte in ) 2 = 45 modi. Una volta scelte le due carte che sono al posto sbagliato, c è un solo modo per metterle al posto sbagliato, ossia scambiarle di posto. La probabilità cercata in questo caso è dunque 45.! (c) Le cinque carte dispari possono essere nei posti dispari in tutti gli ordini possibili, che sono 5!. Analogamente, le cinque carte pari possono essere nei posti pari in 5! modi. Quindi le possibilità sono (5!) 2 e la probabilità che questo succeda è (5!)2.! 2. In un determinato giorno dell anno il sole sorge al tempo t = e tramonta al tempo t = T. In ogni istante t del periodo di luce ( t T ) il sole forma un angolo con l orizzonte uguale a X(t) = 6 o sin πt T. Calcolare E[X] e V ar[x] nel periodo di luce. Soluzione: Per definizione di E(X) si ha E[X] = T T 6 o sin πt 6o T dt = T T π [ cos πt T ] T = 6o π 2.

8 Per definizione di V ar[x] si ha V ar[x] = T T = (6o ) 2 T = (6o ) 2 T = (6o ) 2 T = (6 o ) 2 2 (6 o sin πt T )2 dt E[X] 2 T (sin πt ( ) 6 o 2 T )2 dt π 2 T cos 2πt ( ) T 6 o 2 dt 2 π 2 [ 2 t T ] T ( 2πt 6 o sin 4π T π 2 ( ) ( 6 o 2 π 2 = (6 o ) 2 ) 2 2 ( ) ) 2 2. π

9 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 22 giugno 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. Ad una roulette truccata il rosso esce con probabilità 6% ed il nero con probabilità 4%. (a) Qual è la probabilità che esca lo stesso colore per quattro volte di fila? (b) Qual è la probabilità che in quattro lanci il rosso ed il nero escano due volte ciascuno? Soluzione: (a) Ci sono due modi, mutualmente esclusivi, in cui lo stesso colore possa uscire quattro volte di fila: () quattro volte il rosso, con probabilità.6 4 =.296 (oppure (3/5) 4 = 8/625); (2) quattro volte il nero, con probabilità.4 4 =.256 (oppure (2/5) 4 = 6/625). Il totale dei due casi dà una probabilità di =.552 (oppure 97/625). (b) Il rosso ed il nero possono uscire due volte qualcuno in ( 4 2) = 6 modi (cioè, in 6 ordini possibili). Per ciascuno di questi modi, la probabilità di uscita è =.576 (oppure (3/5) 2 (2/5) 2 = 36/625). Il totale richiesto è quindi =.3456 (oppure 6 36/625 = 26/625). 2. Il numero di scosse di terremoto in Emilia segue una distribuzione di Poisson con media di 5 scosse al giorno. (a) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano esattamente 4 scosse? (b) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci siano non più di 2 scosse? (c) Qual è la probabilità che in un determinato giorno ci sia esattamente una scossa tra le 9 e le 2?

10 Soluzione: (a) Per una distribuzione di Poisson X con media µ la probabilità che X sia uguale a k è data dalla formula P (X = k) = µk k! e µ. Nel nostro caso, µ = 5 e k = 4, dunque la probabilità cercata è 54 4! e 5. (b) La probabilità cercata è la somma delle probabilità che le scosse siano,, 2, e cioè ( !! 2! )e 5 = 37 2 e 5. (c) Se la media delle scosse in un periodo di un giorno (24 ore) è 5, allora la media delle scosse in un periodo di 3 ore è 5 3 = 5. Pertanto la 24 8 probabilità cercata è 5 8 e 5 8.

11 COMPITO DI SCIENZE NATURALI 22 giugno 22 Modulo di probabilità e statistica SOLUZIONI. Il croupier di un casinò distribuisce le carte ai giocatori, una carta alla volta. Il mazzo è di 52 carte e ci sono 4 assi, 4 re, 4 regine, eccetera. (a) Qual è la probabilità che si riceva un asso come prima carta? (b) Qual è la probabilità che si ricevano due assi nelle prime due carte? (c) Qual è la probabilità di non ricevere neanche un asso fra le prime tre carte? Soluzione: (a) I casi favorevoli sono 4 (gli assi), quelli possibili sono 52 (tutte le carte). Pertanto la probabilità cercata è 4 = (b) Come visto sopra, la probabilità che la prima carta sia un asso è Sotto questa condizione, rimangono 3 assi e 5 carte. La probabilità che anche la seconda carta sia un asso è dunque 3. La probabilità che 5 entrambe le carte siano assi è il prodotto delle due probabilità: = 22. (c) La probabilità che la prima carta non sia un asso è 48 (i casi favorevoli sono le 48 carte che non sono assi, i casi possibili tutte le carte). 52 Supposto che la prima carta non sia un asso, rimangono 5 carte di cui sempre 4 assi e dunque 47 carte che non sono assi: ne segue che la probabilità che la seconda carta non sia un asso è 47. Infine, se le 5 prime due carte assegnate non sono assi, rimangono 5 carte di cui 46 non-assi: la probabilità di non ricevere un asso neanche in questa occasione è 46. La probabilità cercata è il prodotto delle tre:

12 2. Siano x, y due numeri scelti a caso nell intervallo [, ], con probabilità uniforme. (a) Qual è il valor medio di x + y? (b) Qual è la probabilità che x + y 3? Soluzione (a) Il valor medio di x è E[x] = [ x 2 xdx = 2 ] = 2. Analogamente, il valor medio di y è e quindi il valor medio di x + y 2 è + =. 2 2 (b) Se sia x che y hanno una densità di probabilità uniforme nell intervallo [, ], allora la coppia (x, y) ha una densità di probabilità uniforme nel quadrato Q = [, ] [.]. La probabilità cercata è dunque p = Area({(x, y) Q x + y 3 } Area di Q = 2 ( 3 )2 = 8.