Indice. Unità 1 Sviluppo di solidi, 2. Unità 3 La prospettiva, 62. Unità 2 Proiezioni assonometriche, 24. Unità 4 Teoria delle ombre, 104

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1 Indice Unità 1 Sviluppo di solidi, 2 Unità 3 La prospettiva, Lo sviluppo dei solidi ha origini lontane, Sviluppo dei principali solidi geometrici, Poliedri, Coni, cilindri e sfere, Sviluppo dell elica cilindrica, Sviluppo di solidi sezionati, Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni, Compenetrazione di prismi, Compenetrazione tra un cono e un prisma, Compenetrazione di due cilindri, 16 Esercizi di comprensione e sviluppo,18 Unità 2 Proiezioni assonometriche, La rappresentazione assonometrica, I vari tipi di assonometrie, Le assonometrie ortogonali e oblique, Tracciamenti, Assonometria ortogonale, Assonometria ortogonale isometrica, Assonometria ortogonale dimetrica, Tracciamento di circonferenze nell assonometria ortogonale, Assonometria cavaliera, Tracciamento, Tracciamento di circonferenze, poligoni e solidi, Assonometria planometrica, Assonometria planometrica ribassata, Assonometrie a confronto, Confronto tra i vari metodi di tracciamento delle circonferenze, Viste dall alto e dal basso, Esempio di tracciamento, Reticoli assonometrici, Applicazioni particolari dell assonometria, Lo spaccato assonometrico, L assonometria di edifici, L assonometria trasparente, L esploso assonometrico, Uso descrittivo dell assonometria, 51 Esercizi di comprensione e sviluppo, Introduzione alla prospettiva, Cenni storici, Elementi base della prospettiva, Tipi di rappresentazioni prospettiche, Campo visivo e punto di vista, La scelta del punto di vista, Le regole fondamentali, La prospettiva centrale, La rappresentazione grafica della prospettiva centrale, Prospettiva centrale di solidi, Il parallelepipedo contenente l oggetto, La pianta ausiliaria, Prospettiva centralediunporticato, Esempidiprospettiva centrale, La prospettiva accidentale, La rappresentazione grafica della prospettiva accidentale, Metodi della prospettiva accidentale, Solidi in prospettiva accidentale, Prospettiva accidentale di una scala, Prospettiva accidentale di un edificio, La prospettiva a quadro inclinato, Reticoli prospettici, 96 Esercizi di comprensione e sviluppo,97 Unità 4 Teoria delle ombre, La rappresentazione geometrica delle ombre, Le ombre nelle proiezioni ortogonali, Ombre di punti e segmenti, Ombre portate di figure piane, Ombre proprie e portate di solidi, Ombre propria e portata della sfera, Ombre proprie e portate di gruppi di solidi, Ombre autoportate, La planivolumetria, Le ombre in assonometria, Le ombre in prospettiva, Le ombre realizzate con il computer, 122 Esercizi di comprensione e sviluppo, 123 Glossario, Indice analitico, 129

2 percorso Le origini dello sviluppo dei solidi Sviluppo dei principali solidi geometrici Sviluppo dell elica cilindrica Sviluppo di solidi sezionati Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni prerequisiti Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria solida Saper eseguire le principali costruzioni geometriche Buona conoscenza delle proiezioni ortogonali dei solidi, comprese intersezioni e compenetrazioni obiettivi Saper eseguire lo sviluppo sul piano di figure solide intere o sezionate Saper interpretare gli oggetti complessi come combinazioni di figure solide elementari e saper realizzare il loro sviluppo Riuscire a tracciare lo sviluppo di un solido su una superficie piana comporta vari vantaggi: il primo è che si evitano quasi tutte le giunzioni fra le facce del solido sostituite da piegature; il secondo consiste nella possibilità di realizzare forme cilindriche, coniche, sferiche, ovoidali, partendo sempre da una superficie piana; il terzo riguarda la facile definizione geometrica della superficie piana necessaria alla realizzazione del solido, eliminando così gli sprechi di materiale. La conseguenza logica di questi vantaggi è la grande facilitazione alla produzione industriale di oggetti solidi in cartone, tessuto, lamiera, utilizzando macchinari che tagliano i contorni dello sviluppo, incidono i bordi che vanno piegati, piegano o incurvano le superfici bloccando infine le parti estreme con incastri, cuciture, saldature o altri tipi di unione.

3 1 Sviluppo di solidi

4 4 unità Lo sviluppo dei solidi ha origini lontane Se prendiamo un foglio di carta e lo arrotoliamo rispetto a un estremità formiamo un cilindro: il foglio è la quantità di superficie piana necessaria a formare il cilindro, è il suo sviluppo. Lo sviluppo di un solido consiste pertanto nel distendere e ribaltare (se necessario) su un piano le superfici che compongono il solido. In tempi remoti un sarto si accorse che, invece di cucire tanti pezzi assieme, riusciva a ottenere la stessa forma da un unico pezzo di stoffa. Egli fu molto soddisfatto di questa sua innovazione e certamente la tramandò ai suoi figli o ai suoi apprendisti i quali, a loro volta, la migliorarono. Si può immaginare che la tecnica dello sviluppo dei solidi sia nata in questo modo: quel che è certo è che essa fu applicata all abbigliamento fin dall antichità per realizzare abiti (forme tridimensionali) partendo da un pezzo di tessuto. In seguito questa tecnica trovò un grande settore di applicazione nella realizzazione delle armature [figura 1]. La cultura artigianale in questo settore è stata poi assorbita e ulteriormente sviluppata dall industria, in particolare nel settore della lavorazione delle lamiere, nella formatura di solidi in lamiera per condutture, impianti, oggetti vari [figura 2]. Qualsiasi forma di prodotto industriale (scatole, lattine, calzature, vestiti, cappelli, borse e contenitori di ogni tipo) realizzata con un materiale flessibile (lamierino, cuoio, pelle, stoffa, cotone ecc.) è oggi ottenuta partendo dal suo sviluppo su superficie piana. Questa tecnica ha dato origine a un interessante settore della confezione dei prodotti e dei loro imballaggi, chiamato con il termine inglese packaging (in inglese package significa involucro, imballaggio, con funzione estetica): partendo da un foglio in genere di cartone, attraverso vari sistemi di fustellatura (taglio e incisione fatti a macchina mediante sagome affilate dette fustelle) si ottengono le confezioni dei prodotti [figura 3]. 2 Raccordo in lamiera di acciaio per una conduttura industriale. 1 Armatura del XVI secolo, costruita da armaioli italiani. 3 Sviluppo di imballaggi in cartone industriale (Sambonet).

5 1.2 Sviluppo dei principali solidi geometrici Poliedri Sviluppo di solidi 5 Sono qui di seguito raffigurati gli sviluppi di alcuni solidi, con l indicazione delle costruzioni necessarie per il loro disegno. Tetraedro Dodecaedro Lo sviluppo del dodecaedro si ottiene partendo dalla costruzione di un pentagono regolare dato il lato; su ogni lato del pentagono sono costruiti altri cinque pentagoni regolari. Cubo (esaedro) Icosaedro L icosaedro è costituito da venti facce e ogni faccia è un triangolo equilatero. Ottaedro Icosaedro tronco Tra i poliedri è quello che più si avvicina alla forma sferica. È costituito da dodici pentagoni e venti esagoni; ogni pentagono è circondato da cinque esagoni.

6 6 unità 1 Parallelepipedo rettangolo Prisma regolare triangolare Prisma regolare pentagonale Prisma regolare esagonale Piramide a base quadrata Tronco di piramide a base quadrata

7 1.2 Sviluppo dei principali solidi geometrici Coni, cilindri e sfere Sviluppo di solidi 7 Sviluppo del cono Tracciato il cerchio di base si divide la sua circonferenza in un numero a piacere di parti uguali, per esempio 6 [figura 1]. Si traccia un arco tangente in uno dei sei punti con raggio VA uguale alla generatrice del cono. Si riportano sull arco le stesse suddivisioni della base. Il settore di cerchio così individuato AV6 completa lo sviluppo. Sviluppo del tronco di cono Si traccia lo sviluppo del cono come descritto al punto precedente. Si traccia con centro V un arco con raggio A V uguale al tratto di generatrice mancante per completare il cono [figura 2]. Congiungendo il punto 4 sull arco A6 con il punto V si individua sull arco A 6 il punto 4 e, analogamente, si trova il punto 3. La distanza fra i punti 3 e4 èilraggiodelcerchiochecostituisce la base minore del tronco di cono. Il centro O è sulla congiungente O con V. 1 Sviluppo del cilindro Lo sviluppo del cilindro è dato dai due cerchi delle due basi tangenti a un rettangolo che ha la base uguale alla lunghezza della circonferenza e l altezza uguale a quella del cilindro [figura 3]. 2 persapernedipiù Sviluppo del cono (metodo analitico) V generatrice a R B A r Quanto vale α se AB è lungo 2πr? 3 2πR : 360 = 2πr : α α = r 360 R

8 8 unità 1 Sviluppo della sfera Mentre sono sviluppabili tutti i solidi parallelepipedi, poliedrici e quelli limitati da superfici rigate (cilindri e coni), non lo sono invece quelli costituiti da superfici curve [figura 4]. Lo sviluppo della sfera, ad esempio, è molto approssimativo. Esso è costituito da una serie di fusi tangenti fra loro nel punto di massima larghezza; il margine di errore diminuisce con l aumento del numero dei fusi. La costruzione è la seguente. Si parte da una figura preparatoria costituita dalla pianta e dal prospetto della sfera [figura 5]. Si divide la pianta in dodici spicchi uguali di larghezza massima A. Si divide con piani secanti orizzontali il prospetto della sfera definendo sulla sua circonferenza perimetrica sei archi uguali, che sono uguali alla larghezza A degli spicchi. Si rettifica la lunghezza della circonferenza e la si divide in dodici parti uguali ad A, tracciandone l asse verticale per ciascuna parte [figura 6]. Si costruisce un rettangolo, che ha come asse orizzontale la lunghezza rettificata della circonferenza e altezza uguale a 6A, e lo si suddivide in sei rettangoli di altezza A. In questo modo abbiamo riportato su un piano l ingombro complessivo dello sviluppo e le tracce dei piani secanti α, β, γ, δ. Si riportano, a cavallo dell asse verticale, le lunghezze degli archi BC, ricavati dalla pianta preparatoria, sulle tracce dei piani α e δ edegliarchide sulle tracce dei piani β e γ; si individuano così per ognuna delle dodici parti i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 che, congiunti con un curvilinee, individuano il fuso. 5 4 Volumi metallici realizzati mediante lo sviluppo dei solidi. 6

9 1.3 Sviluppo dell elica cilindrica Sviluppo di solidi 9 L elica cilindrica è una curva nello spazio che si avvolge attorno a un cilindro circolare retto di raggio r, tagliandone le generatrici secondo un angolo costante α. Si chiama passo p la distanza tra due spire adiacenti dell elica misurata su una stessa generatrice [figura 1]. L elica si può pensare generata dalla composizione di un moto circolare uniforme con un moto traslatorio rettilineo uniforme perpendicolare al primo. L elica è dunque caratterizzata dal passo e dal raggio della circonferenza. La costruzione elementare dell elica [figure1e2]è utile per applicazioni nel disegno meccanico, come le filettature delle viti [figura 3], le molle ecc., mentre nel campo del disegno edile essa trova applicazione frequente nel disegno di scale elicoidali [figura 4]. In pratica si divide sia la circonferenza del cilindro sia il passo in un dato numero di parti uguali, ad esempio 12 [figura 1],e, collegando con un curvilinee i punti corrispondenti, si individua la curva elicoidale. 2 Lo sviluppo di una parte dell elica cilindrica (pari a un passo) corrisponde alla diagonale del rettangolo che ha come base lo sviluppo della circonferenza di base del cilindro e altezza uguale al passo. 1 Costruzione dell elica cilindrica dato il diametro. 3 Filettatura a elica cilindrica. 4 Scala a elica cilindrica.

10 10 unità Sviluppo di solidi sezionati 1 animazione online Sviluppo di una piramide a base esagonale sezionata Per prima cosa occorre trovare la vera forma della sezione [figura 1]. Poi, partendo dallo sviluppo della piramide a base esagonale, si individuano sugli spigoli corrispondenti i punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ricavando le dimensioni dalle proiezioni ortogonali. Infine, si riporta lo sviluppo della sezione facendo corrispondere i numeri del punto di contatto in modo che la superficie della sezione non interferisca con lo sviluppo delle facce del solido [figura 2]. 2

11 Sviluppo di solidi 11 Sviluppo di un tronco di cono Si procede come nell esempio precedente. Trovata la vera forma della sezione, la si inserisce nello sviluppo della superficie del tronco di cono individuata partendo dallo sviluppo del cono e riportando, su ciascuna delle otto generatrici (corrispondenti agli otto punti in cui è stata divisa la circonferenza di base), l altezza relativa ricavata dalle proiezioni ortogonali [figura 3]. 3

12 12 unità Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni Compenetrazione di prismi Sviluppo delle superfici di un prisma pentagonale e di un prisma esagonale compenetrati tra loro con assi ortogonali e incidenti Trovata la linea di intersezione con il metodo delle generatrici, si sviluppa la superficie del prisma pentagonale e di quello esagonale [figure1,2e3]. Riportando sullo sviluppo le linee corrispondenti alla spezzata della linea di intersezione, si individua lo sviluppo delle superfici. 1 2

13 3 Sviluppo di solidi 13

14 14 unità Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni Compenetrazione tra un cono e un prisma Sviluppo delle superfici di intersezione tra un cono e un prisma a base quadrata con assi ortogonali e incidenti Trovata la linea di intersezione utilizzando, in questo caso, il metodo dei piani secanti ausiliari, si procede allo sviluppo del cono e del prisma [figure1 5]. Tracciando le generatrici passando per i punti A, B, C, D, E, F, G, H (in realtà i punti A ed E sono già individuati dalle proiezioni ortogonali), individuiamo sulla circonferenza di base una serie di archi di circonferenza definiti dai punti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 [figura 3]; riportando sullo sviluppo della circonferenza gli archi definiti da questi punti [figura 4], possiamo tracciare, sullo sviluppo, le rispettive generatrici. 1 2

15 Sviluppo di solidi 15 L incontro delle generatrici con le tracce dei piani secanti riportate sullo sviluppo del cono individua i punti A, B, C, D, E, F, G, H che, congiunti con un curvilinee, determinano lo sviluppo della linea di intersezione sulla superficie del cono [figura 4]. Lo sviluppo delle linee di intersezione sulla superficie del prisma si ottiene riportando sullo sviluppo i punti A, B, C, D, E, F, G, misurando la loro posizione sulle proiezioni ortogonali (pianta e prospetto)

16 16 unità Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni Compenetrazione di due cilindri Sviluppo delle superfici di due cilindri di ugual diametro compenetrati tra loro con assi ortogonali e incidenti La vista anteriore della linea di intersezione, trattandosi di due cilindri con lo stesso diametro, si riduce ai segmenti A O e I E [figura 1]. Le linee di intersezione reali si identificano con due ellissi aventi l asse minore uguale al diametro dei cilindri e l asse maggiore uguale ai segmenti A O ed E I. Gli sviluppi delle superfici dei cilindri sono uguali. Lo sviluppo delle linee di intersezione si ottiene raccordando i punti individuati dalle generatrici del cilindro verticale a contatto con la linea di intersezione. Il cilindro verticale è stato tagliato lungo la generatrice S T. 1 Sviluppo delle superfici di due cilindri di ugual diametro compenetrati tra loro con assi incidenti ma non ortogonali Anche in questo caso la vista anteriore delle linee di intersezione è data dai segmenti A O e I E [figura 2]. Gli sviluppi delle superfici dei cilindri sono uguali. Lo sviluppo della linea di intersezione si ottiene con lo stesso procedimento dell esempio precedente, utilizzando le generatrici del cilindro inclinato. 2

17 Sviluppo di solidi 17 3 Sviluppo delle superfici di due cilindri con diametri diversi compenetrati tra loro con assi incidenti ma non ortogonali Tracciamo le generatrici del cilindro inclinato e troviamo la linea di intersezione cercata come già esemplificato negli esempi precedenti. Per lo sviluppo della linea generatrice si procede portando i punti che individuano la linea di intersezione sui rispettivi sviluppi delle superfici. Il cilindro verticale è stato tagliato lungo la generatrice ST [figura 3].

18 18 unità 1 COMPRENSIONE SVILUPPO 1 Battistero esagonale L esercizio consiste nel realizzare in cartoncino la forma del battistero esagonale definita dalla proiezione ortogonale. L occorrente è un foglio di cartoncino da cm sul quale si disegna lo sviluppo dei volumi componenti il battistero triplicando le dimensioni. A ogni sviluppo di volume occorre aggiungere le opportune linguette per il fissaggio dei medesimi gli uni sulla base degli altri. Completati gli sviluppi dei vari volumi (per i quali può essere utile consultare le pagine sullo sviluppo dei solidi), si incollano a formare il volume complessivo del battistero. esercizi

19 a COMPRENSIONE SVILUPPO Sviluppo di solidi 19 2 Capsula spaziale L esercizio consiste nel realizzare un modellino in cartoncino, quadruplicando le dimensioni definite nelle proiezioni ortogonali. Per lo sviluppo del cilindro, del cono e del tronco di cono fai riferimento alle pagine relative allo sviluppo di questi solidi (in particolare per determinare la lunghezza dello sviluppo della circonferenza di base dei solidi interessati). Ogni volume è dotato di linguette per l assemblaggio finale. a a b d c b b c d c esercizi

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