x + y x2 y 2. y = x y + 1 y(0) = 1 3. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione f(x, y) = 3x 2 + 4y 2 6x + 3.

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1 COMPITO n. 1 x + y x2 y 2. y = x y + 1 y(0) = 1 3x 2 + 4y 2 6x + 3. nell insieme D = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}. dove ω = (3x 2 + y) dx + (2x + y 2 ) dy e γ è la curva costituita dalle tre curve regolari semplici seguenti γ 1 (t) = (cos t, sin t), t [0, π], γ 2 (t) = (t, 1 t), t [ 1, 0], γ 3 (t) = (t, t 1), t [0, 1], D x 1 + y dxdy, dove D è l insieme limitato dall asse positivo delle x, dalla bisettrice del I e III quadrante, dalla circonferenza di centro 0 e raggio 2 e giacente nel I quadrante.

2 COMPITO n. 2 xy x2 + xy + y 2. y 9y = e 3x y(0) = 0, y (0) = 1. (1 x 2 y 2 )(x + y) nell insieme D = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 0}. dove ω = (2xy 2 y 3 ) dx + (2x 2 y 3xy 2 + 2) dy e γ(t) = (t, e 1 t 2 ), t [0, 1]. V y dxdydz, dove V è il solido limitato dal piano x/3 + y/2 + z/4 = 1 appartenente all ottante x 0, y 0, z 0.

3 COMPITO n. 3 y x x2 + y 2. y + 16y = cos 4x y(0) = 1, y (0) = 0. 3x 2 4y 2 + 6x + 3 nell insieme D = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 4}. dove ω = y (log y ) x 1 dx + x (log y ) x + 1 dy e γ(t) = (t, log(1 + t)), t [1, 2]. 5. Calcolare il volume del solido limitato dai paraboloidi z = x 2 +y 2 e z = 1 x 2 y 2.

4 Università di Siena 13/4/07 Prof. Paolo Nistri COMPITO n. 4 x y x2 y 2. xy = y + x 2 y 2 y(1) = 1 nell insieme D = [0, 2] [0, 2]. x 3 + 3x 6xy + 3y 2 dove ω = (3x 2 + y) dx + (2x + y 2 ) dy e γ è la curva costituita dalle tre curve regolari semplici seguenti γ 1 (t) = (1 t, t), t [0, 1], γ 2 (t) = ( t, 1 t), t [0, 1], γ 3 (t) = (cos t, sin t), t [π, 2π]. D y 1 + x dxdy, dove D è l insieme limitato dall asse positivo delle x, dalla bisettrice del I e III quadrante, dalla circonferenza di centro 0 e raggio 2 e giacente nel I quadrante.

5 COMPITO n. 5 x y x2 + y 2. y x + y = 3(x + y) 4 y(0) = 0. nell insieme D = [0, 2] [0, 2]. x 3 + 3x + 6xy 3y 2, dove ω = xy 1 + y dx + (x 2 y) dy e γ è la curva costituita dalle tre curve regolari semplici seguenti γ 1 (t) = ( 1, t), t [ 1, 0], γ 2 (t) = (t, 0), t [ 1, 0], γ 3 (t) = (t, t 2 ), t [0, 1], 1 x 2 y 2 D 1 + x 2 + y dxdy, 2 dove D è l insieme dato dall intersezione fra il primo quadrante ed il cerchio di centro 0 e raggio 1.

6 COMPITO n. 6 x 2 y x2 + xy + y 2. y 4y + 5y = e x/2 cos x y(0) = 0, y (0) = 1. (1 + x 2 + y 2 )(x + y), nell insieme D = (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, y 0}. dove ω = y (log xy ) + 1 dx + x (log xy ) 1 dy e γ(t) = (t, log(1 + t)), t [1, 2]. 5. Calcolare il volume del solido limitato dal cilindro x 2 + y 2 = 1 e dalla sfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.