Studio di una funzione razionale fratta (autore Carlo Elce)

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1 Stuio i funzioni Carlo Elce 1 Stuio i una funzione razionale fratta (autore Carlo Elce) Per rappresentare graficamente una funzione reale i una variabile reale bisogna seguire i seguenti passi: Passo 1) Ricerca ell'insieme i efinizione o ominio ella funzione; Passo ) Stabilire se la funzione è perioica; Passo ) Ricerca i eventuali simmetrie; Passo 4) Stuio el segno ella funzione; Passo 5) Ricerca ei iti ella funzione agli estremi el ominio; Passo 6) Ricerca egli eventuali asintoti; Passo 7) Ricerca elle eventuali intersezioni con gli assi e con gli asintoti verticali e/o obliqui; Passo 8) Ricerca egli intervalli i crescenza o ecrescenza ella curva; Passo 9) Ricerca egli intervalli i concavità e convessità ella curva; Passo 1) Ricerca i eventuali punti i massimo o i minimo relativi; Passo 11) Ricerca egli eventuali punti i flesso per la curva; Passo 1) Rappresentazione grafica ella funzione. ESEMPIO 1 Funzione razionale fratta i terzo grao in quanto, metteno la sua equazione in forma implicita, il polinomio a primo membro risulta avere grao Passo 1 Ricerca el ominio ella funzione D = R - { x R : x 9 = } x Il ominio ella funzione è D = R- { -, } Passo Stabilire se la funzione è perioica Una funzione si ice perioica i perioo T se è verificata la seguente conizione f( x + k T) = f( x ) con k appartenente all'insieme ei numeri interi relativi. In tal caso basta stuiare la funzione in un intervallo i perioicità in quanto negli altri intervalli si comporta allo stesso moo fx ( + kt ) ( x+ k T) ( x+ k T) 9 ( x + k T + k T 9) ( x + k T + k T 9) fx ( + kt ) ( x + k T + k T 9) ( x + k T + k T 9) ( x+ k T) [( x+ + kt ) + kt )] unque fx ( + kt ) f() x pertanto la funzione non è perioica

2 Stuio i funzioni Carlo Elce Passo Ricerca i eventuali simmetrie Una funzione è simmetrica rispetto all'asse elle orinate quano si verifica la seguente conizione f(-x)=f(x). Una funzione è simmetrica rispetto all'origine egli assi se si verifica la seguente conizione f(-x)= -f(x). Se una funzione è simmetrica rispetto a una retta qualsiasi basta operare una trasformazione isometrica egli assi e verificare la simmetria rispetto al nuovo sistema i assi. f( x) x fx () pertanto la funzione è simmetrica rispetto all'origine egli assi Passo 4 Stuio el segno i f(x) ( < x) ( x ) < x Risoluzione grafica x xx,, x Passo 5 e Passo 6 Ricerca ei iti ella funzione, agli estremi el ominio, e egli eventuali asintoti x asintoto orizzontale sia a sinistra che a estra x + x x = - asintoto verticale x + x x = asintoto verticale

3 Stuio i funzioni Carlo Elce Passo 7 Ricerca elle eventuali intersezioni con gli assi e con gli eventuali asintoti orizzontali o obliqui Bisogna risolvere il sistema composto alle seguenti equazioni Int_asse_x Bisogna risolvere il sistema composto alle seguenti equazioni x Int_asse_ Passo 8 Ricerca egli intervalli i crescenza o ecrescenza ella curva erivata_prima() x x x + 9 ) ( x+ ) x< ( < x) ( x< ) < x x + 9 ) ( x+ ) x x x ( x + 9) ) ( x+ ) l espressione preceente è sempre negativa nel ominio e si annulla solo in ue valori non reali i i pertanto la funzione è ecrescente in tutto il ominio

4 Stuio i funzioni Carlo Elce 4 Passo 9 Ricerca egli intervalli i convessità e concavità per la curva 1 x 16 x erivata_secona 1 x x + 7 4x () x 1 16 x x ( x + 7) 16 x 4x ( < x) ( x ) < x la funzione volge la concavità verso l'alto nell'intervallo ]-,] e nell'intervallo ],+ [, negli altri intervalli volge la concavità verso il basso Passo 1 Ricerca egli eventuali punti i massimo o i minimo relativi per la curva Esseno la funzione ecrescente in tutto il ominino essa non ammette né punti i massimo né punti i minimo relativi Passo 11 Ricerca egli eventuali punti i flesso per la curva 1 x 16 x 1 () x i i 16 x la erivata secona si annulla nell unico valore reale x= 96 x 96 erivata_terza() x 1 96 x x x 4 4

5 Stuio i funzioni Carlo Elce 5 erivata_terza( ) =.148 erivata_prima( ) =. f = Pertanto il punto O(,) è punto i flesso a tangente obliqua per la curva Passo 1 Rappresentazione grafica ella funzione grafico i f(x) -- Carlo Elce