Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del 7 Febbraio 2006

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1 Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione - Esame del 7 Febbraio 6 Gli esercizi devono essere risolti solo sui ogli dei colori indicati. Per esiti e soluzioni si veda il sito web del corso: Per contattare il docente: nicoli@elet.polimi.it. Esercizio (oglio giallo, 8 punti): Sia x(t) un segnale avente trasormata di Fourier rappresentata in Fig.. a. ( punti) Si determini l espressione analitica del segnale x(t) nei tempi. b. ( punti) Si determini la densità spettrale d energia e l energia di x(t). c. (4 punti) Si consideri il segnale y(t) = P + n= x(t nt ) ottenuto come ripetizione periodica a passo T = =6 del segnale x(t). Si illustri la relazione esistente ra la trasormata Y () di y(t) e la trasormata X() di x(t). Si rappresenti gra camente la trasormata Y () e se ne calcoli l antitrasormata y(t). X( ) 3 X ( ) π / [Hz] 6 6 [Hz] π / Figura : Modulo e ase della trasormata X() di x(t). Esercizio (oglio rosa, 7 punti): Si consideri il sistema LTI rappresentato in Fig., con H () = rect(5 4 ); H () = tri( 3 ): a. (3 punti) Si rappresenti gra camente, in modulo e ase, la risposta in requenza del sistema LTI. b. ( punti) Si dia l espressione analitica della sua antitrasormata h(t). c. ( punti) Si determini l espressione analitica del segnale d uscita y(t) quando il segnale applicato all ingresso è s(t) = (t) + cos(5t + =5) + 4 sin(5t): H ( ) + s ( t) y( t) - H ( ) Figura : Sistema LTI.

2 Esercizio 3 (oglio verde, 7 punti + acoltativo): Codi ca PCM Si vuole convertire in orma numerica il segnale casuale (o processo) x(t) di banda W = 4kHz. a. ( punti) La densità di probabilità delle ampiezze del segnale x(t) è rappresentata in Fig. 3 (A è da calcolare). Si valuti la potenza media di x(t). b. (3 punti) Si assuma di e ettuare una quantizzazione uniorme dei campioni di x(t). Si calcoli il numero minimo di bit di quantizzazione (K) necessario per garantire che il rapporto ra la potenza media di x(t) e la potenza media del rumore di quantizzazione sia: SNR q 49dB. c. ( punti) La sequenza binaria ottenuta a valle della quantizzazione viene trasmessa con modulazione 6-QAM. Si determini la banda minima necessaria per la trasmissione. d. Facoltativo ( punto) Volendo migliorare la qualità della conversione numerica, a pari bit-rate, come si puo modi care la quantizzazione? P x (a) A A/ a [V] Figura 3: Densità di probabilità di x(t). Esercizio 4 (oglio bianco, 8 punti + 3 acoltativi): Trasmissione numerica Si consideri la trasmissione di un usso numerico con bit-rate R b = 6kbit/s su un canale avente risposta all impulso h(t) = a(t) + a(t ), con ritardo = s e ampiezza a = db. a. (3 punti) Si calcoli la risposta in requenza del canale H() e si rappresenti gra camente il guadagno jh()j in unzione della requenza. b. ( punti) Assumendo la trasmissione in banda base con modulazione M-PAM, impulso di trasmissione a radice di Nyquist, banda B = khz e roll-o = :, si scelga il numero minimo di livelli M. c. (3 punti) Si approssimi il canale come ideale entro la banda di trasmissione e si utilizzi come valore di attenuazione quello assunto a centro banda ( = ). Si assuma il ltro adattato al ricevitore. Sia P T = 7dBm la potenza di trasmissione e N = 6dBm/Hz la densità spettrale di potenza del disturbo AWGN al ricevitore. Si calcoli la probabilità d errore sul bit. d. Facoltativo ( punti) Si assuma di e ettuare la trasmissione in banda-passante sul canale caratterizzato al punto (a), utilizzando come requenza di portante c = :5MHz. Senza are calcoli, si dica quanto vale la probabilità di errore sul bit, giusti candola risposta. e. Facoltativo ( punto) Si assuma di voler trasmettere, sul canale caratterizzato al punto (a) e con la medesima modulazione calcolata al punto (b), N = ussi con bit-rate R b = 6kbit/s a divisione di tempo (TDM). Si dica, giusti cando la risposta, se esiste intererenza intersimbolica al ricevitore. Esercizio 5 (oglio bianco con scritta MATLAB - 3 punti): Matlab Il segnale x(t), triangolo di durata T = 3s e di ampiezza A = 4V, è campionato con passo di campionamento dt = ms nell intervallo di osservazione T oss = 4s. Si scriva il codice MATLAB per: a. Costruire il segnale x(t) come convoluzione di due rettangoli di opportuna durata e ampiezza. b. Rappresentare gra camente il segnale x(t). c. Calcolare e rappresentare (in modulo e ase) la trasormata di Fourier del segnale x(t), costruendo correttamente l asse di rierimento delle requenze.

3 Soluzione Esercizio jπ a. X ( ) = 3 rect( ) e x( t) = 6 sinc( ( t + / 4) ) = 6 sinc( t + 5/ 6) 6 6 b. S x( ) = X ( ) = 9 rect( / ) E x = 9 =.8 J c. Il segnale y () t è la ripetizione periodica a passo T 6 s di x ( t) =. La sua trasormata di Fourier è dunque costituita da impulsi a requenza k/t con aree:.8, k =, jπ / k.8e =.8 j, k =, Y = k X = jπ / T T.8e =.8 j, k =,, k, ±. da cui: Y ( ) =.8δ ( ) +.8 jδ ( 6).8 jδ ( + 6) y jπ 6t jπ 6t () t = je.8 je =.8 3.6sin( π 6t). Soluzione esercizio 4 a. H ( ) = H ( ) + H ( ) = rect( 5 ) tri( ) H ( ) H ( ) π π 5 b. h() t = sinc( t ) sinc ( 5t) c. y = () t = δ ( t) * h( t) + H ( 5) cos( 5πt + π /5 + H ( 5) ) + 4 H ( 75) sin( 5πt + H ( 75) ) h( t) + 4sin( 5πt )

4 Soluzione esercizio 3 a) A + A =! A = 3 b) P x = Z a A da + Z a 3 3 Ada = A + = = : c) P e = SNR = K K = K 3 :46 67 = : 5 K = log (:5) + 6K = : K 48 K 3 49 :969 = 8: 5! K = 8 6 R b = K W = 64 kbit/s B = 64 log M = 6kHz d) Quantizzazione non uniorme con quanto in (-.5,+.5) e in (-,-.5) e (.5,), con <. Soluzione esercizio 4 a) Risposta in requenza: b) Numero livelli M-PAM: c) Calcolo dell attenuazione: H() = a( + exp(j)) jh()j = a ( + cos()) = a + cos log M R b B M = 8! 8-PAM R s = ( + ) = 6 4 : = 3 6 log M = 6 = k simboli/s 3 6 () = () = jh()j jh()j = a = log (a )[db] = log () a[db] = 3 + = 7[dB] Probabilità d errore sul bit: P b (E) = Q s! P T N ()R S P T N R S = 3 7 log () log 3 = 9: 767 5dB P b (E) = 7 Q(p :97675 ) ' 7 4 Q(3) = 7: 9 e) Essendo il canale nullo alla requenza c, la probabilità di errore è massima, cioè P b (E) =. d) La banda di trasmissione B = 6 log M = MHz ha larghezza uguale al periodo della risposta in requenza: jh()j = a( + cos()). Quindi il canale non è ideale nella banda di trasmissione (jh()j 6=cost): la 4

5 cascata di ltro d trasmissione, canale e ltro di ricezione non è più un impulso di Nyquist e si genera intererenza intersimbolica. Soluzione esercizio 5 Costruzione del segnale x(t) dt=.; s t=[:dt:4-dt]; N=length(t); r=sqrt(4/.5)*rect(t,,.5-dt); x=conv(r,r)*dt; x=x(:n); Rappresentazione graica igure, plot(t,x); xlabel( tempo [s] ); ylabel( ampiezza [V] ); Calcolo della trasormata di Fourier X=tshit(t(x,N))*dt; d=/(n*dt); =[-N/+[:N-]]*d; Rappresentazione della trasormata di Fourier igure, subplot(,,); plot(,abs(x), -b ); subplot(,,); plot(,angle(x), -b ); xlabel( Frequenza [Hz] ); 5