Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame del 7 Luglio 2004

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1 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame del 7 Luglio TOTALE PUNTI: L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: [per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it ]. Esercizio (foglio bianco) (punti ): Derivazione approssimata Si consideri la sequenza {h,n } di due campioni {h, =,h, = }. a) ( punto) Si trovi H (z), trasformata z della sequenza {h,n ; n =, }; b) ( punti) Si consideri la sequenze {h,n } ottenuta troncando al terzo campione l antitrasformata della derivata ricorsiva D r (z) = z +z ; se ne trovi la trasformata z ed i due zeri. E a minima fase? c) ( punti) Si traccino approssimativamente, con la tecnica vettoriale, i moduli delle funzioni di trasferimento relative alle due sequenze {h,n }, {h,n }, ecioègliandamenti H (ω), H (ω), sul cerchio unitario, in funzione della frequenza ω. Si ricordi che sul cerchio unitario, z = e jωt, esipongat =. d) (3 punti) Si calcolino i guadagni delle funzioni di trasferimento in corrispondenza di una sinusoide alla frequenza f =/T. Esercizio (foglio azzurro) [punti ] Decimazione :3 con filtri anti equivocazione semplici Un segnale campionato a 8KHz deve essere decimato alla frequenza di 6 KHz, rimuovendo quindi due campioni ogni tre campioni originari. Come segnale si considerino due sinusoidi, l una, utile, alla frequenza di 5 KHz e l altra, da eliminare, alla frequenza di KHz, di potenza volte maggiore. L allievo determini un filtro passabasso H (z) anti equivocazione per fare in modo che dopo il sottocampionamento la potenza del disturbo di equivocazione sia almeno volte inferiore a quella del segnale utile. L allievo determini: a) ( punti) Lo spettro del segnale prima e dopo il sottocampionamento. b) ( punti) La struttura di un filtro anti equivocazione, la sua risposta all impulso e la sua fuzione di trasferimento. L allievo utilizzi un filtro FIR, determinandolo con la tecnica delle finestre, cercando di rispettare la specifica di progetto della riduzione di 3 db della potenza equivocata. c) ( punti). La struttura del filtro anti equivocazione, la sua risposta all impulso e la sua fuzione di trasferimento. L allievo utilizzi un filtro IIR, oppure a campionamento in frequenza, cercando di rispettare la specifica di progetto della riduzione di 3 db della potenza equivocata. Esercizio 3; FENS ( foglio giallo) ( punti) (filtri polifase): L allievo consideri il filtro FIR individuato nella domanda b dell esercizion e lo realizzi con una tecnica polifase. a) ( punti) Tracciare la struttura del filtro. b) ( punti) Tracciare la risposta all impulso dei tre filtri polifase, a partire dalla risposta del filtro complessivo. c) ( punti) Determinare sia la struttura del filtronelcasodiminimaoccupazionedimemoriasiailnumero di operazioni al secondo necessarie. Esercizio 3 ENS ( foglio giallo) ( punti) Stima MMSE Il processo y n e la somma del processo x n e del disturbo v n : y n = x n + v n, x n =.9x n + u n. I processi u n e v n sono bianchi e incorrelati, con valore medio nullo e varianza rispettivamente σ u = σ v =.. a) ( punti) Si trovi la funzione di autocorrelazione della sequenza y n fino al terzo campione. b) ( punti) Si trovi lo stimatore ottimo di u n apartireday n,y n.

2 c) ( punti) Si calcoli lo stimatore lineare a minimo errore quadratico medio di u n (a partire da tutta la sequenza y n ) nel dominio delle frequenze Esercizio (foglio bianco con scritta MATLAB) (punti 8): Si vuole filtrare passabanda il segnale x(t), costituito da più componenti sinusoidali immerse in rumore gaussiano. Il segnale è registrato per un intervallo T =sec e l intervallo di campionamento è t =ms. a) Si costruisca il vettore s(n), costituito dalla somma di sinusoidi di ampiezza unitaria a f =Hz e f = Hz b) Si costruisca il vettore x(n) =s(n)+w(n), conw(n) rumore gaussiano bianco di varianza σ =.5. c) Si costruisca il filtro passabasso FIR h(n) di lunghezza N = che in frequenza ha spettro di triangolare con valori nulli a partire da f =5Hz. Si costruisca il filtro direttamente in frequenza, ricordando poi che antitrasformando la risposta del filtro, è necessario o un riordinamento dei campioni o un ritardo come accade per i filtri a campionamento in frequenza. d) Si costruisca infine il corrispondente filtro passabanda, centrato alla frequenza f = Hz, moltiplicando il filtro passabasso ottenuto al punto c) per un opportuna funzione modulante. e) Si filtri il segnale x(n) con il filtro ottenuto al punto d) e si disegni il segnali risultante y(n).

3 Soluzioni Solution is: i, +i H (z) = z [, ] [,,,..]=[,,,..] z +z = i, +i = > amassimafase. z = e φ z +z y x z y Esercizio IlsegnaleaKhzvieneribaltatoa6KHzdopoilsottocampionamentoa6Khz(vedifigura). per rirdurne l ampiezza di 3dB serve un filtro che puo essere: i) FIR a 8 KHz di banda per fare un filtraggio ragionevole che operi su tutto lo spettro utile e non solo per le sinusoidi del segnale. ii) Ma anche Notch a KHz fatto con un IIR per sfruttare all estremo le condizioni del problema. x Nel caso i), si tratta di finestrare un filtro ideale. Con la finestra rettangolare, si puo fare cadere il segnale a KHz in uno zero, ed allora basta anche una lunghezza molto modesta. Invece, per essere prudenti, bisogna 3

4 considerare il caso in cui capiti a KHz il massimo di un lobo laterale. Una finestra rettangolare di durata N campioni, alla differenza di frequenza f = 8=KHz provoca lobi dell ampiezza sin π fnt π fnt < π fnt < 3 Nel nostro caso: f = ; T = 8 8 πn = 3 N = 3 Con finestre cosinusoidali si avrebbero durate inferiori. π ( fnt) 3 = π (N/) 3 = 3 N =5 Il filtro e quindi un sinc con frequenza di taglio 8KHz, (primo zero al terzo campione) finestrato rettangolarmente o cosinusoidalmente x Funzioni di trasferimento dei filtri: con finestratura rettangolare o a coseno rialzato Filtro con finestratura cosinoidale Nel caso del filtro IIR, si può scegliere ad esempio un Butterworth di ordine n =5 +x n = ; x = 8 n =5 Nel caso del filtro a campionamento in frequenza, si può p.e. mettere zeri ogni KHz, poi mettendo poli nelle posizioni -8Khz. Si ha un sistema da 8 moltiplicazioni per campione (gli otto oscillatori + quello a frequenza che non costa) che ha uno zero proprio a Khz x Il risultato del filtro a campionamento in frequenza; costa poco.

5 Il filtro a campionamento in frequenza visto nei tempi. Le sovraelongazioni sono state ridotte ponendo H (8KHZ)=.5 invece di.. 5