ESERCITAZIONE 12 : PREPARAZIONE AL COMPITINO

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1 ESERCITAZIONE 1 : PREPARAZIONE AL COMPITINO tommei@dm.unipi.it web: tommei Ricevimento: Martedi Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 16 8 Gennaio 013

2 Percentuali - Esercizio I tuoi genitori hanno regalato a te e a tuo fratello dei BOT, che avete diviso al 50%. Poiché hai prestato dei soldi a tuo fratello, tuo fratello ti ha ceduto il 15% dei suoi BOT, ma il valore dei BOT nel frattempo è diminuito del 0%. Il tuo capitale in BOT è aumentato, rimasto invariato o diminuito rispetto al valore iniziale?

3 Percentuali - Soluzione Indicando con N il valore complessivo dei BOT, a te e tuo fratello tocca inizialmente un capitale in BOT pari a N/. Tuo fratello decide di cederti il 15% dei suoi BOT, quindi il 15% del suo 50%, ovvero ((15/100) (50/100) = 7.5/100) il 7.5% del capitale totale: questo significa che la tua quota di BOT passa da 50% a 57.5% con un incremento del 15% (( )/50 = 7.5/50 = 15/100). Il tuo capitale diventa allora N (1 + 15/100) Se tale capitale subisce una diminuzione del 0% allora avremo un capitale finale pari a N ( ) ( 1 0 ) = N ( 1 8 ) 100 ovvero una diminuzione del capitale iniziale pari a 8%.

4 Funzioni lineari - Esercizio Nello studio di una varietà sperimentale di una certa pianta, è noto che la quantità di semi, calcolata in percentuale, che germinano entro una settimana dalla semina G dipende dalla temperatura T del terreno. E noto inoltre che: se la temperatura varia da 15 C a 30 C la percentuale di semi germinati segue una legge lineare; per temperature tra 30 C e 35 C la percentuale rimane costante; per temperature tra 35 C e 40 C la percentuale di semi germinati segue di nuovo una legge lineare; temperature al di sotto di 15 C o al di sopra di 40 C impediscono ai semi di germinare. Sono stati raccolti i seguenti dati sperimentali: per T=1, G(1)=36; per T=7, G(7)=7 Determina G(T) e disegna il suo grafico.

5 Funzioni lineari - Soluzione Leggendo con attenzione il testo si deduce che la funzione G(T) è definita a tratti ed in particolare vale 0 negli intervalli [, 15] e [40, + ]. Nell intervallo [15, 30] G(T) è lineare ed è possibile esprimere la sua equazione sfruttando i dati sperimentali; l equazione sarà del tipo y = m 1 x + q 1, con m 1 = = 6 e q 1 ottenuto imponendo il passaggio per un punto (ad esempio (15,0)): 0 = q 1 q 1 = 90 Nell intervallo [30, 35] G(T) rimane costante ed il suo valore sarà dato dal valore che l espressione lineare ottenuta precedentemente assume per x = 30: = 90. Nell intervallo [35, 40] G(T) segue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per arrivare al punto (40,0), poiché deve valere 0 per temperature superiori a 40, quindi: m = = 18 e q = = 70.

6 Funzioni lineari - Soluzione G G=6T 90 G= 18T T

7 Disequazioni quadratiche - Esercizio Risolvi la seguente disequazione 1 x x x Disegna poi l insieme S T dove S = {(x, y) R R : y 1 x } e T = {(x, y) R R : y x x}

8 Disequazioni quadratiche - Soluzione analitica Possiamo procedere analiticamente o graficamente; scegliamo la prima strada. Se x 1 allora 1 x x x x x 1 0 x 1 5 x da cui segue (ricorda che x 1) Se x > 1 allora x 1 5 x 1 x x x 3 x x 3 5 x da cui segue (ricorda che x > 1) La soluzione completa è allora x x 1 5 x 3 + 5

9 Disequazioni quadratiche - Soluzione grafica Grafici delle funzioni y = 1 x e y = x x. L insieme S T è quello compreso tra i due grafici.

10 Funzioni razionali fratte - Esercizio 1 Sia data la funzione f(x) = (a 1) x + b 1 x con i parametri a, b R a, b 1. a) Calcola i parametri a e b sapendo che f( 1) = 6 e f( 5) = 10. b) Determina l espressione esplicita della funzione g(x) ottenuta traslando il grafico di f(x) di 1 unità verso destra e poi dividendo per le ordinate. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova i valori di x per i quali f(x) 6. d) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova il valore f(α) sapendo che 5 α + α = 13

11 Funzioni razionali fratte - Soluzione 1 a) L insieme di definizione della funzione, qualunque siano i parametri (supposti entrambi diversi da 1), è R {0}. Imponendo le condizioni f( 1) = 6 e f( 5) = 10 si arriva al sistema lineare di due equazioni nelle due incognite a e b { a + b = 8 5 (a 1) + (b 1)/5 = 10 che ha come soluzione a = e b = 6 (si può risolvere, ad esempio, per sostituzione). La funzione cercata è quindi f(x) = x + 5 x b) La prima trasformazione da applicare è x x 1 ottenendo la funzione h(x) = (x 1) + 5/(x 1) ; tenendo poi fissa la funzione e dividendo per le ordinate, si ha un riscalamento che porta alla trasformazione h(x) h(x) ottenendo [ ] g(x) = (x + 1) + 5 (x + 1) Se la divisione per delle ordinate fosse stata interpretata come divisione dei valori della funzione avremmo avuto g(x) = 1 [ ] (x + 1) 5 + (x + 1)

12 Funzioni razionali fratte - Soluzione 1 c) Imponenedo f(x) 6 si ha x + 5 x x x 6 x x 4 6 x x (x 1) (x 5) 0 (x 1) (x + 1) (x 5) (x + 5) 0 5 x 1 1 x 5 d) Per trovare f(α) potresti risolvere l equazione in α 5 α + α = 13 e successivamente andare a sostituire il risultato nell equazione che definisce f(x). C è però un modo più semplice. Eleva al quadrato ambo i membri della precedente uguaglianza: ( ) 5 α + α = 13 5 α + 5 α α + α = α + α = = 159 Ma il primo membro dell uguaglianza precedente non è altro che f(α), da cui segue che f(α) = 159.

13 Funzioni razionali fratte - Esercizio Sia data la funzione con i parametri a, b R a, b 0. f(x) = a x b x a) Calcola i parametri a e b sapendo che f( 1) = 3/ e f( ) = 5. b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua l insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f(x) = 0. c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti agli estremi dell insieme di definizione.

14 Funzioni razionali fratte - Soluzione a) Imponiamo le condizioni f( 1) = 3/ e f( ) = 5: a ( 1) b = 3 1 a b = 9 a ( ) b = 5 4 a b = 0 Risolvendo il sistema si trova a = 31/6 e b = /3, ovvero la funzione è f(x) = 31 x 4 6 x b) La funzione non è definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di definizione è {x R : x }. f(x) = 0 31 x 4 = 0 x = ± 31 c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ± e a da destra e sinistra. A ±, numeratore e denominatore tendono a +, ma il numeratore è un polinomio di grado superiore rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite è + : lim f(x) = + lim x + f(x) = + x Per x che tende a, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi lim f(x) = + lim x + f(x) = + x

15 Probabilità - Esercizio 1 Considera eventi A e B tali che P(A)=1/4, P(B A)=1/ e P(A B)=1/4. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a) Gli eventi A e B sono incompatibili b) A è un sottoevento di B c) P( A B)=3/4 d) P(A B)+P(A B)=1

16 Probabilità - Soluzione 1 a) Gli eventi A e B sono incompatibili se e solo se P(A B)=0, ma P(A B)= P(B A) P(A)=1/8 quindi i due eventi non sono incompatibili; sapendo inoltre che P(A B)=1/4 si ricava facilmente la probabilità di B: P(B)=P(B A) P(A)/ P(A B)=1/. b) A è un sottoevento di B se e solo se P(A B)=P(A), ma questo è falso perché P(A B)=1/8, mentre P(A)=1/4. c) Guardando con attenzione i valori delle probabilità di cui disponiamo ci si rende subito conto che i due eventi A e B sono indipendenti: P(A B)=P(A) P(B). Sono indipendenti anche gli eventi A e B? L evento A è unione disgiunta degli insiemi ( A B) e ( A B) quindi si ha: P( A)=P( A B) + P( A B) ; è facile dimostrare che se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B per cui P( A B)=P( A) P(B) e si ha da cui P( A)=P( A B)+P( A) P(B), P( A B)=P( A)-P( A) P(B)= P( A)(1-P(B))=P( A) P( B) e quindi gli eventi A e B sono indipendenti. Poiché i due eventi sono indipendenti si ha P( A B)=P( A)=1-P(A)=3/4 d) Come detto prima è facile provare che A e B sono eventi indipendenti quindi P(A B)+P(A B)=P(A)+P(A)= P(A)=1/ 1

17 Probabilità - Esercizio In una certa popolazione la probabilità che un individuo sia affetto dalla malattia M è il 0%. A seguito di indagini epidemiologiche si constata che, mentre il 10% degli individui di quella popolazione presenta un dato sintomo S, tra coloro che sono affetti dalla malattia M la percentuale di chi presenta tale sintomo sale al 40%. a) Calcola la probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto da M, ma non presenti il sintomo S. b) Calcola la probabilità che un individuo che presenta il sintomo S sia affetto da M. c) Calcola la probabilità per chi NON presenta il sintomo di NON essere affetto da M.

18 Probabilità - Soluzione Indichiamo con P (M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto dalla malattia M P ( M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione NON sia affetto dalla malattia M P (S): probabilità che un individuo celto a caso nella popolazione presenti il sintomo S P ( S): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione NON presenti il sintomo S Per ipotesi sappiamo che P (M) = 0% = 1/5 (di conseguenza P ( M) = 80% = 4/5), che P (S) = 10% = 1/10 (di conseguenza P ( S) = 90% = 9/10) e che P (S M) = 40% = /5 (di conseguenza P ( S M) = 60% = 3/5) a) Dobbiamo calcolare P (M S): b) Dobbiamo calcolare P (M S): P (M S) = P ( S M) P (M) = 3 5 P (S M) P (M) P (M S) = = P (S) = 3 5 c) Dobbiamo calcolare P ( M S), ma per far questo ci serve la probabilità P ( S M): da cui e quindi Allora = 4 5 P (S) = P (S M) P (M) + P (S M) P ( M) P (S) P (S M) P (M) P (S M) = = 1 P ( M) 40, P ( S M) = 1 P (S M) = P ( S M) P ( M) P ( M S) = P ( S) Un modo forse più veloce Giacomo di fare Tommei lo stesso conto è il seguente: = = 13 15

19 Probabilità HW - Esercizio Il gruppo sanguigno è determinato da un locus genetico con tre possibili alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0 corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l allele A ha frequenza 0.6, l allele B ha frequenza 0.3 e l allele 0 ha frequenza 0.1, calcola: a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche; b) la probabilità che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo sanguigno AB; c) la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione abbia gruppo sanguigno AB, sapendo che la madre ha gruppo sanguigno AB ed il padre ha gruppo sanguigno A.

20 Probabilità HW - Soluzione Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi p = 0.6 q = 0.3 r = 0.1 Si ha p + q + r = 1 da cui p + q + r + p q + q r + q r = 1 dove p = 0.36, q = 0.09, r = 0.01, p q = 0.36, q r = 0.06 e p r = 0.1. a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero f(aa) = p f(bb) = q f(00) = r f(ab) = p q f(b0) = q r f(a0) = p r Le frequenze fenotipiche sono f(a) = p + p r = 0.48 f(b) = q + q r = 0.15 f(ab) = p q = 0.36 f(0) = r = 0.01 b) c) P(AB P AB M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P AB M AB ) ( p q/) ( p q/) ( p q) = 1 P(AB P A M AB ) = P(AB P A M AB ) P(P A M AB ) (p + p r) p q (p + p r) ( p q) = 1 48 = P(AB P AB M AB ) P(P AB ) P(M AB ) = P(AB P AB M AB ) P(P A ) P(M AB ) = =