Esercizi aprile Sommario Conservazione dell energia e urti a due corpi.

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1 Esercizi aprile 208 Sommario Conservazione dell energia e urti a due corpi. Conservazione dell energia. Esercizio Il motore di un ascensore solleva con velocità costante la cabina contenente quattro persone per un dislivello h = 45 m; sapendo che la massa complessiva della cabine e delle persone contenute è m = 450 kg, determinare il lavoro compiuto dal motore determinare il lavoro della forza peso.. Soluzione Poiché il moto avviene con velocità costante, la somma delle forze agenti deve essere nulla; pertanto la forza con cui il motore solleva la cabina e le persone in essa contenute è uguale in modulo e direzione ma opposta in verso alla forza peso. Tale forza è quindi F = mg. Lo spostamento ha modulo h ed è parallelo ed equiverso alla forza F e quindi il lavoro è dato da L = F h = mgh = J La forza peso, che si oppone al sollevamento della cabina da parte del motore dell ascensore, forma con il vettore spostamento un angolo α = 80 o ; il suo lavoro è quindi negativo e vale L p = mgh = J Poiché la forza totale agente sulla cabina è nulla, deve essere nullo anche il lavoro totale di tale forza, come infatti accade.

2 .2 Esercizio Una palla di 00 g viene lanciata verticalmente verso l alto con velocità pari a 2 m/s a partire da un altezza di 3 m rispetto al suolo. Determinare: il tempo impiegato per raggiungere l altezza massima; il valore dell altezza massima rispetto al suolo; l energia cinetica all istante dell impatto col suolo; il lavoro compiuto dalla forza peso dall istante in cui la palla viene lanciata all istante dell impatto col suolo. Soluzione Moto di caduta dei gravi (moto uniformemente accelerato). Il tempo in cui la palla raggiunge l altezza massima è momento in cui la velocità del corpo si annulla e cambia verso. Di conseguenza v hmax = 0 m/s. Sappiamo inoltre che sul corpo agisce la forza peso e dunque questo possiede un accelerazione di verso opposto rispetto alla direzione del moto di modulo g = 9.8 m/s. L intervallo di tempo per raggiungere l altezza massima può essere ricavato dalla definizione di accelerazione ā = v t. t = v hmax v 0 g = 0.2 s Per calcolare il valore dell altezza massima rispetto al suolo si possono seguire due vie: la prima è quella di usare la legge oraria della cinematica, la seconda quella di utilizzare la conservazione dell energia per calcolare lo spazio percorso dal punto inziale all altezza massima e poi sommare h 0. Mostriamole entrambe: h tot = h 0 + v 0 t 2 gt2 = = 3.2 m Attenzione ad assegnare il segno corretto alla velocità e all accelerazione a seconda che il loro verso sia concorde o discorde alla direzione del moto. Metodo: il teorema di conservazione dell energia dice che in assenza di forze dissipative la somma dell energia potenziale e cinetica si conserva, cioè l energia meccanica si conserva E m = E p + E c = cost. mgh = 2 mv2 0 h = v2 0 2g = 0.2 m e di conseguenza h tot t = h + h 0 = 3.2 m 2

3 Per risolvere il punto 3 considero ancora il teorema di conservazione dell energia cinetica. Come punto iniziale consideriamo, per comodità, il punto in cui il corpo ha raggiunto l altezza massima, punto in cui l energia cinetica è nulla (in quanto v = 0) e l energia potenziale è massima, e come punto finale il punto di contatto col suole, dove la situazione energetica è invertita. E i m = E f m = E i c + E i p = E f c + E f p = 0 + mgh tot = E f c + 0 E f c = 3, 7J Per calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso basta calcolare l energia potenziale della pallina nella posizione inziale rispetto al suolo.3 Esercizio L = mgh 0 = 2.94J Un sasso viene lanciato verso l alto a partire dall altezza h = 50 cm rispetto al suolo con una velocità iniziale di modulo v = 8.5 m/s; determinare:. l altezza massima H raggiunta; 2. il modulo v 2 della velocità del sasso quando esso si trova a h 2 = 3.2 m di altezza dal suolo; 3. a quale altezza h 3 il modulo della velocità è v 3 = 4.0 m/s; 4. il modulo v della velocità con cui il sasso cade a terra..3. Soluzione ) Sul sasso agisce la sola forza peso, che è conservativa; quindi l energia meccanica si conserva. Poiché quando il sasso raggiunge il punto più alto della sua traiettoria si ferma (prima di ricadere), in quel punto l energia cinetica è nulla e quindi tutta l energia meccanica è trasformata in energia potenziale, vale cioè 2 mv2 + mgh = mgh H = h + v2 2g = 5.2 m 2) In questo caso la conservazione dell energia meccanica si scrive 2 mv2 + mgh = 2 mv2 2 + mgh 2 v 2 = 3 v 2 2g(h 2 h ) = 6.2 m/s

4 Si osservi che quello trovato è il modulo della velocità del sasso quando si trova all altezza h 2 sia nel suo moto di salita che nel suo moto di ricaduta; il modulo della velocità, quindi, dipende solo dall altezza. 3) Si procede come nel caso precedente e si trova 2 mv2 + mgh = 2 mv2 3 + mgh 3 h 3 = h + v2 + v3 2 2g = 4.4 m 4) In questo caso, quando il sasso arriva a terra, l energia meccanica è tutta cinetica, quindi si ha 2 mv2 + mgh = 2 mv2 v = v 2 + 2gh = 0 m/s.4 Esercizio Un punto materiale che si trova sulla sommità di una semisfera di raggio r = 2.0 m viene messo in movimento con un velocità iniziale di modulo v 0 tangente alla superficie sferica e scivola, senza attrito, sulla superficie esterna di questa; determinare. come il punto di distacco dipende da v 0 ; 2. il valore massimo di v 0 affincé il punto materiale non si stacchi subito dalla sfera..4. Soluzione ) Sul punto materiale agiscono la forza peso mg e la reazione vincolare della superficie semisferica; la legge fondamentale della dinamica quindi si scrive: mg + N = ma 4

5 In ogni punto il vettore accelerazione ha una componente tangente, responsabile dell aumento del modulo della velocità nel tempo, e una componente centripeta, responsabile della variazione della direzione del vettore accelerazione lungo la traiettoria circolare. Quindi, fino a che il punto materiale si trova sulla semisfera, la componente perpendicolare alla superficie sferica della precedente equazione è mg sin α N = m v2 r vi è contatto fra il punto materiale e la semisfera fino a che N è diverso da zero; la condizione di distacco quindi si trova per N = 0; si ha pertanto g sin α = v2 r Il valore di v 2 può essere ricavato dalla conservazione dell energia; vale Infatti 2 mv2 0 + mgr = 2 mv2 + mgr sin α v 2 = v gr( sin α) inserendo questo risultato nella precedente equazione si trova sin α = v2 0 3gr che è la relazione richiesta. 2) La condizione di distacco nel punto di partenza del moto si ottiene dalla relazione precedente ponendo α = 90 o ; si ottiene allora.5 Esercizio = v2 0 3gr v 0 = gr = 4.4m/s Un punto si muove su un asse orizzontale liscio con velocità v 0. Quando passa nella posizione A esso inizia a salire lungo una guida circolare liscia di raggio, che giace in un piano verticale. Calcolare la velocità del punto e la reazione vincolare della guida in B e in C. Qual è il valore minimo di v 0 affinché il punto arrivi in C mantenendo il contatto con la guida?.5. Soluzione La velocità nei vari punti della guida si ricava applicando il principio di conservazione dell energia meccanica: 2 mv2 0 = 2 mv2 + mgh v = v0 2 2gh essendo h la quota rispetto alla base A. Pertanto: 5

6 in B ) h = v = v 2 0 2g in C ) h = 2 v = v 2 0 4g La reazione normale della guida si somma alla componente della forza peso normale alla guida per dare la necessaria forza centripeta: N mg cos θ = m v2 In A la reazione è massima, per poi decrescere con continuità fino a C. Abbiamo: in A ) N A mg = m v2 0 N A = m v2 0 + mg in B ) N B = m v2 B N B = m v2 0 2mg in C ) N C + mg = m v2 C N C = m v2 0 5mg In questo calcolo si suppone che il punto sia sempre a contatto con la guida; dato che N non può mai esere negativa, il valore minimo possibile in C è N C = 0, da cui ne seguire m v2 0 = 5mg v 0 = 5g = v min 6

7 se v 0 è inferiore a questo limite il punto si stacca dalla guida prima di arrivare in C e segue una traiettoria parabolica. Con v 0 = v min si ha v B = 3g, N B = 3mg, v C = g.6 Esercizio Si studi l urto completamente anelastico, tra due punti di massa m e m 2, in moto con velocità v e v 2, perpendicolari tra di loro..6. Soluzione Prendiamo come origine del sistema di assi x, y il punto in cui avviene l urto. Chiamiamo θ l angolo formato dalla quantità di moto totale P = mv CM con 7

8 l asse x. P è costante nell urto per cui: m v + m 2 v 2 = (m + m 2 )v CM In questo problema bidimensionale la conservazione della quantità di moto, che è una legge vettoriale, dà luogo a due equazioni di conservazione, lungo l asse x e lungo l asse y, ottenute per proiezione: P x,in = m v = P x,fin = (m + m 2 )v CM cos θ per cui: P y,in = m 2 v 2 = P y,fin = (m + m 2 )v CM sin θ tan θ = m 2v 2 m v, v CM = (m v ) 2 + (m 2 v 2 ) 2 m + m 2.7 Esercizio Un punto materiale di massa m = kg viene lanciato lungo la verticale da una molla di costante elastica K = 300 N/m, con la compressione iniziale δx = 0 cm e lunghezza a riposo l o = 8 cm. Il punto materiale si stacca quando la molla raggiunge la posizione di riposo. aggiunta un altezza h = 30 cm dalla posizione di distacco dalla molla, (ancora in fase ascendente) il punto materiale esplode in due frammenti di massam = kg e m 2 = kg come illustrato in figura. Gli angoli formati dalle direzioni delle due velocità v 0 e v 02 dei due frammenti subito dopo l esplosione rispetto all orizzontale sono θ = 30 o, θ 2 = 20 o. Si chiede di calcolare (trascurando l attrito):. La velocità v 0 del punto materiale subito dopo il distacco dalla molla; 2. le velocità v 0 e v 02 dei due punti materiali subito dopo l esplosione; 8

9 3. L altezza massima raggiunta da m rispetto alla posizione dell esplosione; 4. La distanza d, rispetto alla posizione del distacco, in cui m 2 cade a terra. 9