TECNICHE DI GESTIONE,CONDUZIONE DI MACCHINE ED IMPIANTI

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1 TECNICHE DI GESTIONE,CONDUZIONE DI MACCHINE ED IMPIANTI APPUNTI -CLASSI QUARTE Gli appunti sono da integrare con gli argomenti e/o esercizi svolti nelle lezioni. MODULO 1- RICHIAMI DI GEOMETRIA FIGURE GEOMETRICHE SEMPLICI Si indica con P= perimetro, A=area QUADRATO P= 4a=a+a+a+a A=a*a ROMBO P= 4a b*c A= 2 RETTANGOLO P= 2a+2b A=b*a 1

2 TRIANGOLO QUALSIASI P= a+b+c c*h A= 2 La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180 α+β+γ=180 α= alfa, β=beta, γ=gamma TRIANGOLO RETTANGOLO HA UN ANGOLO DI 90 P= a+b+c l area tratteggiata del triangolo è pari alla metà dell area del rettangolo di lati a,b a*b A= 2 Teorema di Pitagora si ha che c =a +b, l ipotenusa c è pari alla somma dei quadrati dei due lati a,b. quindi: a =c -b ; b =c -a c= a +b. 2 2 TRAPEZIO P= d+a+f+c. ( d a) h A 2 2

3 TRAPEZIO RETTANGOLO P= d+a+h+c. ( d a) h A 2. l area A del trapezio può essere calcolata come somma dell area A1 del rettangolo di lati a,h e dell area A2 del triangolo rettangolo di lati b, h A=A1+A2. Esempio P= 6+16+c+f i lati c, d si ricavano con il teorema di Pitagora. 2 2 c= f= ,2 l area A del trapezio può essere calcolata come somma delle aree A1,A2,A3 A1=6*7= 42 cm 2 A2=6*7/2=21 cm 2 A3=4*7/2=14 cm 2 A=A1+A2+A3= =77 cm 2 oppure A=(16+6)*7 /2=77 cm 2 3

4 CERCHIO DI RAGGIO R E CENTRO C L (lunghezza della circonferenza)=2*π*r angolo giro =360 π=pi greco 3.14 A (area)= π*r 2. META CERCHIO RAGGIO R L=2*π*R/2 (la lunghezza L è pari alla metà della lunghezza del cerchio) angolo piatto (uguale alla metà di quello del cerchio) =360 /2=180 A= π*r 2 /2 (l area è uguale alla metà dell area del cerchio ). 4

5 QUARTO DI CERCHIO RAGGIO R L =2*π*R/4 (la lunghezza L è pari ad un quarto della lunghezza del cerchio) angolo (uguale ad un quarto di quello del cerchio) =360 /4=90 A = π*r 2 /4 (l area è pari ad un quarto dell area del cerchio ). CORONA CIRCOLARE ( ANELLO) P=2*π*R+2*π*r (il perimetro è pari alla somma delle lunghezze delle circonferenze di raggio R e r) A= π*r 2 - π*r 2 (l area è pari alla differenza tra l area del cerchio di raggio R e quella del cerchio di raggio r). CONVERSIONE DEGLI ANGOLI DA GRADI A RADIANTI Angolo α tra due segmenti AO e BO. Gli angoli possono essere espressi in gradi ( esempio 45 ) oppure in radianti (esempio π/4) Esiste una corrispondenza biunivoca tra l angolo espresso in gradi ed il suo corrispondente espresso in radianti. Per convertire un angolo da gradi a radianti si usa la formula: 5

6 π 180 rad α = α ( angolo alfa in radianti) esempio con α =45 : π rad α = 45 = 45 =0.785 radianti l angolo giro α=360 corrisponde a α=2π radianti l angolo retto α=90 corrisponde a α=π/4 radianti l angolo piano α=180 corrisponde a α=π radianti l angolo α=270 corrisponde a α=3π/2 radianti y x SETTORE CIRCOLARE DI RAGGIO R E ANGOLO α QUALSIASI L= R*α rad (la lunghezza L dell arco è pari al raggio R moltiplicato per l angolo α rad del settore espresso in radianti) 2 π R A= α 360 L area A del settore circolare si trova impostando la proporzione: Angolo α : 360 = Area del settore : Area del cerchio 6

7 CALCOLO DI AREE DI FIGURE GEOMETRICHE COMPLESSE. Il calcolo delle aree di figure geometriche piane può essere determinato tramite la somma o la sottrazione delle aree delle figure geometriche semplici trattate, per geometrie più complesse è conveniente l utilizzo del software CAD 2D. CALCOLO DELLA PERCENTUALE DI SFRIDO. DEFINIZIONI At= area totale del materiale dal lavorare ( tessuto, cuoio, etc) Am= area totale del modello/sagoma che si intende realizzare Asf= area di sfrido ( area del materiale di scarto a seguito del taglio) %Sf= percentuale di sfrido PIAZZAMENTO= posizionamento delle sagome sul tessuto da tagliare per ottenere la minore percentuale di sfrido. QUOTATURA DEL MODELLO= assegnazione di tutte le lunghezze (quote) per poterlo riprodurre fedelmente. Le sagome da realizzare vengono posizionate sul tessuto in lavorazione in modo da ottenere la minor percentuale di sfrido (quindi minore scarto di materiale) FORMULE DI CALCOLO Asf=At - n*am n= numero di modelli uguali %Sf= Asf*100% At ( si utilizza la proporzione %Sf: Asf=100% : At) Se le sagome da realizzare hanno forme diverse l area totale Am del modello sarà data dalla somma delle aree di tutti i modelli Am= A+B+F+E+P ( esempio figura seguente) 7

8 L utilizzo di appositi software CAD permette il calcolo automatico del piazzamento delle sagome in modo da ottenere la minor percentuale di sfrido. 8

9 ESERCIZI esercizio 1 dimensioni in cm Calcolare la percentuale di sfrido At=40*18=720 cm 2 (area totale tessuto) 9

10 Am=π*R 2 =3.14*5 2 =78.5 cm 2 (area totale modello) Asf=At-n*Am=720-4*78.5=406 cm 2 (area sfrido) Asf*100% 406*100% %Sf= 56.3% (percentuale di sfrido) At 720 lo scarto ( 56.3%) è pari a circa la metà del tessuto di partenza (100%) esercizio 2 Calcolare la percentuale di sfrido e l area del modello. dimensioni in cm Soluzione At=22*36=792 cm 2 (area totale tessuto) in questo caso è più semplice calcolare prima l area dello sfrido che è la somma delle aree A1, A2, A3 Asf= A2+A1+A3 A1=A3=22*10/2 =110 cm 2 (area del triangolo rettangolo) A2= π*r 2 /2=3.14*8 2 / cm 2 ( area di metà cerchio di raggio R=8) Asf= A2+A1+A3= =320.5 cm 2 (area sfrido) 10

11 dalla formula Asf=At-n*Am si ricava n*am=at-asf ( con n=1) 1* Am= =471.5 cm 2 (area del modello) Asf*100% 320.5*100% %Sf= 40.5% (percentuale di sfrido) At 792 esercizio 3 dimensioni in cm 11

12 Soluzione At=34*40=1360 cm 2 (area totale tessuto) anche in questo caso è più semplice calcolare prima l area dello sfrido come somma delle aree A1, A2, A3 Asf= A2+A1+A3 A1=A3= π*r 2 /4 113 cm 2 (area di un quarto di cerchio di raggio R= 12) A2= 10*20=200 cm 2 ( area del rettangolo) Asf= A2+A1+A3= =426cm 2 (area sfrido) dalla formula Asf=At-n*Am si ricava n*am=at-asf ( con n=1) 1* Am= =934 cm 2 (area del modello) Asf 100% % %Sf= 31% (percentuale di sfrido) At 1360 esercizio 4 Calcolare la percentuale di sfrido del modello seguente per n=3 sagome dimensioni in cm 12

13 soluzione Am=A1+A2+A3= 15*40+20*15/2 +30*20/2= =1050 cm 2, At=90*60= 5400 cm 2 Asf=At-3*Am=5400-3*1050= 2250 cm 2 %Sf= Asf*100% /At = 2250*100% / 5400= 41,6% 13

14 esercizio 5 Calcolare la percentuale di sfrido del modello seguente per n=1 sagome dimensioni in cm soluzione Am=A1+A2+A3+A4+A5=3.14*12 2 /2+31*24+21*10+22*12/2+22*12/2 = =1444 cm 2, At=65*45=2925 cm 2 14

15 Asf=At-1*Am=2925-1*1444= 1481 cm 2 %Sf= Asf*100% /At = 1481*100% / 2925= 50,6% esercizio 6 Calcolare l area Am ( per la risoluzione si utilizza il settore circolare ed il triangolo rettangolo) dimensioni in cm soluzione Am=A1-A2=3.14*20 2 /4-20*20/2= = 114 cm 2 15

16 esercizio 7 Calcolare la percentuale di sfrido del modello seguente per n=1 sagome dimensioni in cm 16

17 soluzione At=3.14*45 2 =6358,5 cm 2 Am=A1+4*A2+4*A3+4*A4= 20*20+4*(10*30)+4*(10*20/2)+4*(3.14*10 2 /2) = = 400+4*(300)+4*(100)+4*(157) 2628 cm 2 Asf=At-1*Am=6358,5-1*2628= 3730,5 cm 2 %Sf= Asf*100% /At = 3730,5*100% / 6358,5 58,7 % CONVERSIONI DI LUNGHEZZE m dm cm mm procedendo da sinistra verso destra si moltiplica per 10 ad ogni salto di colonna mentre da destra verso sinistra si divide per 10 ad ogni salto di colonna esempio m dm cm mm 23, CONVERSIONI DI AREE m 2 dm 2 cm 2 mm procedendo da sinistra verso destra si moltiplica per 100 ( si aggiungono 2 zeri) ad ogni salto di colonna 17

18 mentre da destra verso sinistra si divide per 100 ( si tolgono 2 zeri) ad ogni salto di colonna esempio m 2 dm 2 cm 2 mm 2 23, Potenze in base ^2=100, 10^3=1000, 10^4=10.000, 10^5= , 10^6= se l esponente è negativo: 10^-2=1/100 =0,01, 10^-3=1/1000=0,001, 10^-4=1/10.000=0,0001, 10^-5=1/ =0,00001, 10^-6=1/ =0, Esercizi Convertire mm 2 in cm 2 6,5 m 2 in cm dm 2 in m cm 2 in m 2 FUNZIONE SENO E COSENO 18

19 In un piano cartesiano x,y di centro o dato un segmento OA di raggio R=1 che ruota in senso antiorario di un angolo α misurato a partire dall asse x, si definisce: la funzione Y=sen α come lunghezza del segmento AM corrispondente all angolo α ( i valori del seno dell angolo α si trovano sull asse y e sono compresi tra -1 ed 1) la funzione X=cos α come lunghezza del segmento OM corrispondente all angolo α ( i valori del seno dell angolo α si trovano sull asse x e sono compresi tra -1 ed 1 ) per α=0 Y=sen0 =0, X=cos0 =1 per α=90 Y=sen90 =1, X=cos90 =0 per α=180 Y=sen180 =0, X=cos180 =-1 per α=270 Y=sen270 =-1, X=cos270 =0 esempio se α=30 Y=sen30 =0,5, X=cos30 =0,866 Esercizio Calcolare il seno e il coseno di : α=135, α=250,α=60 APPLICAZIONE AL TRIANGOLO RETTANGOLO Il triangolo di vertici OAM è un triangolo rettangolo, se R ha un valore diverso da 1 ( ad esempio R=C) si ha che: il cateto verticale AM è a=c*sen α il cateto orizzontale OM è b=c*cos α 19

20 Si definisce tangente dell angolo α ( tg α) il rapporto tra il seno ed il coseno dell angolo α che è equivalente al rapporto tra i cateti a,b. sen tg = cos esempio: tg30 =0,577 a b se si conoscono i due cateti a, b del triangolo rettangolo e si vuole determinare l angolo α bisogna considerare ( sulla calcolatrice) la funzione inversa ( arcotg) della tangente. arcotg a b esempio: a=45 cm b=57 cm si trova α= arctg(45/57) 38 mentre per Pitagora c a b cm 20

21 esempio: determinare i cateti a,b data l ipotenusa C=50 cm soluzione : a=50*sen35 = 28,6 cm b=50*cos35 =40,9 cm TEOREMA DEI SENI Dato un triangolo qualsiasi vale la regola che i lati sono proporzionali al seno degli angoli opposti. a c b sen sen sen teorema dei seni da cui si trovano : b sen c sen a, a sen sen b sen a sen c, c sen sen c sen a sen b, b sen sen 21

22 esempio si conoscono il lato b=29,71 cm e gli angoli α=51,7, β=28,3 si ha α+ β+γ=180 da cui si ricava l angolo γ γ=180 - α- β = ,7-28,3 =100 dal teorema dei seni si trovano i lati a,c del triangolo: b sen 29,71 sen51,7 a 49,1 cm sen sen28,3 a sen 49,1 sen100 c 61,6 cm sen sen51,7 22

23 esercizi. dati i seguenti triangoli (1,2,3,4) ricavare i lati e gli angoli incogniti. Soluzioni Triangolo 1 β= ,5= 58,5, a= 44,3*sen31,5 /sen90 23,14, b=44,3*cos31,5 37,77 Triangolo 2 α= ,1 37,9, c= (37,79^2+29,47^2) 47,9 (teorema di Pitagora) Triangolo 3 α= ,9 36,1, a= 46,74 *sen36,1 /sen68 29,7, c=46,74 *sen75,9 /sen 68 48,89 Triangolo 4 α= arctg(23,23/28,88) 39,4 β= arctg(28,28/23,23) 50,59, c= (28,88^2+23,23^2) 36,59 23

24 IL PIANO CARTESIANO ORTOGONALE Il piano cartesiano rappresenta il sistema di riferimento assoluto nel quale viene disegnato il modello CAD ( anche il software autocad utilizza gli stessi principi trattati di seguito). DISEGNO DI LINEE Le linee vengono disegnate attraverso segmenti conoscendo le coordinate dei punti estremi P1(x1,y1) e P2(x2,y2) del segmento. i punti vengono indicati per semplicità con un numero e tra parentesi le coordinate (x,y) del punto esempio 24

25 oppure conoscendo un punto estremo del segmento esempio P1(x1,y1), la lunghezza L del segmento ed il suo angolo α misurato in senso antiorario a partire dall asse passante per P1 parallelo all asse x esempio 25

26 COSTRUZIONE DELLA GEOMETRIA TRAMITE PUNTI ASSEGNATI Le figure geometriche vengono disegnate conoscendo le coordinate dei vertici in questo caso i punti 1,2,3., per disegnare la geometria del modello si ricorre ad una tabella in cui vengono indicate le coordinate x,y dei vari punti che costituiscono la geometria. punto x y congiungendo successivamente i punti ottengo la figura geometrica desiderata in questo caso un triangolo. 26

27 Nel caso siano presenti delle curve queste possono essere rappresentate attraverso archi di circonferenze ( oppure curve particolari approssimate esempio spline). Nella sagoma seguente i punti P1,P2 vengono uniti ( raccordati) attraverso un arco di cerchio di centro C di coordinate (x,y)=(30,81) e raggio R=51.5. Oltre alle coordinate dei punti P1,P2,P3,P4 dei segmenti occorre conoscere anche le coordinate del centro centro C della circonferenza. DEFINIZIONE RACCORDARE = unire 2 o più punti attraverso una linea curva 27

28 28

29 esempio : sagoma simmetrica rispetto l asse y raccordata da un arco di cerchio di raggio r=20 costruzione tramite punti assegnati costruzione tramite angoli e lunghezze delle linee 29