- 1 - L ottica geometrica studia il comportamento dei raggi luminosi. Le leggi che governano il comportamento dei raggi sono 5:

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1 - 1-1 CAPITOLO I I questo capitolo cerchiamo di riassumere molto brevemete i pricipali cocetti di ottica geometrica che sarao ecessari el prosieguo di questa dispesa. 1.1 Leggi dell ottica geometrica L ottica geometrica studia il comportameto dei raggi lumiosi. Le leggi che goverao il comportameto dei raggi soo 5: 1. La luce si propaga i modo rettilieo i u mezzo omogeeo; 2. I raggi lumiosi soo tra loro idipedeti; 3. Legge della riflessioe; 4. Legge della rifrazioe; 5. Ivertibilità dei raggi lumiosi Legge della riflessioe e della rifrazioe I raggi riflessi giaccioo sul piao di icideza e l agolo di riflessioe r è uguale all agolo di icideza i. Si veda la Fig i r t Fig. 1.1 I raggi icidete, riflesso e rifratto el puto che separa due superfici di idice di rifrazioe ed. I raggi rifratti giaccioo ach essi sul piao di icideza e vale la legge di Sell: si i si t ' = (1.1) Il cammio ottico Quado la luce attraversa ua distaza d i u mezzo omogeeo di idice di rifrazioe, il cammio ottico è il prodotto d. I geerale si ha:

2 - 2 - = + + = [ d] 1d 1 2d2... i idi quado la luce attraversa diversi mezzi omogeei co idice di rifrazioe diversi Riflessioe totale Si cosideri la Fig c > Fig. 1.2 Quado il raggio icidete è quasi parallelo alla superficie di separazioe tra i due mezzi, il raggio rifratto si avvicia all agolo critico. Nel caso limite i cui il raggio icidete si avvicia a 90 co la ormale alla superficie, il raggio rifratto si avvicia all agolo critico: si c = ' Ne cosegue che per il pricipio di ivertibilità dei raggi essu raggio co > c può essere rifratto. Si avrà quidi riflessioe totale per tutti i raggi proveieti dal mezzo co idice di rifrazioe > co > (Fig. 1.3). c c > Fig. 1.3 Il raggio o viee più trasmesso ell altro mezzo, ma è completamete riflesso.

3 Riflessioe e rifrazioe co superfici piae U fascio di raggi paralleli icidete su di ua superficie piaa rimae parallelo dopo la riflessioe e la rifrazioe. Le dimesioi del fascio riflesso soo ialterate, metre quelle del fascio rifratto variao co il rapporto cos '/ cos, dove ' e soo rispettivamete gli agoli di rifrazioe e di icideza rispetto alla ormale alla superficie piaa rifragete. U peello di raggi divergete rimae divergete dopo la riflessioe e la rifrazioe (vedi Fig. 1.4). Q A Q Q Q A Fig. 1.4 Riflessioe e rifrazioe di u peello di raggi divergete da ua sorgete Q. Nel caso della rifrazioe si ha: ' cos ' s ' = s cos dove s ed s soo le distaze di Q e di Q dal puto A. Per raggi parassiali è poi s =( /)s Superfici sferiche I puti focali primari F e secodari F coessi ad ua superficie di separazioe covessa o cocava soo defiiti dal comportameto osservato i Fig F F F F Fig. 1.5 Defiizioe dei fuochi primari e secodari di ua superficie covessa (a siistra) e cocava (a destra).

4 - 4 - I raggi proveieti dal fuoco F di ua superficie covessa di separazioe di due mezzi di idice di rifrazioe rispettivamete ed emergoo paralleli all asse ottico. Viceversa i raggi paralleli all asse ottico che icotrio ua superficie covessa di tal geere covergoo el fuoco. I raggi covergeti el fuoco F di ua superficie cocava di separazioe tra due mezzi emergoo paralleli all asse ottico. Viceversa i raggi paralleli all asse ottico che icotrio ua superficie cocava soo resi divergeti, ma tali che il loro prolugameto icotri il fuoco secodario F. Dette ƒ ed ƒ le distaze focali dal vertice dei diottri sferici si può dimostrare che si ha: f ' ' = f co f f ' Formazioe di u immagie co u diottro sferico covesso e cocavo Si cosideri la Fig. 1.6 a e b. Q F M M F C Q Fig. 1.6a Formazioe di u immagie da u diottro sferico covesso. L immagie M Q dell oggetto MQ appare capovolta, reale ed igradita tato più quato più MQ si avvicia ad F. Per trovare il puto s dove cade l immagie dell oggetto a distaza s dal vertice del diottro occorre tracciare tre rette per tre direzioi fodametali: la prima è quella parallela all asse ottico che dopo la rifrazioe passa per il fuoco F, la secoda è quella che passa per il cetro di curvatura della superficie che passa ialterata, e la terza è quella che passa per il fuoco F che dopo la rifrazioe viaggia parallela all asse ottico. F F C Fig. 1.6b Formazioe di u immagie da u diottro sferico cocavo. Nel caso di u diottro cocavo l immagie appare diritta, virtuale e rimpicciolita.

5 - 5 - Il rapporto tra la dimesioe trasversale dell immagie e l oggetto è detto igradimeto; el caso delle superfici sferiche abbiamo: y ' M ' Q ' s ' r m = = = y MQ s + r dove s ed s soo le distaze dal vertice del diottro dell immagie e dell oggetto rispettivamete, ed r il raggio di curvatura della superficie sferica. Se m>0 l immagie è virtuale ed eretta, se <0 reale ed ivertita. Per determiare le posizioi s ed s, o il raggio r si può usare la relazioe del diottro sferico: ' ' + = (1.2) s ' s r Se s = si ha ' =, metre se s = è f r ' ' =, da cui segue che f ' r ' f ' =. f 1.2 Leti sottili Due superfici (etrambe sferiche o co ua piaa ed ua sferica) che separao u mezzo di idice di rifrazioe da u mezzo di idice di rifrazioe costituiscoo ua lete. Ua lete si dice sottile quado il suo spessore si può cosiderare piccolo i cofroto co le distaze associate co le sue proprietà ottiche, come ad esempio i raggi di curvatura, le lughezze focali e le distaze dell immagie e dell oggetto. Per ua lete è i geerale f ' = f idipedetemete dalla forma della lete. Le leti positive o covergeti soo le equicovesse, le piao-covesse ed i meischi positivi. Le leti egative o divergeti soo le equicocave, le piao-cocave ed i meischi egativi. Si può dimostrare facilmete che per ua lete sottile valgoo le segueti relazioi i approssimazioe parassiale (cioè per piccoli deviazioi del raggio dall asse ottico e quidi per piccole aperture): = s s ' f x x ' = f 2 (1.3) La prima è detta formula di Gauss e lega la focale della lete alla distaza dell oggetto e dell immagie. La secoda è detta formula di Newto e lega la focale della lete alle distaze x ed x, rispettivamete dell oggetto dal fuoco primario, e dell immagie dal fuoco secodario. U altra relazioe, molto utile per i costruttori di leti, è la seguete: P = = ( 1) f r1 r2 (1.4)

6 - 6 - che lega il potere diottrico P della lete (misurato i diottrie o m -1 ) ad i raggi di curvatura delle due superfici sferiche della lete (ua superficie piaa ha raggio di curvatura ifiito). Le leti covergeti hao P>0, metre quelle divergeti hao P<0. Quado due leti sottili soo a cotatto o separate di poco è P= P 1 + P Formazioe di u immagie da ua lete sottile Si osservio le Fig. 1.7a e 1.7b. f f F F s s Fig.1.7a Formazioe di u immagie da ua lete sottile covergete. f F s s Fig. 1.7b Formazioe di u immagie da ua lete sottile divergete. Le leti sottili covergeti formao immagii reali, capovolte e rimpicciolite quado l oggetto MQ si trova lotao dal fuoco F. A mao a mao che MQ si avvicia ad F l immagie M Q si forma sempre più lotao da F e sempre più igradita. Co MQ i F l oggetto è a fuoco all ifiito, e superato il fuoco F o si forma più u immagie reale, ma virtuale ed eretta i u puto a siistra di F. Le leti sottili divergeti formao immagii virtuali, erette e rimpicciolite per ogi posizioe dell oggetto MQ sull asse ottico, e l immagie è sempre più vicia alla lete dell oggetto.

7 Leti spesse Quado lo spessore di ua lete o può essere cosiderato piccolo rispetto alla sua lughezza focale, la lete si dice spessa. Ua lete spessa può icludere diverse leti compoeti che possoo essere o o essere i cotatto tra loro. Quado si lavora co ua lete spessa la legge di Gauss e di Newto o valgoo più ella forma i cui le abbiamo scritte ella (1.3). Utilizzado la legge del diottro sferico per le due superfici sferiche che costituiscoo la lete, abbiamo: ' ' + = s s ' r ' '' '' ' + = s ' s '' r dove,, ed soo rispettivamete gli idici di rifrazioe dei mezzi separati dalle superfici sferiche della lete (ovviamete per ua lete i aria è = ). Graficamete ivece si parte dalla Fig. 1.6a e si cosidera M Q come uovo oggetto virtuale per il secodo diottro (s 2 e s 2 soo rispettivamete le posizioi dell oggetto virtuale M Q e dell immagie reale M Q dal vertice del secodo diottro). Mediate il metodo dei raggi paralleli si perviee quidi rapidamete a localizzare la posizioe dell immagie M Q (vedi e.g. Jekis & White 1957). U altro modo è quello di localizzare i puti focali e i puti pricipali della lete spessa e di utilizzare la legge di Gauss modificata: = = (1.5) s s" f f '' dove s ed s soo le distaze dell oggetto e dell immagie dai puti pricipali ed f=f è la focale della lete misurata a partire dai piai pricipali (assumedo che = ) 1. I piai pricipali di ua lete spessa si ottegoo prolugado i raggi icideti ed emergeti dalla lete come i Fig r i r e r e r i H F F H Fig. 1.8 I puti pricipali secodario H e primario H di ua lete spessa. 1 Se '' si ha '' f '' f =.

8 - 8 - I piai pricipali soo dei veri piai solo i prossimità dell asse ottico, ma i geerale soo delle superfici curve. Tali piai o soo ecessariamete localizzati etro la lete, ma a secoda della forma della lete possoo trovarsi ache fuori dalla lete stessa. I piai pricipali hao ioltre l importate proprietà di avere igradimeto laterale uitario e positivo. Possiamo quidi dare ua uova defiizioe di lete sottile: ua lete si dice sottile quado i due piai pricipali ed il cetro ottico della lete coicidoo co il cetro geometrico della lete. Ua combiazioi di due o più leti sottili può essere cosiderata ua lete spessa. Per ua lete qualuque vi è sempre ua direzioe da cui i raggi emergeti restao paralleli a quelli icideti. La proiezioe sull asse ottico di tali direzioi dei raggi idetifica i puti odali (Fig. 1.9) N ed N. N C N Fig. 1.9 I puti odali N ed N. I piai perpedicolari all asse ottico passati per i puti odali si dicoo piai odali. Si può dimostrare che se = i puti odali coicidoo co i puti pricipali, altrimeti soo differeti. Il cetro ottico della lete è dato dal puto C. I raggi che passao per C o soo deviati dalla lete. La posizioe di C o dipede dalla lughezza d oda della radiazioe a differeza degli altri puti cardiali F, F, H, H, N, ed N. La Tab. 1.1 riassume le formule geerali utilizzate per le leti spesse (o per ua combiazioe di due leti a distaza d ua dall altra). TAB. 1.1 Formule geerali per le leti spesse ' '' d'' '' d = + = P = P1 + P2 PP 1 2 f f1 ' f2 '' f1 ' f2 '' f '' ' d d A1 F = f 1 A1 F = 1 P2 f2 ' P ' d d A1 H = f f ' A1 H = P2 2 P ' d '' d A2 F = f '' 1 A2 F = 1 P1 f1 ' P ' d '' d A2 H '' = f '' A2 H '' = P1 f ' P ' 1

9 - 9 - I Tab. 1.1 i puti A 1 e A 2 soo rispettivamete i vertici dei due diottri sferici che costituiscoo la lete spessa (o i puti i cui si trovao la prima e la secoda lete sottile). Le distaze focali f1, f1 ', f2 ', f2 '', f, f '' soo rispettivamete quella primaria e secodaria del primo diottro, quella primaria e secodaria del secodo diottro e quelle misurate dai piai pricipali. P 1, P 2 e P soo i poteri diottrici del primo diottro (o prima lete), del secodo diottro (o secoda lete), e della combiazioe dei due. 1.4 Le aberrazioi di ua lete Nel Capitolo II e III parleremo diffusamete del problema delle aberrazioi ei telescopi astroomici. Essedo questi prevaletemete riflettori e o rifrattori o discuteremo delle aberrazioi di questa categoria di strumeti. Nel presete capitolo diamo solo u breve acceo qualitativo sulle aberrazioi preseti elle leti. Abbiamo visto che i approssimazioe parassiale valgoo le relazioi di Gauss e Newto che esprimoo la distaza focale di ua lete sottile i fuzioe delle distaze dell oggetto e dell immagie. Tale approssimazioe cessa di essere valida o appea gli agoli,, e (Fig. 1.10) o soo più approssimabili usado l approssimazioe al I ordie delle fuzioi trigoometriche. Fig Per agoli gradi formati dai raggi lumiosi rispetto all asse ottico o vale l approssimazioe parassiale. Nel tal caso, sviluppado le leggi del diottro i approssimazioe al III ordie, si osserva che i raggi parassiali covergoo più lotai dalla lete dei raggi margiali, dado luogo al feomeo dell aberrazioe sferica. Nel caso poi di oggetti estesi compaioo le aberrazioi fuori asse di Coma, Astigmatismo, Curvatura di Campo, e Distorsioe. Queste soo le cique pricipali aberrazioi moocromatiche che si ottegoo co ua trattazioe matematica i approssimazioe al III ordie. A queste si deve aggiugere l aberrazioe cromatica dovuta al feomeo della dispersioe della luce all itero della lete Aberrazioe sferica L aberrazioe sferica è la più grave delle aberrazioi i quato la sua preseza disturba la qualità dell immagie ache sull asse ottico. U sistema ottico affetto da aberrazioe sferica o è più stigmatico (ad u puto oggetto o corrispode più u solo puto immagie, ma ua figura di aberrazioe).

10 Per ridurre l aberrazioe sferica le leti vegoo costruite co diverso fattore di forma: r q = r + r r Per q=0.714 si ha u miimo, tuttavia o è possibile aullare completamete tale aberrazioe i ua sigola lete a meo di o ricorrere a u costoso e difficile processo di asferizzazioe delle sue superfici. L aberrazioe sferica logitudiale (il segmeto F m F p lugo l asse ottico) si può esprimere i fuzioe dell apertura della lete e della sua focale tramite la relazioe l = cr 2 / f, dove c è il coefficiete di aberrazioe sferica, u umero puro che viee a dipedere dall idice di rifrazioe del vetro, dai raggi di curvatura delle leti (mediate il fattore di forma), e dalla posizioe relativa dell oggetto e dell immagie rispetto alla lete. L aberrazioe sferica trasversale (perpedicolare all asse ottico) è data ivece dalla relazioe approssimata 3 2 t 2 cr / f. F p F m Fig La caustica di aberrazioe sferica i sezioe. La figura di aberrazioe che si produce (Fig. 1.11) viee detta caustica di aberrazioe sferica; essa ha le miime dimesioi i u puto detto circolo di mior cofusioe circa a ¾ di strada tra il fuoco parassiale e quello margiale (vedi Cap. III) Coma La secoda per importaza delle aberrazioi moocromatiche della teoria al III ordie è detta Coma. Essa deriva il suo ome dalla forma a cometa che si osserva quado i raggi proveieti dall ifiito soo fuori asse. La figura di aberrazioe si osserva ache se l oggetto o è all ifiito, ma l apertura del fascio deve essere domiate rispetto alla sua icliazioe. Ogi zoa della lete forma u aello il cui cetro si sposta metre l aello raggiuge le sue dimesioi miime sul piao focale parassiale (Fig. 1.12). Il raggio dell aello viee detto Coma sagittale, metre la dimesioe della figura di aberrazioe ella sua lughezza prede il ome di Coma tageziale. A secoda del verso della figura a cometa si defiisce ua Coma positiva e ua egativa. La caustica che si produce o è u figura di rivoluzioe. Ua lete co fattore di forma q=0.8 ha Coma ulla.

11 Astigmatismo e Curvatura di Campo Quado prevale l icliazioe del fascio sulla sua apertura (sia per u fascio collimato che o collimato) l aberrazioe predomiate viee detta Astigmatismo. I raggi covergoo ivece che i u puto su due segmeti s e t tra loro perpedicolari (Fig. 1.13). Fig La caustica prodotta dalla Coma t s Fig La caustica prodotta dall astigmatismo.

12 L astigmatismo è approssimativamete proporzioale alla lughezza focale della lete e dipede poco dalla forma di quest ultima. Spaziado opportuamete le leti i u sistema ottico o itroducedo dei diaframmi è possibile cambiare la curvatura delle superfici coteeti t ed s. Quado t coicide co s la superficie (paraboloidale) che si forma è detta superficie di Petzval (vedi Cap. III). Tra i due fuochi vi è ache qui il circolo di mior cofusioe. La curvatura di campo è ivece u aberrazioe che o produce ua perdita di stigmatismo per il sistema ottico. Essa è sempre strettamete coessa co l astigmatismo, el seso che se i u sistema ottico si riesce a far coicidere il fuoco tageziale t co quello sagittale s, la uova superficie focale è ecessariamete curva e o più piaa Distorsioe Se si poe davati o dietro ad ua lete u diaframma l immagie di u oggetto esteso risulta distorta. Cosiderado come oggetto esteso ua griglia quadrata, essa apparirà distorta a forma di barile el primo caso e a forma di cuscio el secodo caso. Tale aberrazioe o fa quidi perdere di stigmatismo al sistema. Se l igradimeto relativo ad ua qualuque coppia di segmeti coiugati dell oggetto e dell immagie è costate, il sistema ottico si dice ortoscopico Aberrazioe cromatica Quado la luce viee rifratta el passaggio tra due superfici co diverso idice di rifrazioe, l agolo di rifrazioe è fuzioe della lughezza d oda della radiazioe. Nel caso di u vetro il potere dispersivo del materiale è defiito dalla relazioe: 1 F C = = 1 D (1.6) dove F, D ed C soo gli idici di rifrazioe alla lughezza d oda corrispodete alla luce blu (F), gialla (D) e rossa (C). Per molti tipi di vetro varia tra 30 e 60. La fuzioe () geeralmete decresce all aumetare della lughezza d oda. La luce blu viee quidi maggiormete deviata della luce rossa el passaggio attraverso ua lete 2. Questo provoca il feomeo dell aberrazioe cromatica. La luce biaca collimata su ua lete viee a focalizzarsi i puti diversi sull asse ottico; a partire dalla lete si icotrerà prima il fuoco del violetto e poi quello del rosso. Tale aberrazioe si può correggere utilizzado ua combiazioe di due leti co la medesima dispersioe, ma diverso potere diottrico, uo grade e positivo (vetro crow) e l altro piccolo e egativo (vetro flit). La codizioe affiché due leti abbiao aberrazioe cromatica ulla è data dalla: PD ' PD '' + = 0 (1.7) ' '' dove P D e P D soo i rispettivi poteri diottrici e e i corrispodeti poteri dispersivi. 1.5 Diaframmi e pupille Quado u diaframma è posto vicio ad ua lete limita le dimesioi del fascio di raggi lumiosi che etrao el sistema ottico, metre quado è posto vicio al piao focale limita 2 Si tega presete però che la dispersioe o è proporzioale alla deviazioe del raggio.

13 l agolo di etrata del fascio icidete. Il diaframma che regola la quatità di luce che etra el sistema e cotrolla quidi la brillaza superficiale dell immagie è detto diaframma di apertura. Quello che limita l estesioe del campo visuale è detto diaframma di campo. I geerale per u sistema ottico qualuque la pupilla d etrata del sistema è data dall immagie del diaframma d apertura forita da tutte le leti che lo precedoo, metre la pupilla d uscita è l immagie del diaframma d apertura data da tutte le leti che lo seguoo. Si veda ad esempio la Fig Pupilla d uscita Pupilla d etrata Chief ray Fig La pupilla d etrata e la pupilla di uscita i u sistema co diaframma dopo la lete. I figura il diaframma di apertura è posto tra la lete ed il suo piao focale. L immagie virtuale ed eretta del diaframma formata dalla lete prede allora il ome di pupilla d etrata, metre il diaframma di apertura coicide co la pupilla d uscita. Il raggio che passa per il cetro della pupilla d etrata e della pupilla d uscita viee detto Chief ray (raggio pricipale). Pupilla d uscita Pupilla d etrata Fig Pupilla d etrata e d uscita co diaframma che precede la lete. I Fig ivece il diaframma precede la lete e diviee ache pupilla d etrata del sistema. La sua immagie virtuale ed eretta data dalla lete è quidi la pupilla d uscita del sistema. Si

14 oti che se la sorgete lumiosa o è all ifiito, ma abbastaza vicio alla lete, il diaframma posto davati alla lete può o fugere da pupilla d etrata del sistema; i tal caso è la lete stessa che costituisce il diaframma d apertura, la pupilla d etrata, e la pupilla d uscita. Nel caso di più leti per idetificare la posizioe delle pupille occorre idetificare quale parte del sistema fuge da diaframma d apertura e seguire la defiizioe di pupilla d etrata e d uscita. Per le due leti di Fig ad esempio, Pupilla d uscita Pupilla d etrata Fig Il diaframma tra le due leti è il diaframma d apertura per il sistema. La pupilla d etrata è l immagie del diaframma data dalla lete che lo precede. La pupilla d uscita è l immagie del diaframma data dalla lete che lo segue. il diaframma posto tra le due leti costituisce il diaframma d apertura. La sua immagie virtuale data dalla lete che lo precede diviee la pupilla d etrata del sistema, metre la sua immagie data dalla lete che lo segue è la pupilla d uscita del sistema. Diamo ifie due ultime defiizioi. Diremo fiestra d etrata di u sistema ottico quel diaframma (o l immagie di quel diaframma data dalla parte di sistema ottico che lo precede) che sottede l agolo più piccolo al cetro della pupilla d etrata. Aalogamete la fiestra d uscita sarà data dall immagie del diaframma di campo data dalla parte di sistema ottico che lo segue o ache l immagie della fiestra d etrata data da tutto il sistema.