Seminario di didattica 1

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1 Seminario di didattica - Contents Seminario di didattica 1 Alessia Bonanini, Alessio Cirimele, Alice Bottaro, Laura Spada, Laura Tarigo 28 maggio

2 Seminario di didattica - Contents Indice Introduzione L area nella scuola media Prerequisiti dalla scuola primaria Calcolo dell area di figure piane Rettangolo e quadrato Parallelogramma Triangolo Quadrilatero con diagonali perpendicolari Rombo Trapezio Poligoni regolari Poligono generico e figura piana curvilinea Cerchio Calcolo di superfici dei solidi L area nelle scuole superiori Concetto di similitudine tra figure Approfondimento sulle derivate Introduzione e sviluppo del concetto di integrale L area in altre materie scolastiche Conclusioni e considerazioni

3 Seminario di didattica - Introduzione Introduzione 3

4 L area nella scuola media Prerequisiti dalla scuola primaria Riportiamo dal programma didattico della scuola primaria (Decreto del Presidente della Repubblica 12 febbraio 1985, n. 104) gli obbiettivi che i bambini dovrebbero raggiungere alla fine delle scuole elementari riguardo all area delle figure piane: riconoscere in contesti diversi, denominare, disegnare e costruire le principali figure geometriche piane; costruire, con tecniche e materiali diversi, alcune semplici figure geometriche solide e descriverne alcune caratteristiche, come, nel caso di poliedri, numero dei vertici, degli spigoli, delle facce; riconoscere l equiestensione di semplici figure piane mediante scomposizioni e ricomposizioni; misurare e calcolare il perimetro e l area delle principali figure piane, avendo consapevolezza della diversità concettuale esistente tra le due nozioni; trovare il volume di oggetti anche irregolari con strategie e unità di misura diverse, avendo consapevolezza della diversità concettuale esistente tra la nozione di volume e quella di area della superficie di una figura solida. Diamo dunque come acquisiti e consolidati tali concetti per un alunno delle scuole medie, ma proponiamo esercizi per verificare che lo siano. Calcolo dell area di figure piane Rettangolo e quadrato Partiamo ricordando le formule delle aree del rettangolo e del quadrato. Diamo un foglio (come quello di figura 1) a quadretti ai ragazzi con dei quadrati e dei rettangoli disegnati in varie posizioni nello spazio di cui sono date le misure dei lati e per ogni figura gli chiediamo di indicare la misura dell area. Lo scopo è verificare che sappiano che l area si calcola moltiplicando tra loro i lati indipendentemente da come la figura è collocata nello spazio. 4

5 Figura 1: Disegno che mostra come calcolare l area del parallelogramma. 5

6 Parallelogramma Per introdurre l area del parallelogramma ci serviamo del meccano, con questo realizziamo un rettangolo e mostriamo che muovendo due lati paralleli (prima quelli lunghi e poi quelli corti) otteniamo un parallelogramma. Chiediamo ai ragazzi se il parallelogramma ottenuto ha superificie maggiore, minore o uguale al rettangolo di partenza. Dopo averli lasciati ragionare un paio di minuti al riguardo diciamo che la superificie è minore. Per convicerli di questo alla lavagna disegniamo il rettangolo di partenza del meccano, quello blu di figura 2, poi completiamo la figura con il parallelogramma azzurro e il rettangolo verde. Dalla figura ottenuta (la figura 2) si vede che ha l area di un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Figura 2: Disegno che mostra come calcolare l area del parallelogramma. Quindi l area del parallelogramma si misura con la formula: Area = base x altezza. 6

7 Ora possiamo riprendere il discorso sull area del rettangolo da cui si era partiti con il meccano, tale rettangolo ha l altezza più grande del parallelogramma e la stessa base, quindi ha area maggiore come si vede da figura 2. Riprendiamo in mano il meccano per mostrare come l area si modifica muovendo i lati del rettangolo di partenza, fino al caso limite in cui i lati si sovrappongono e si ottiene una figura di area nulla. Facciamo notare che i parallelogrammi che si generano hanno lo stesso perimetro ma aree diverse e che quindi perimetro e area non sono collegati. Inoltre il rettangolo è la figura che ha area massima rispetto a tutte quelle ottenute muovendo le sbarrette del meccano. Disegniamo alla lavagna la figura 3 e chiediamo ai ragazzi come calcolare l area di questi parallelogrammi. Figura 3: Disegno che mostra parallelogrammi in posizioni diverse nello spazio. Dopo averli fatti ragionare mostriamo che l idea di ricondurre il parallelogramma ad un rettangolo vale indipendentemente dalla posizione occupata nello spazio. Lo scopo di questo esercizio è evitare che vedano il parallelogramma sempre nella stessa posizione e che si creino dei misconcetti. Potremmo proporre ai ragazzi il seguente esercizio su questi concetti: Tra tutti i quadrilateri isoperimetrici, quale disegno per avere area maggiore? Diamo tempo ai ragazzi di ragionarci sopra e poi facciamo vari esempi alla lavagna. 7

8 Triangolo Introduciamo l area del triangolo a partire dal parallelogramma. Disegniamo un triangolo rettangolo alla lavagna e chiediamo agli studenti se da questo si può ottenere una figura di cui sappiamo già calcolare l area. Li lasciamo riflettere per qualche minuto prima di svelare che il triangolo rettangolo si può vedere come metà rettangolo. Da qui si ottiene che l area del triangolo è metà di quella del rettangolo e dunque Area = base x altezza. 2 Disegniamo ora alla lavagna un triangolo qualunque con base orizzontale e chiediamo agli alunni, come prima, se si può vedere come parte di una figura di cui sappiamo calcolare l area. Dopo averli lasciati riflettere mostriamo che si può vedere come metà di un parallelogramma, come riportato in figura 4. Da cui si ottiene la stessa formula per il calcolo dell area del triangolo, ma vista nel caso di triangolo qualsiasi. Figura 4: Disegno che mostra come il triangolo è metà di un parallelogramma. Quadrilatero con diagonali perpendicolari Partiamo disegnando due segmenti perpendicolari, costruiamo intorno un quadrilatero avente tali segmenti come diagonali. Conduciamo le parallele alle 8

9 diagonali passanti per i vertici del quadrilatero. Otteniamo così un rettangolo con i lati congruenti alle diagonali. Il disegno ottenuto è quello di figura 5. Figura 5: Quadrilatero con diagonali perpendicolari. Osserviamo che il rettangolo è formato da 8 triangoli congruenti a 2 a 2. Il quadrilatero di cui dobbiamo calcolare l area è composto da 4 di questi triangoli, pertanto l area del quadrilatero è Rombo diagonale x diagonale. 2 L area del rombo si ottiene come caso particolare del precedente, quindi lo introduciamo chiedendo alla classe come si potrebbe calcolare. Lasciamo ragionare per qualche minuto gli studenti e disegniamo il rombo come in figura 6 e mostriamo che l area si ottiene come nel caso precedente, cioè: diagonale x diagonale 2 9

10 Figura 6: Rombo iscritto in un rettangolo. Trapezio Disegniamo il trapezio come in figura 7. Tracciamo 1 altezza e dividiamo il trapezio in 2 triangoli. Tali triangoli hanno rispettivamente come basi le 2 basi del trapezio e come altezza l altezza del trapezio. L area è dunque: b 1 h 2 + b 2 h 2 = (b 1 + b 2 ) h. 2 È compito dell insegnante approfittare di questa costruzione per sottolineare l importanza di scomporre la figura in parti non sovrapposte tra loro affinchè continui a valere il principio di additività di figure piane. Un altro metodo per calcolare l area del trapezio è il seguente. Disegniamo alla lavagna un trapezio e prolunghiamo le 2 basi di un segmento pari alla base opposta, uniamo gli estremi e otteniamo un parallelogramma come in figura 8. Il parallelogramma costruito ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza l altezza del trapezio. servendoci di un foglio di carta trasparente possiamo verificare che i trapezi sono congruenti. Quindi possiamo concludere che un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza l altezza del trapezio. La formula per il calcolo dell area è dunque: (b 1 + b 2 ) h 2. 10

11 Figura 7: Trapezio. Figura 8: Trapezio visto come metà di un parallelogramma. 11

12 Poligoni regolari Approcciamo questo argomento in modo più sperimentale, nel senso che proponiamo agli alunni poligoni regolari con n lati e ci aspettiamo che per calcolare l area passino attraverso la triangolarizzazione delle figure. Vogliamo che arrivino a capire che per calcolare l area di un poligono regolare di n lati si devono sommare le aree degli n triangolini uguali, come si vede dalla figura 9. Figura 9: Triangolazione dell esagono regolare. Quando questo concetto è chiaro introduciamo il concetto di apotema, l altezza di questi piccoli triangolini e diamo la formula per il calcolo dell area dei poligoni regolari: perimetro x apotema. 2 Poligono generico e figura piana curvilinea Trattiamo l argomento come laboratorio, proponiamo una serie di figure composte di cui devono calcolare l area aspettandoci che riescano a riconoscere in 12

13 esse i poligoni noti e si riconducono quindi alla somma delle aree di essi. L attivitià di laboratorio riguarda l additività delle aree (comprese figure con il buco). Diamo ai ragazzi un foglio tipo la figura 10. Figura 10: Esempio di figure composte di cui calcolare l area decomponendole in figure note. Visto questo lo studio passa al calcolo delle aree di figure piane curvilinee. Il calcolo dell area di queste figure avviene per approssimazione. Proponiamo anche questo argomento come laboratorio, diamo agli studenti una scheda con figure curvilinee disegnate sui quadretti (tipo quelle in figura 11) Il calcolo dell area si fa stabilendo un intervallo entro cui sta il valore dell area, tale intervallo è dato dal numero dei quadretti che ci sono dentro la figura (valore approssimato per difetto) e dal numero dei quadretti in cui la figura è contenuta (valore approssimato per eccesso). Per avere misure più precise si può rimpicciolire l unità di misura, cioè per esempio usare quadretti più piccoli; si può fare qualche esercizio al riguardo 13

14 Figura 11: Esempi di figure generiche. 14

15 utilizzando la carta millimetrata. Cerchio Come esercizio sulle stile di quelli visti per le figure curvilinee facciamo calcolare ai ragazzi l area del cerchio con quadretti sempre più piccoli. Come laboratorio facciamo riflette gli alunni su un problema: fissato il perimetro, qual è la figura con area massima?. Come aiuto visivo al riguardo diamo agli alunni un pezzo di spago e gli diciamo di costruire una figura chiusa con tale spago in modo che l area sia più grande possibile. Lasciamo i ragazzi riflettere sul problema. Per convincerli del fatto che è il cerchio con lo spago realizziamo varie figure (quadrato, triangolo, esagono, rombo,... ) alla lavagna ricalcandole con il gesso prima di cambiare figura. Calcolo di superfici dei solidi Appunti: laboratorio, da solidi chiusi li apri per vedere la superficie. Rotazione dei solidi. 15

16 Seminario di didattica - L area nelle scuole superiori L area nelle scuole superiori Concetto di similitudine tra figure APPUNTI: Esercizio su triangoli di area e perimetro massimo. Approfondimento sulle derivate APPUNTI: Introduzione al concetto di derivata attraverso la dimostrazione che il quadrato è il rettangolo di area massima. Introduzione e sviluppo del concetto di integrale 16

17 Seminario di didattica - L area in altre materie scolastiche L area in altre materie scolastiche APPUNTI: Riprodurre con dati sperimentali diagrammi a torte o istogrammi di cui calcolare l area. Misurare aree di zone geografiche... cartine... Esperimenti fisici su area e pesi. nascita del π sezione aurea 17

18 Seminario di didattica - Conclusioni e considerazioni Conclusioni e considerazioni 18