Unità Didattica N 02. I concetti fondamentali dell aritmetica

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1 1 Unità Didttic N 0 I concetti fondmentli dell ritmetic 01) Il concetto di potenz 0) Proprietà delle potenze 0) L nozione di rdice ritmetic 0) Multipli e divisori di un numero 05) Criteri di divisibilità per i numeri nturli 06) Numeri primi e numeri composti 0) Scomposizione di un numero in fttori primi 08) Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo 09) Le frzioni 10) Operzioni con le frzioni 11) I numeri decimli e le loro frzioni genertrici 1) I numeri decimli periodici e le loro frzioni genertrici 1) Rpporti e proporzioni tr numeri 1) Teorem fondmentle delle proporzioni tr numeri 15) Altre proprietà delle proporzioni fr numeri 16) Clcolo del termine incognito di un proporzione 1) Problemi del tre semplice Pgin 1 di 18

2 Il concetto di potenz L potenz di un numero è il prodotto di più fttori uguli quel numero. Il fttore che si ripete si chim bse dell potenz ed il numero di fttori uguli prende il nome di esponente dell potenz. 5 = n = L operzione medinte l qule si clcol l potenz di un numero prende il nome di elevzione n volte potenz. L potenz con esponente zero di un numero qulsisi diverso d zero è sempre ugule d 1 : 0 = 1 0 L prim potenz ( o potenz con esponente 1 ) di un qulsisi numero è ugule l numero stesso 1 = Proprietà delle potenze Il prodotto di due o più potenze venti l stess bse è l potenz che h per bse l stess n p q n+p+q bse e per esponente l somm degli esponenti = Il quoziente di due potenze venti l stess bse è l potenz vente per bse l stess bse e per esponente l differenz degli esponenti m n m-n : = L potenz di un potenz è l potenz che h per bse l stess bse e per esponente il n prodotto degli esponenti ( ) m = nm L potenz di un prodotto di fttori è ugule l prodotto delle potenze con ugule esponente dei singoli fttori ( ) n n n n n b c d = b c d L potenz di un quoziente è ugule l quoziente delle potenze con ugule esponente del dividendo e del divisore b n = b n n Pgin di 18

3 L nozione di rdice ritmetic Si dice rdice qudrt di un numero il numero x che elevto l qudrto dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: = x x = 9 = in qunto = 9 Si dice rdice cubic di un numero il numero x che elevto l cubo dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: = x x = 15 = 5 in qunto 5 = 15 Si dice rdice qurt di un numero il numero x che elevto ll qurt potenz dà come risultto il numero dto.. In simboli bbimo : = x x = Si dice rdice ennesim di un numero il numero x che elevto ll potenz ennesim dà come risultto il numero dto. In simboli bbimo: n = x x n = Multipli e divisori di un numero Si dice che il numero è divisore del numero b (diverso d zero) se il resto dell divisione del numero per il numero b è ugule zero. Il numero si dice che è multiplo del numero b che su volt si dice sottomultiplo o divisore del numero. Definizione: dto il numero nturle, tutti i numeri nturli b per i quli risult che il quoziente = k N è un numero nturle, si chimno divisori del numero. b = k N = k b. è multiplo del numero b secondo il numero k, b è b sottomultiplo del numero secondo il numero k o divisore del numero. = dividendo, b = divisore, k = quoziente Criteri di divisibilità per i numeri nturli 01) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l su ultim cifr è pri, cioè qundo il numero termin con un delle seguenti cifre : 0,,, 6, 8. 0) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 0) Criterio di divisibilità per 5: Un numero è divisibile per 5 se termin con 0 o con 5. 0) Criterio di divisibilità per 9: Un numero è divisibile per 9 se l somm delle sue Pgin di 18

4 cifre è divisibile per 9 05) Criterio di divisibilità per 11: Un numero è divisibile per 11 se è divisibile per 11 l differenz tr l somm delle cifre di posto pri e l somm delle cifre di posto dispri. 06) Criterio di divisibilità per : ) Un numero è divisibile per, se è divisibile per l somm delle sue decine e del quintuplo dell su cifr delle unità. n = 69 ; 69 = numero delle decine del numero = = 8 ; = = 8 ; = n = 1599 ; = = 168 ; = = 0 ; = = 5 ; = 5 n = = = = = = = 5 5 : = 5 b) Un numero è divisibile per, se è divisibile per l differenz fr il numero sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) ed il doppio dell su cifr delle unità. 6 n = 69 ; 69 = 6 ; = 9 ; n = = = 155 ; = = 1 ; 1 = 1 1 = 0 ; = 0 n = = = = = = 0 0) Criterio di divisibilità per 1: Un numero è divisibile per 1 se è divisibile per 1 l somm del numero che esprime le sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità ) e del qudruplo dell su cifr dell unità. n = = = + = + 1 = 0 9 :1 = 08) Criterio di divisibilità per 1: ) Un numero è divisibile per 1 se è divisibile per 1 l somm del doppio delle sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità) e del settuplo dell su cifr dell unità. n = = = 0 : 0 + = = 5 1 Per scrivere le decine di un numero bst scrivere lo stesso numero privto dell cifr che rppresent le unità Pgin di 18

5 5 + 5 = = = + 6 = :1 = 5 b) Un numero è divisibile per 1 se è divisibile per 1 l differenz tr il numero che esprime le sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità) ed il quintuplo dell cifr dell unità. n = = 99 5 = 969 ; = 96 5 = 51 ; 51 :1 = 09) Criterio di divisibilità per 19: ) Un numero è divisibile per 19 se è divisibile per 19 l somm del numero delle sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità) e del doppio dell su cifr delle unità. n = = = = 5 5 :19 = 10) Criterio di divisibilità per : ) Un numero è divisibile per se è divisibile per l somm del numero delle sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità) e del settuplo dell su cifr delle unità. n = = = = 9 9 : = Numeri primi e numeri composti Un numero mggiore di 1 si dice primo se è divisibile soltnto per se stesso e per l unità. un numero non primo, cioè un numero che mmette ltri divisori oltre se stesso e l unità, si dice numero composto. Scomposizione di un numero composto in fttori primi Scomporre il numero composto in fttori primi signific trovre tutti i numeri primi il cui prodotto è ugule l numero = Principio fondmentle dell ritmetic Un numero nturle composto si può decomporre in fttori primi in un sol mnier. Pgin 5 di 18

6 6 Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo Il mssimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il mggiore dei loro divisori comuni. Per clcolre il M.C.D. di due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono i numeri dti in fttori primi e poi si moltiplicno fr loro i fttori primi comuni, presi un sol volt, con l esponente più piccolo. 50= 5, 80= 5, = M. C. D. ( 50,80,1188) = = 1 Due numeri si dicono primi fr loro qundo hnno come M.C.D. l unità. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni diversi d zero. Per clcolre il m.c.m. tr due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono in fttori primi i numeri dti e poi si moltiplicno tr loro i fttori comuni e non comuni, presi un sol volt, ciscuno col mssimo esponente. 0= 5 11, 5 =, 60 5 m c m 5 =,...( 0,,60) Le frzioni Unità frzionri è un qulsisi delle prti uguli in cui è stt divis un grndezz considert come unità. Frzione è l insieme di più unità frzionrie. Il simbolo che rppresent un frzione è costituito d due numeri interi seprti d un trtto orizzontle detto line di frzione. Il numero posto l di sotto dell line di frzione si chim denomintore ed indic in qunte prti uguli è stt divis l unità. Il numero posto l di sopr dell line di frzione si chim numertore ed indic qunte di queste prti uguli sono stte considerte. Il numertore ed il denomintore si dicono termini dell frzione. Un frzione rppresent il quoziente tr due numeri interi. Un frzione di dice propri se il numertore è minore del denomintore. Un frzione propri è minore dell unità. Un frzione si dice pprente se il numertore è multiplo del denomintore. un frzione pprente rppresent un o più unità intere. Pgin 6 di 18 = =

7 Un frzione di dice impropri se il numertore è mggiore (m non multiplo) del denomintore. Un frzione impropri rppresent un numero mggiore dell unità. In ritmetic per numero misto si intende l somm di un numero intero e di un frzione propri. Per pssre d un frzione impropri d un numero misto si procede come segue: ) si divide il numertore dell frzione per il suo denomintore. b) si Q, R, D rispettivmente il quoziente, il resto, il denomintore dell frzione considert : Risult: N D = Q + R D N R D Q 8 = + Q = R = 8 6 D = Proprietà invrintiv per le frzioni Moltiplicndo o dividendo numertore e denomintore di un frzione per uno stesso numero diverso d zero si ottiene un frzione equivlente quell dt. Semplificre un frzione signific trsformrl in un ltr equivlente vente numertore e denomintore più piccoli. L semplificzione si effettu dividendo numertore e denomintore dell dt frzione per un loro divisore comune Un frzione si dice irriducibile o ridott i minimi termini qundo il suo numertore ed il suo denomintore sono primi fr loro. Per ridurre i minimi termini un frzione bst dividere il suo numertore ed il suo denomintore per il loro M.C.D. I numeri decimli e le loro frzioni genertrici L divisione tr due numeri interi può dre luogo d un numero decimle limitto o d un numero decimle periodico. In un numero decimle, il numero formto dlle cifre ll sinistr dell virgol si chim prte inter del numero decimle, quello formto dlle cifre destr dell virgol si chim prte decimle. Quindi dicesi numero decimle un qulsisi numero formto d un prte inter e d un prte decimle. Pgin di 18

8 8 Si chimno frzioni decimli quelle frzioni che hnno come denomintore un potenz del 10. Per contrpposto, si chimno frzioni ordinrie tutte le frzioni non decimli. Sono frzioni decimli : 1 1 5,, I simboli, 56, 0, 05, 68, 5 rppresentno numeri decimli. Le cifre che precedono ( seguono ) l virgol rppresentno l prte inter ( decimle ) del numero decimle. Regol Per scrivere un numero decimle sotto form di frzione decimle, si scrive l frzione che h per numertore il numero nturle che si ottiene sopprimendo l virgol del numero decimle dto e per denomintore l unità seguit d tnti zeri qunte sono le cifre decimli del numero. 5,5=, 100 0,0=, ,6= Regol Un frzione decimle può essere trsformt in un numero decimle trscrivendo il numertore dell frzione e seprndo con un virgol. prtire d destr, tnte cifre qunti sono gli zeri del denomintore, ggiungendo, ll sinistr del numertore, uno o più zeri qundo il numero delle cifre del numertore è inferiore l numero degli zeri del denomintore. 5,5 5 =, = 0, 0, = 0, N.B. Il numero delle cifre decimli deve coincidere col numero degli zeri presenti nel denomintore dell frzione decimle. L notzione scientific di un numero decimle Ogni numero può essere scritto come il prodotto di un numero decimle compreso tr 1 e 10 e di un opportun potenz del 1. Si dice pure che il numero è scritto in form esponenzile o con notzione scientific. Di solito le clcoltrici tscbili utilizzno l notzione scientific. Esempi ) 00= 10 = E 0 nell clcoltrice con notzione scientific il simbolo 10 divent E 0 Pgin 8 di 18

9 9 b) 150 = 1,5 10 = 1,5E 0 ( 10 divent E 0 ) c) 561=, =,561E 0 ( 10 divent E 0 ) d) 0,006=,6 10 =,6E 0 ( 10 divent E 0 ) Per numeri non troppo grndi quest form di scrittur non è conveniente in qunto si userebbero più simboli di quelli presenti nel numero ; divent vntggios qundo si hnno numeri con molte cifre. Numeri decimli periodici Dicesi numero decimle periodico ogni numero formto d un prte inter ( che può nche essere 0) seguit d infinite cifre decimli che, d un certo punto in poi, si ripetono gruppi sempre nello stesso ordine. L cifr o il gruppo di cifre che si ripete dicesi periodo. Il periodo può comincire, oppure no, subito dopo l virgol; nel primo cso il numero dicesi periodico semplice, nel secondo cso dicesi periodico misto. In un numero periodico misto il gruppo delle cifre decimli che precede il periodo si chim ntiperiodo. I numeri decimli periodici si rppresentno scrivendo un sol volt il periodo e soprlinendolo, oppure mettendolo entro due prentesi rotonde. 8, = 8, = 8,(),856 =,856() Un frzione si dice riducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle limitto. Un frzione si dice irriducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle illimitto. Teorem N 1 Un frzione irriducibile il cui denomintore non contiene come fttori primi né né 5, è trsformbile in un numero decimle periodico semplice. Teorem N Un frzione irriducibile il cui denomintore contiene come fttori primi il o il 5 nche qulche ltro fttore primo, è trsformbile in un numero decimle periodico misto. Teorem N Non esiste lcun frzione dll qule derivi un numero decimle illimitto periodico con periodo Esempio 1,9 = = = 1,9 = = = = = 1, Questo signific che i simboli 1, e 1,9 rppresentno lo stesso numero, cioè : 1, = 1, 9 Pgin 9 di 18

10 10 Definizione Chimsi frzione genertrice di un numero decimle periodico, quell frzione tle che il quoziente del suo numertore per il suo denomintore è il numero periodico dto. Teorem N L frzione genertrice di un numero periodico semplice è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol (e con il periodo scritto un sol volt) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter, e per denomintore il numero formto d tnti 9 qunte sono le cifre del periodo. Teorem N ,1 = = = , = L frzione genertrice di un numero decimle periodico misto è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol (e con il periodo scritto un sol volt) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter seguit d quelle dell ntiperiodo, e per denomintore il numero formto d tnti 9 qunte sono le cifre del periodo, seguiti d tnti zeri qunte sono le cifre dell ntiperiodo. OSSERVAZIONE 1,1 =,(1) = = ,18() = 0,18 = = = ,56 = 0,5(6) = = = << Come si f stbilire se un frzion dà luogo d un numero decimle finito, d un numero decimle periodico semplice, d un numero decimle periodico misto? >> 01) Un frzione, ridott i minimi termini, è trsformbile in un numero decimle finito se il suo denomintore h come fttori potenze del o potenze del 5 o potenze di entrmbi i fttori. 1, 1 1 = =, 5 = 0, ) Un frzione ridott i minimi termini si trsform in un numero decimle periodico semplice se il denomintore non contiene i fttori e =, =, =, ( ) Pgin 10 di 18

11 11 0) Un frzione ridott i minimi termini si trsform in un numero decimle periodico misto se il suo denomintore, ssieme d eventuli ltri fttori, contiene come fttori potenze del e del 5, oppure di uno solo di essi. 1 1 = = 0, = 0, = 0,9( 18) Operzioni con numeri decimli periodici Per eseguire le operzioni con numeri decimli periodici, bst sostituire d essi le corrispondenti frzioni genertrici ed eseguire i clcoli secondo le regole note. Semplificzione di un frzione Un frzione si dice riducibile (cioè semplificbile) qundo il M.C.D. fr il numertore ed il denomintore dell frzione è diverso d 1. Un frzione si dice irriducibile (cioè non semplificbile) o ridott i minimi termini qundo il M.C.D. fr il numertore ed il denomintore dell frzione è ugule d 1. Il numertore ed il denomintore di un frzione irriducibile sono sempre numeri primi fr loro. Per semplificre un frzione e renderl irriducibile bst dividere il numertore ed il denomintore dell frzione per il loro M.C.D. in qunto risult: M.C.D.(8,10) = 8 8 : = = : 5 Ottenimo lo stesso risultto scomponendo il numertore ed il denomintore dell frzione dt in fttori primi, e sopprimendo i fttori comuni i due termini dell frzione = 5 = 5 Trsformzione di due o più frzioni d uno stesso denomintore Per ridurre due o più frzioni l minimo comune denomintore (indicto col simbolo m.c.d.) si procede come segue: si semplificno le frzioni (operzione eventule) si clcol il m.c.m. dei denomintori delle frzioni considerte si trsform ciscun frzione, ridott i minimi termini, nell frzione equivlente vente per denomintore il m.c.m. trovto. Pgin 11 di 18

12 1 Voglimo trsformre le seguenti frzioni: 5 6, 11 1, 15 denomintore. mcm...( 6,1,15) = 60, 60 : 6= 10, 60 :1= 5, 60 :15= in ltre equivlenti venti lo stesso = = = = = = Operzioni con le frzioni L ddizione delle frzioni L somm di due o più frzioni venti lo stesso denomintore è l frzione che h come denomintore lo stesso denomintore e come numertore l somm di tutti i numertori = = = Per sommre due o più frzioni venti denomintori diversi, si riducono le frzioni considerte l minimo comune denomintore e poi si pplic l regol utilizzt per l somm delle frzioni venti lo stesso denomintore = + + = = = Abbimo eseguito le seguenti operzioni: semplificzione delle frzioni d sommre clcolo del minimo comune multiplo dei denomintori delle frzioni semplificte mcm...(6,5,10) = 0 ppliczione dell regol per il clcolo dell somm di frzioni venti lo stesso denomintore semplificzione dell somm ottenut L sottrzione fr due frzioni L differenz di due frzioni venti lo stesso denomintore è l frzione che h come denomintore lo stesso denomintore e come numertore l differenz dei numertori = = = Per sottrrre due frzioni venti denomintori diversi, si riducono le frzioni considerte l minimo comune denomintore e poi si pplic l regol utilizzt per l differenz fr due frzioni venti lo stesso denomintore = = = Pgin 1 di 18

13 1 Espressioni con ddizioni e sottrzioni di frzioni = = = = = L moltipliczione di due o più frzioni Il prodotto di due o più frzioni è l frzione vente come numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori = = oppure = 1 8 Invers o reciproc di un frzione Due numeri si dicono reciproci o inversi qundo il loro prodotto è ugule d 1. Pertnto l frzione reciproc o invers di un frzione si ottiene scmbindo il numertore con il denomintore dell frzione dt. Le frzioni e sono frzioni reciproche in qunto risult: = 1 Potenz di un frzione Per elevre potenz un frzione bst elevre quell potenz si il numertore che il denomintore dell frzione. 9 = = L divisione di due frzioni Per effetture l divisone di due frzione bst moltiplicre l prim frzione per l invers 1 dell second. : = = Frzioni termini frzionri Un frzione si dice termini frzionri se il suo numertore o il suo denomintore o entrmbi sono delle frzioni. Un frzione termini frzionri è ugule l prodotto del numertore per il reciproco del denomintore oppure è ugule d un frzione che h come numertore il prodotto dei termini estremi e come denomintore il prodotto dei termini medi. Pgin 1 di 18

14 1 5 1 = : = = oppure = = Esempi : + = + + = + + = = : : 11 = + 10 = = 1 : : = = = : : = = + = + = + = = Rpporti e proporzioni fr numeri Si dice rpporto fr i numeri e b, con b diverso d zero, il quoziente che si ottiene dividendo il numero per il numero b. Il rpporto fr i numeri e b viene indicto con un delle due seguenti scritture: : b b b 0 Definizione: numeri, b, c, d formno un proporzione, se il rpporto tr il primo ed il secondo numero è ugule l rpporto fr il terzo ed il qurto numero. In simboli bbimo: Lessico : b= c: d oppure = b 1) I numeri, b, c, d sono i termini dell proporzione ) e b sono gli <<estremi>> dell proporzione, b e c sono i <<medi >> dell proporzione, e c sono gli <<ntecedenti>> dell proporzione, b e d sono i <<conseguenti>> dell proporzione. c d Pgin 1 di 18

15 15 ) Se tr i numeri, b, c sussiste l seguente proporzione : b= b: c llor il numero b prende il nome di medio proporzionle fr i numeri e c, mentre il numero c prende il nome di terzo proporzionle dopo i numeri e b. Un proporzione si dice continu qundo i suoi medi sono uguli. I numeri 6,, 8, formno un proporzione in qunto risult: 6:= 8: Il numero 6 è medio proporzionle tr i numeri 1 e in qunto risult: 1:6= 6: Teorem fondmentle delle proporzioni fr numeri In ogni proporzione il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. 6:= 8: 6 = 8 = Altre proprietà delle proporzioni fr numeri L proporzione : b= c: d fr i numeri, b, c, d gode delle seguenti proprietà formli : 1) In ogni proporzione fr numeri è lecito scmbire ogni ntecedente col proprio conseguente (proprietà dell invertendo) : b= c: d b: = d: c ) Se numeri, b, c, d sono in proporzione, llor si possono scmbire i medi tr loro o gli estremi tr loro (proprietà del permutndo) : b= c: d : c= b: d d : b= c: ) In ogni proporzione fr numeri, l somm del primo e del secondo termine st l primo (o l secondo) termine, come l somm del terzo e del qurto termine st l terzo ( o l qurto ) termine. (proprietà del componendo) = ( + b) : = ( c+ d) : C ( + ) = ( + ) : b c: d b : b c d : d Pgin 15 di 18

16 16 ) Se in un proporzione il primo termine è mggiore del secondo ( e quindi il terzo è mggiore del qurto), l differenz fr il primo ed il secondo termine st l primo ( o l secondo) termine come l differenz tr il terzo ed il qurto termine st l terzo ( o l qurto ) termine. (proprietà dello scomponendo o del dividendo) = ( b) : = ( c d) : c ( ) = ( ) : b c: d b : b c d : d 5) In ogni serie di rpporti uguli tr numeri, l somm degli ntecedenti st ll somm dei conseguenti come un ntecedente st l proprio conseguente. : b c: d e: f + c+ e : b+ d+ f = c: d = = ( ) ( ) Clcolo del termine incognito di un proporzione Regol: In ogni proporzione un estremo incognito è ugule l prodotto dei medi diviso per l ltro estremo. Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 1 :8 = : x 8 x = = 1 Regol: In ogni proporzione un medio incognito è ugule l prodotto degli estremi diviso per l ltro medio. Pgin 16 di 18

17 1 Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 15:5 = x : 15 x = = 9 5 Regol: In ogni proporzione continu il medio incognito è ugule ll rdice qudrt del prodotto degli estremi. Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 1 : x= x: x = 1 = 6 = 6 Problemi del tre semplice Si chimno problemi del tre semplice quei problemi nei quli intervengono due grndezze direttmente o inversmente proporzionli. Conoscimo un coppi di vlori corrispondenti delle due grndezze ( d esempio X ed Y ) ed un ltro vlore di un di esse ( d esempio di X ); voglimo clcolre il vlore dell grndezz Y che corrisponde ll grndezz X. Osservzione: Si chimno problemi del tre semplice in qunto noti tre vlori voglimo clcolrne un qurto. L denominzione semplice deriv dl ftto che in questi problemi intervengono soltnto due grndezze. I problemi nei quli sono presenti più di due grndezze prendono il nome di problemi del tre composto. Problem del tre semplice qundo le grndezze sono direttmente proporzionli. Un rubinetto vers in ore 160 litri di cqu. Qunti litri di cqu verserà in ore? Per l risoluzione del problem possimo utilizzre il seguente schem convenzionle, nel qule le frecce venti lo stesso orientmento ci dicono che le grndezze presenti nel problem sono direttmente proporzionli. Pgin 1 di 18

18 18 Problem del tre semplice qundo le grndezze sono inversmente proporzionli. Per compiere un determinto lvoro 10 operi impiegno 18 giorni; qunti giorni impieghernno 15 operi venti l stess cpcità lvortiv per compiere lo stesso lvoro? Per l risoluzione del problem possimo utilizzre il seguente schem convenzionle, nel qule le frecce venti orientmento opposto ci dicono che le grndezze presenti nel problem sono inversmente proporzionli. Pgin 18 di 18