Lecture 15 Equilibrio radiale Text:

Transcript

1 Lecture 15 Text: Motori Aeronautici Mar. 26, 2015 Mauro Valorani Univeristà La Sapienza

2 Agenda

3 Quando le pale presentano un forte sviluppo, si deve studiare il flusso non solo nel piano interpalare ma anche quello in direzione normale a questo piano. Lo studio non interessa la componente della velocità (V ), bensì le variazioni lungo il raggio di V a e V θ : { V a = V z() V θ = V θ () da cui, inoltre: p = p() ; h 0 = h 0 () ; = () ;... Per farlo si utilizzano: eq.ne del moto in direzione in coordinate cilindriche eq.ne di Gibbs Come si vedrà, affinche sussista una condizione di equilibrio in direzione, le distribuzioni di V a e V θ non potranno essere arbitrarie

4 Equazione del moto in coordinate cilindriche in direzione equazione della quantità di moto in coordinate cilindriche nel caso di flusso non viscoso: che in coordinate cilindriche si scrive: ρ D V Dt = p V = V i + V θ iθ + V a ia ( ) = ( ) i + 1 ( ) iθ + ( ) ia θ z La proiezione in direzione dell equazione del moto { i ρ D } V = p Dt fornisce: V t V + V + V θ V θ V 2 θ + V Va z = 1 p ρ

5 Nell ipotesi di: flusso stazionario: V t = 0 gradienti spaziali (radiali e assiali) di V trascurabili rispetto alla forza centrifuga: V V + V θ V θ + V Va z << V θ 2 In tal caso, il gradiente di pressione viene bilanciato dalla sola forza centrifuga: d p() d = ρ V θ() 2 d p ρ = V 2 θ d L integrazione di tale equazione per un assegnata distribuzione di V θ (), fornisce la distribuzione di pressione statica p() che soddisfa la condizione di equilibrio Le distribuzioni di pressione statica e di energia cinetica associata alla velocità circonferenziale inducono una distribuzione di energia totale della particella fluida valutabile (nel caso di flusso incompressibile) dalla: p 0 () ρ := p() ρ + V θ()

6 Esempio: Il flusso a vortice libero è definito come una particolare distribuzione di tipo irrotazionale: ovvero V θ = ω f 2 = C V θ () = C ω f () = C 2 La distribuzione di pressione statica che soddisfa la Figure: Velocità e pressione per un condizione di equilibrio si ricava da: vortice libero dp ρ = Vθ () 2 C 2 d = d 3 da cui (per flussi incomprimibili: ρ = cost), la pressione ha un espressione del tipo: p() ρ = 1 C cost = V θ() 2 + cost dalla quale si deduce che l energia totale della particella è la stessa su tutto il vortice: p 0 () ρ = p() ρ V θ() 2 = cost e quindi non si verifica scambio di lavoro durante spostamenti radiali di una particella

7 Esempio: Nel flusso a vortice forzato, la distribuzione di velocità è la stessa che caratterizza il moto rigido di rotazione attorno ad un asse; il campo di flusso risultante è rotazionale: V θ = ω f = cost ovvero V θ () = ω f ω f () = cost Figure: Velocità e pressione per un vortice forzato La distribuzione di pressione statica che soddisfa la condizione di equilibrio si ricava da: dp ρ = Vθ () 2 d = ω f d da cui (per ρ = cost), la pressione ha un espressione del tipo: p () = ω 2 2 f ρ 2 + cost = 1 2 V 2 θ + cost dalla quale si deduce che l energia totale della particella varia radialmente attraverso il vortice: p 0 () = p ρ ρ V 2 θ = V 2 θ + cost = ω2 f 2 + cost e quindi si verifica scambio di lavoro durante spostamenti radiali di una particella: W = p ( ) 0 ρ = ω2 f

8 Si vuole ottenere una relazione fra le componenti di velocità circonferenziali ed assiali nell ipotesi di esistenza di equilibrio e per una assegnata distribuzione di velocità circonferenziale. Si procede proiettando il primo principio nella direzione : ( i T s = h p ) ρ da cui si ricava: T ds d = dh d 1 ρ dp d L entalpia di ristagno per un moto vorticoso si può scrivere: h 0 = h V 2 h ( ) Vθ 2 + V a 2 dal momento che V 2 << V 2 θ + V 2 a

9 Differenziando h 0 e sostituendo dh/d nel primo principio, in cui si pone dp/d = ρvθ 2 / in virtù dell ipotesi di equilibrio si ha: dh 0 d T ds d = 1 2 d d ( ) Vθ 2 + V a 2 + V θ 2 Nell ipotesi che non vi siano perdite lungo il raggio (s() = cost), si ha: 1 d 2 d V a 2 = dh 0 d V θ d d (V θ) che lega la variazione della componente assiale a quella della componente tangenziale nel flusso vorticoso in esame. Il termine dh 0 /d rappresenta la variazione del carico. Se la paletta è disegnata in modo tale da fornire lo stesso lavoro ad ogni raggio, allora dh 0 /d = 0, ma in generale non è così

10 Se la distribuzione di velocità tangenziale desiderata a valle del rotore è V θ2 = costante V θ2 = C ne segue che: dall equazione di Eulero, se il flusso a monte del rotore è uniforme: h 0 = ω[(v θ ) 2 (V θ ) 1 ] = cost h 0 = cost dh 0 dr il design a vortice libero corrisponde ad un palettaggio a carico costante lungo il raggio dall equazione di equilibrio con dh 0 /d = 0 : V a()= costante = 0 la deflessione è molto accentuata all hub e poco accentuata al tip (paletta molto svergolata) andamento del grado di reazione lungo il raggio: = 1 V θ1 + V θ2 2ω = 1 C/ ω/ adimensionalizzando rispetto al raggio medio m: = 1 (C/m)/(ω/m) 2(/ m) 2 = 1 1 m (/ m)

11 Figure: Andamento del grado di reazione lungo il raggio adimensionale all hub si rischia di avere molto bassi al tip si rischia di avere troppo alti (eccessiva diffusione)

12 Se la distribuzione di velocità tangenziale desiderata a valle del rotore è V θ2 = ω f ne segue che: La distribuzione del carico di lavoro lungo il raggio non è costante, bensì (se flusso a monte uniforme): W () = ω[(v θ ) 2 (V θ ) 1 ] = ωω f 2 cioè la paletta lavora più al tip che all hub il grado di reazione è costante lungo il raggio: = 1 V θ1 + V θ2 2ω La distribuzione della V a è: = 1 ω f 2ω = cost 1 d 2 d V a 2 = 2ωω f 2ωf 2 nel caso in cui ω f = ω si ha distribuzione assiale uniforme e grado di reazione = 0.5 Distribuzioni ottime sono combinazioni di vortice libero e forzato: V θ2 = C + B