Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. La distribuzione Normale (o di Gauss)
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- Silvestro Fabbri
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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1
2 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche E la distribuzione di probabilità degli errori casuali E la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie E la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2
3 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche E la distribuzione di probabilità degli errori casuali E la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie E la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3
4 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4
5 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche E la distribuzione di probabilità degli errori casuali E la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie E la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 5
6 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6
7 Distribuzione delle differenze tra glicemia misurata al polpastrello ed all avambraccio Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7
8 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche E la distribuzione di probabilità degli errori casuali E la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie E la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8
9 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 9
10 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche E la distribuzione di probabilità degli errori casuali E la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie E la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 10
11 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 11
12 La distribuzione gaussiana come modello di una distribuzione di probabilità empirica Es. istogramma che descrive la distribuzione di frequenza di una variabile numerica in un gruppo di 400 soggetti: Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 12
13 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 13
14 Aumento progressivamente la suddivisione dell istogramma: Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 14
15 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 15
16 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 16
17 Distribuzione di probabilità (teorica) Distribuzione di frequenza (empirica) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 17
18 La forma della distribuzione di probabilità normale Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 18
19 La formula della distribuzione normale. E definita da Media (µ) e Deviazione Standard (s) f ( x) = σ 1 2 π * exp ( x µ ) 2 σ 2 2 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 19
20 La distribuzione gaussiana o normale comprende una famiglia di curve, i cui parametri sono Media (µ) e Deviazione Standard (s) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 20
21 Media (µ): posizione centrale Deviazione Standard (s): 'ampiezza' della curva Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 21
22 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (c.rossa). Entrambe hanno media=0. y x0 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 22
23 In questo grafico si mostra la relazione tra funzione di densità di probabilità gaussiana (curva a campana, corrisponde ad una distribuzione normale standard) e la corrispondente funzione cumulativa (curva sigmoide). GS X Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 23
24 Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente a determinati intervalli di valori della variabile Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 24
25 0,95 0,50 0,50 P=0,025 x = 1,960 P=0,025 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 25
26 0,95 P=0,025 x = 1,960 P=0,025 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 26
27 0,95 P=0,05 X = 1,645 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 27
28 Applicazione delle regole della distribuzione gaussiana Poniamo ad esempio che, data una variabile con distribuzione gaussiana (es. la statura), io sia interessato a calcolare la probabilità di osservare un soggetto con valore x (o inferiore). Conosco i parametri che descrivono la distribuzione di probabilità (media: µ e Deviazione Standard: s). Come procedo? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 28
29 p(x<161,49) =? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 29
30 p(x<161,49) =? p(x>184.5)=? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 30
31 Soluzione 1: calcolo l integrale Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 31
32 Soluzione 2: Utilizzo una funzione di un programma di calcolo (es. la funzione distrib.norm di EXCEL) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 32
33 Soluzione 3 (consigliata): calcolo il valore della statistica U, che mi consente di conoscere il valore di probabilità con l ausilio delle tavole della Distribuzione Normale Standardizzata, conoscendo media, DS ed il valore x. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 33
34 Il calcolo della statistica U corrisponde ad una operazione di Normalizzazione (o standardizzazione). La statistica U indica la distanza tra x e la media, esprimendo la distanza in multipli della deviazione standard dove: U x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione = x µ σ U: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati (x, σ, µ). Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 34
35 p(x<161,49) =? La curva iniziale p(x>184.5)=? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 35
36 U = σ La curva viene centrata sul valore 0 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 36
37 U = U =1.64 il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 37
38 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e Il valore di U Così ottenuto viene letto sulle Tabelle della distribuzione Normale Standard U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,00003 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 38
39 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e Secondo decimale Il valore di U: Intero e primo decimale Valori di probabilità U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,00003 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 39
40 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e Secondo decimale Esempio per U=1.64 Intero e primo decimale Valori di probabilità U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,00003 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 40
41 RIEPILOGO La curva iniziale viene dapprima centrata sullo 0 e quindi il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 41
42 Data una distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ, il valore U, calcolato partendo dai valori dati per x, σ, µ e riportato sulle apposite tabelle indica la probabilità di osservare un valore compreso tra U e Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 42
43 da U a U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 43
44 Se U è negativo, si effettua lo stesso calcolo usando U (valore assoluto di U) si ricava in questo caso la probabilità di osservare un valore compreso tra U e. questo è possibile perchè la Normale standard è simmetrica ed ha media 0 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 44
45 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 45
46 p(x<161.5)=? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 46
47 U = x µ σ La curva viene centrata sul valore 0 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 47
48 U = x µ σ il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 48
49 U = U = 1.64 U = 1.64 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 49
50 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e Secondo decimale Esempio per U=1.64 Intero e primo decimale Valori di probabilità U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,00003 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 50
51 Viene sempre mantenuta la corrispondenza tra la distribuzione normale standard e la distribuzione normale di partenza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 51
52 da U a da X a U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 52 X
53 da U a U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 53
54 Attenzione A volte le tabelle forniscono la probabilità calcolata secondo altri riferimenti, ad esempio tra - e U, oppure tra 0 ed U. prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 54
55 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 55
56 Attenzione A volte le tabelle forniscono la probabilità calcolata secondo altri riferimenti, ad esempio tra - e U, oppure tra 0 ed U. prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole. Si può comunque sempre passare da un sistema all altro sfruttando la regola delle probabilità complementari. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 56
57 da - a U da U a + U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 57
58 Esempio quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,8672 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 58
59 p(x<186.72)=? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 59
60 U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 p=0,975 p = 0,025 U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 60
61 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 61
62 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura superiore a m 1,8672 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 posso riferiremi alla tabella da U a oppure a quella da - a U, usando la regola delle probabilità di eventi complementari. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 62
63 p=0,975 p = 0,025 U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 63
64 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 64
65 Distribuzione normale standardizzata Area sottesa alla curva tra U e U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,00001 Corso di laurea in medicina 4,2 0,00001 e chirurgia 0, ,00001 Corso di 0,00001 Statistica 0,00001 Medica 0,00001 Le 0,00001 distribuzioni 0,00001 teoriche 0,00001di 0,00001 probabilità. 65
66 Attenzione Nelle tabelle spesso si fa riferimento al valore della distribuzione normale standard indicandolo come Z invece che come U. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 66
67 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 67
68 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 68
69 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 69
70 U = -1,96 U = 1,96 p= 0,025 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 70
71 Posso infine calcolare la probabilità di estrarre un soggetto con un certo scostamento dalla media, in entrambe le direzioni. p(x> µ+x oppure x< µ-x norm(µ,s)) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 71
72 Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto la cui statura si scosta dalla media della popolazione di almeno m 0,1372? (data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07) Equivale al calcolo della probabilità di osservare: un soggetto con [altezza < (1,730-0,1372)] O un soggetto con [altezza > (1, ,1372)] Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 72
73 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 73
74 ?? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 74
75 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672 U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 75
76 0,950 P=0,025 U = -1,960 U = 1,960 P=0,025 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 76
77 0, ,025 x = 1,5928 x = 1,8672 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 77
78 In alternativa alle tavole potete usare la funzione distrib.norm.st di EXCEL (o analoghi). Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 78
79 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 79
80 Possiamo stimare la probabilità di valori che seguono una distribuzione binomiale applicando le regole della distribuzione gaussiana? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 80
81 Per n grande la distribuzione del numero di successi è approssimativamente normale. possiamo calcolare media e DS del numero di successi Media = np Deviazione standard = np( 1 p) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 81
82 Se np > 10 e n(1-p)>10 posso considerare adeguata l'approssimazione fornita dalla distribuzione gaussiana Z = x np np( 1 p) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 82
83 Per ottenere una buona approssimazione dobbiamo introdurre la correzione per la continuità Per p(x<=x) Z = x + 0,5 np (prob. valori <=x) np( 1 p) Per p(x=> x) (prob. valori =>x) Z = x 0,5 np np( 1 p) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 83
84 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 84
85 Esercizio. Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? U = ( ,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p= 0,00256 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 85
86 Esercizio. Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 170? Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 170? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 86
87 Esercizi dal testo P. 149 es. 17 P. 149 es. 18 P. 149 es. 19 Si consiglia di risolvere gli esercizi sia con le tavole sia con EXCEL Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 87
88 Nella soluzione di questo e di analoghi problemi tenete sempre presenti le regole del calcolo delle probabilità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 88
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CAPITOLO QUARTO DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI) Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensati come casi particolari di uno schema generale di prove ripetute,
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