Dispersione. si cercano indici di dispersione che:
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- Silvano Grosso
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1 Dispersione si cercano indici di dispersione che: utilizzino tutti i dati { x 1, x 2... x n } siano basati sulla nozione di scarto (distanza) dei dati rispetto ad un centro d i = x i C ad es. rispetto alla media aritmetica d i = x i x rispetto a un dato d i = x i x j con alcune proprietà generali: non deve mai essere negativo assume valore 0 se i dati sono tutti uguali non cambia se aggiungiamo una costante ai dati
2 Varianza - 1 VARIANZA : è la media aritmetica (semplice o ponderata) dei quadrati degli scarti dato l insieme di valori { x 1 x 2,... x n } V ar = s 2 = 1 n (x i x) 2 dato l insieme di valori { x 1, x 2,... x m } con le rispettive frequenza assolute { f 1, f 2... f m } V ar = s 2 = 1 n m f i (x i x) 2 n = m f i
3 Deviazione Standard DEVIAZIONE STANDARD (scarto quadratico medio) : è la radice quadrata positiva della varianza s = 1 n (x i x) 2 o s = 1 n m f i (x i x) 2 consente di avere un indice di dispersione espresso nella stessa unità di misura dei dati NOTA applicando una trasformazione lineare ai dati y i = a x i + b s 2 y = a 2 s 2 x s y = a s x
4 Statistiche Campionarie Spesso gli indici statistici vengono applicati non all intera popolazione ma a un suo campione. Si cerca di stimare (inferenza) nel miglior modo possibile le caratteristiche dell intera popolazione a partire dalle informazioni desunte da un campione rappresentativo. In questo caso si utilizzano le seguenti formule modificate: VARIANZA CAMPIONARIA (stimata) : s 2 = 1 n 1 (x i x) 2 DEVIAZIONE STANDARD CAMPIONARIA (stimata) : s = 1 n 1 (x i x) 2
5 Esempio riassuntivo - 1
6 Esempio riassuntivo 2 Caso A x i f i f i /n media 5.00 mediana 5.00 varianza 4.00 varianza stimata 4.44 deviazione standard 2.00 deviazione standard stimata 2.11 Caso B x i f i f i /n media 5.00 mediana 5.00 varianza 8.00 varianza stimata 8.89 deviazione standard 2.83 deviazione standard stimata 2.98
7 Esercizio 1 ESERCIZIO Trovare media, mediana, moda, varianza e deviazione standard dei seguenti dati non ordinati e non raggruppati. Tracciare l istogramma delle frequenze
8 Esercizio 1 SOLUZIONE costruisco la tabella della distribuzione di frequenza x f ass x = 1 ( ) = 8.6 s 2 = 1 ( s ) moda = 10.0 mediana = 8.5
9 Esercizio 2 ESERCIZIO Nel rilevare l altezza in cm di un gruppo di reclute si ottenuta la seguente tabella delle frequenze. Calcolare media, mediana e quartili. (cm) f ass f cum n = 44 dimensione del campione x media M e = x 22 + x 23 2 q 1 = x 11 + x 12 2 = 171 mediana = 170 primo quartile q 3 = x 33 + x 34 = 172 terzo quartile 2 q 3 q 1 = 2 distanza interquartile La distanza interquartile è un altro indice di dispersione, legato alla nozione di mediana. La mediana suddivide l insieme dei dati ordinati x i in due parti ugualmente numerose. I quartili si ottengono suddividendo i dati ordinati in quattro parti ugualmente numerose.
10 Esercizio 3 ESERCIZIO Considero la seguente tabella relativa alle frequenze dei pesi in Kg di individui adulti. Peso p in Kg f ass 50 p < p < 15 p < p < p < p < 7 le classi sono di uguale ampiezza suppongo che i dati siano uniformemente distribuiti all interno di ogni classe posso definire per ogni classe un rappresentante r i (class mark)
11 Esercizio 3 Peso p in Kg f i F i r i 50 p < p < p < p < p < p < calcolo la media utilizzando i valori dei rappresentanti calcolo lo scarto quadratico medio utilizzando i valori dei rappresentanti calcolo il peso medio p = 1 ( ) = 63.7
12 Esercizio 3 calcolo la varianza e lo scarto quadratico medio (deviazione standard) r i r i p (r i p) 2 f i s 2 = 1 ( s 7.85 kg ) Kg 2
13 Media - Varianza - Deviazione Standard x media 1 n x i 1 n m f i x i s 2 varianza s dev. standard s 2 campionaria s 2 campionaria 1 n 1 n 1 n 1 (x i x) 2 1 n (x i x) 2 1 n 1 m 1 n (x i x) 2 1 n 1 (x i x) 2 f i (x i x) 2 m m 1 n 1 f i (x i x) 2 f i (x i x) 2 m f i (x i x) 2
14 Varianza - Deviazione Standard le espressioni della varianza (e della deviazione standard) possono essere riscritte come segue s 2 = 1 n x 2 i n x2 s 2 = 1 n m f i x 2 i n x2 infatti (x i x) 2 = (x 2 i 2x i x+ x 2 ) = x 2 i 2 x n x i + x 2 = = x 2 i 2 x(n x) + n x2 = x 2 i n x2
15 Esercizio Voti - 1 Un indagine su un campione di n = studenti, che ha sostenuto la prova scritta di matematica, ha prodotto il seguente risultato. Le votazioni in centesimi sono state raggruppate in quattro classi. classe f i f i /n Le classi sono di uguale ampiezza e contigue
16 Esercizio Voti - 2 Nell ipotesi di distribuzione uniforme, è naturale associare a ciascuna classe, come rappresentante, il valore centrale r i della classe stessa. media = 1 classe r i f i F i ( ) = 66 mediana = 70 guardando solo i rappresentanti varianza = 1 ( ) = 21.44
17 Eesercizio Voti POLIGONO DELLE FREQUENZE OGIVA DI FREQUENZA
18 Esercizio Voti CALCOLO DELLA MEDIANA area totale ( ) = 00 cerco il valore x = M e tale che (x ) 50 = 0 x = 68 M e = 68 68
19 Esercizio Voti - 5 CALCOLO DELLA MEDIANA interpolazione lineare sui punti A = (,30) B = (,) { y = 50 y 30 = 5 2 (x ) 50 (50 30) = 5 2 (x ) x = 68 M e = DOMANDE qual è il voto massimo preso dal 10% degli studenti? [] calcolare i quartili dall ogiva di frequenza [q 1 = 55, q 2 = 78]
20 Esercizio Voti
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