Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 03 a.a

Transcript

1 Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione a.a. 7-8 Dott. Simone Zuccher 6 Novembre 7 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Funzioni e loro grafico Definizioni ed osservazioni utili per gli esercizi: Dominio. Determinare il dominio o insieme di definizione o campo di esistenza di una funzione significa trovare tutti i valori della variabile indipendente per i quali l espressione analitica di f() ha significato. Questo equivale ad un sistema in cui sono riportate tutte le condizioni che devono verificarsi simultaneamente. Le funzioni per le quali il dominio non è tutto R sono:. n ϕ() ϕ(). [ϕ()] α,α N ϕ(). ϕ() ϕ() 4. log a ϕ(),a >,a ϕ() > 5. tanϕ() ϕ() π + kπ,k Z 6. cotϕ() ϕ() kπ,k Z 7. arcsin ϕ() ϕ() 8. arccosϕ() ϕ() Funzioni per le quali il dominio è tutto R sono i polinomi, le potenze con esponente naturale ([ϕ()] n,n N), le esponenziali (a ϕ() ), le radici con indice dispari ( n+ ϕ()), seno e coseno (sinϕ(), cos ϕ()) e arcotangente ( arctanϕ()). Grafico. Sia f : D C una funzione reale di variabile reale con D R e C R. Chiamiamo grafico di f l insieme delle coppie ordinate (, f()) D C.

2 Un sottoinsieme del piano cartesiano R R è il grafico di una funzione se ogni retta verticale lo interseca al massimo in un punto (vedi definizione di funzione). Simmetrie e/o periodicità. Eventuali simmetrie e/o periodicità sono utili in modo da studiare la funzione su un intervallo più piccolo rispetto al dominio.. Funzione pari: f() = f( ) D, ovvero il grafico di f è simmetrico rispetto all asse delle y.. Funzione dispari: f() = f( ) D, ovvero il grafico di f è simmetrico rispetto all origine degli assi.. Funzione periodica: f( + T) = f() D,T R, ossia il grafico di f si ripete uguale dopo un intervallo delle pari a T. Crescenza.decrescenza.. Un funzione di dice crescente su un intervallo [a,b] D se, [a,b], < f( ) f( ).. Un funzione di dice decrescente su un intervallo [a,b] D se, [a,b], < f( ) f( ). Concavità.. Si dice che un funzione f volge la concavità verso l alto su un intervallo [a,b] D se il segmento congiungente il grafico di due punti qualsiasi P (,f( )) e P (,f( )), con, [a,b], sta tutto al di sopra del corrispondente arco di grafico.. Si dice che un funzione f volge la concavità verso il basso su un intervallo [a,b] D se il segmento congiungente il grafico di due punti qualsiasi P (,f( )) e P (,f( )), con, [a,b], sta tutto al di sotto del corrispondente arco di grafico. Massimi/minimi.. Si dice massimo della funzione f il numero M tale che M = f( M ) f(); D. Il punto = M si dice punto di massimo. Se la condizione M = f( M ) f() è verificata solo localmente, ossia per [ M δ, M +δ] (essndo δ > ) allora = M è un punto di massimo relativo.. Si dice minimo della funzione f il numero m tale che m = f( m ) f(); D. Il punto = m si dice punto di minimo. Se la condizione m = f( m ) f() è verificata solo localmente, ossia per [ m δ, m +δ] (essndo δ > ) allora = m è un punto di minimo relativo. Operazioni algebriche tra funzioni (somma, differenza, prodotto e rapporto). Se f() e g() sono due funzioni definite rispettivamente su D f e D g, allora la loro somma f() + g(), differenza f() g() e prodotto f()g() sono definite su D = D f D g ; il loro rapporto f()/g(), invece, è definito su D \ A dove D = D f D g e A = { D : g() = }.

3 Funzioni definite a tratti. Si dice che f è definita a tratti se il suo dominio è suddiviso nell unione di sottoinsiemi in ciascuno dei quali il valore di f() è assegnato mediante una diversa espressione analitica. Per esempio, sono funzioni definite a tratti le seguenti: { + se f() = + = ( + ) se < f() = [] (funzione parte intera di ) f() = { e se + se > Grafico di una funzione noti a R e il grafico della funzione f():. y = f(). Basta ribaltare il grafico di f rispetto all asse delle.. y = f() + a. Basta traslare il grafico di f verso l alto di a se a > o verso il basso di a se a <.. y = af(). Basta dilatare verticalmente il grafico di f se a > o contrarlo (sempre verticalmente) se a <. Durante tale operazione è necessario fare attenzione al segno di a: se a > la funzione va solo dilatata o contratta, altrimenti va cambiato anche il segno ( ribaltamento rispetto all asse ). 4. y = f( ). Basta ribaltare il grafico di f rispetto all asse delle y. 5. y = f(+a). Basta traslare il grafico di f orizzontalmente di a verso sinistra se a >, verso destra se a <. 6. y = f(a). Basta contrarre orizzontalmente il grafico di f se a > o dilatarlo (sempre orizzontalmente) se a <. Durante tale operazione è necessario fare attenzione al segno di a: se a > la funzione va solo contratta o dilatata, altrimenti va anche ribaltata rispetto all asse y. 7. y = f () (funzione inversa). Se f() è biunivoca (iniettiva e suriettiva) basta tracciare il simmetrico del grafico di f rispetto alla retta y = (bisettrice del primo e quarto quadrante). Se f non è biunivoca, bisogna restringere f ad un dominio sul quale sia biunivoca e poi procedere come sopra. 8. y = f(). Dalla definizione di valore assoluto segue che le parti positive del grafico di f rimangono tali mentre le parti negative vanno ribaltate rispetto all asse, ovvero rese positive. 9. y = f( ). Questa funzione è evidentemente pari, per cui basta ribaltare rispetto all asse y il grafico di f corrispondente a. Esercizio. Determinare il dominio di f() = ( ). Risoluzione. Deve essere ( ) ], ] [, ].

4 Esercizio. Determinare il dominio di f() = log. { log Risoluzione. Deve essere [, + [. > Esercizio. Determinare il dominio di f() = log [(log ) π ]. { log > Risoluzione. Deve essere ]e, + [. > Esercizio.4 Determinare il dominio di f() = log 4 Risoluzione. Deve essere log + log + > log 4 log +. [ e, e [ [e, + [. Esercizio.5 Determinare il dominio di f() = arcsin[log( ) log )]. log( ) log e Risoluzione. Deve essere > [, + [. e > Esercizio.6 Dopo aver determinato il dominio di ciascuna delle seguenti funzioni (elementari), tracciare il grafico di f() e di f () restringendo, se necessario nel caso della funzione inversa, il dominio.. f() = n, n N; si discuta l andamento all aumentare di n.. f() = m, m Z,m <.. f() = m n, n,m Z. 4. f() = α, α R \ Q, ovvero per α irrazionale. 5. f() = a, < a <. 6. f() = a, a >. 7. f() = log a, < a <. 8. f() = log a, a >. 9. f() = sin.. f() = cos. 4

5 . f() = tan.. f() = arcsin.. f() = arccos. 4. f() = arctan. { se < 5. f() = H() = (gradino di Heaviside) se se < 6. f() = sgn () = se = (segno di ) se > 7. f() = = { se < se (valore assoluto di ) 8. f() = [] (parte intera di ). 9. f() = () = [] (mantissa di ). Risoluzione.. f() = n, n N: D = R. Si noti che al crescere di n, nonostante tutti i grafici passino per il punto (, ) e per il punto (, ) nel caso di n pari oppure per il punto (, ) se n è dispari, i grafici risultano sempre più schiacciati vicino all origine e sempre più esplosivi per >. La funzione inversa esiste solo per n dispari. Per n pari la funzione inversa esiste solo se f è ristretta, per esempio, agli >.. f() = m, m Z,m <. D = (, ) (, + ). La funzione inversa esiste solo per m dispari. Per m pari la funzione inversa esiste solo se f è ristretta, per esempio, agli >.. f() = m n, n,m Z. Se m > e n dispari, allora D = R. n Se m > e n pari, allora D = [, + ). n Se m < e n dispari, allora D = (, ) (, + ). n Se m < e n pari, allora D = (, + ). n Per l inversa, nei vari casi, si ragioni come sopra. 4. f() = α, α R \ Q, α irrazionale. D = [, + ). L inversa esiste sempre. 5. f() = a, < a <. D = R, l inversa ha come dominio D = (, + ) ed è log a. 6. f() = a, a >. D = R, l inversa ha come dominio D = (, + ) ed è log a. 7. f() = log a, < a <. D = (, + ), l inversa ha come dominio R ed è a. 5

6 8. f() = log a, a >. D = (, + ), l inversa ha come dominio R ed è a. 9. sin. D = R, l inversa ha come dominio [, ] ed è arcsin.. cos. D = R, l inversa ha come dominio [, ] ed è arccos.. tan. D = { R : π + kπ}, l inversa ha come dominio R ed è arctan.. arcsin. D = [, ], l inversa ha come dominio R ed è sin.. arccos. D = [, ], l inversa ha come dominio R ed è cos. 4. arctan. D = R, l inversa ha come dominio D = { R : π + kπ} ed è tan. { se < 5. f() = H() = (gradino di Heaviside) D = R, l inversa non se esiste. se < 6. f() = sgn () = se = (segno di ) D = R, l inversa non esiste. se > { se < 7. f() = = se a > oppure a <. (valore assoluto di ) D = R, l inversa va ritretta 8. f() = [] (parte intera di ). D = R, l inversa non esiste. 9. f() = () = [] (mantissa di ). D = R, l inversa è la funzione stessa per [, ). Esercizio.7 Dopo averne determinato il dominio, tracciare il grafico delle seguenti funzioni: { + se.f() = + = ( + ) se <.f() = { e se + se > {.f() = + se log + altrove Risoluzione. Si ragioni utilizzando il grafico delle funzioni elementari viste in precedenza. Per la si osservi che il dominio è >. Esercizio.8 Data la funzione f() = + (funzione omografica), disegnare il grafico di y = f(), y = f( ), y = f( ) e y = f( ). 6

7 5 y = f() -5 f() = + y = f( ) y = f( ) y = f( ) Figura : Grafici di y = f(), y = f( ), y = f( ), y = f( ) con f() = +. Risoluzione. Si veda la figura. Si noti che la funzione omografica è un iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con centro in (, ). Pertanto, gli asintoti sono = e y =. Dal grafico di f() è immediato ricavare gli altri grafici, come riportato in figura. Esercizio.9 Dal grafico di f() riportata in figura, dedurre il grafico di y = f(), y = f( ), y = f(), y = f() +, y = f(), y = f( ), y = f()..5 f() = +.5 y = f() Risoluzione. Si veda la figura. Figura : Grafico di f() = +. 7

8 y = f() y = f() y = f() y = f( ) y = f() y = f() + y = f() y = f( ) y = f() Figura : Grafici di y = f(), y = f(), y = f( ), y = f(), y = f() +, y = f(), y = f( ), y = f() con f() = +. Esercizio. Determinare eventuali simmetrie (funzione pari o dispari) e/o periodicità delle seguenti funzioni:. f() =. f() =. f() = f() = 5. f() = sin 6. f() = cos 7. f() = tan 8. f() = 7e i Risoluzione.. f() = : dispari.. f() = : pari.. f() = 5 + : pari. 4. f() = : né pari né dispari. 8

9 5. f() = sin: dispari, T = π. 6. f() = cos: pari, T = π. 7. f() = tan: dispari, T = π. 8. f() = 7e i : pari, T = π. Esercizio. Per le funzioni f() = + (figura ) e f() = + (figura ) determinare, dall analisi del loro grafico, gli intervalli di crescenza/decrescenza, massimi/minimi e gli intervalli su i quali risultano con concavità verso l alto/basso. Risoluzione. Dalla figura si ha che f() = + è sempre decrescente e, pertanto, priva di massimi o minimi, con concavità rivolta verso il basso per < e verso l alto per >. La funzione è illimitata sia inferiormente che superiormente. Dalla figura si ha che f() = + è crescente per < e per >, mentre è decrescente per < <. Pertanto, la funzione ha un massimo relativo in = e un minimo relativo in =, ma è illimitata sia inferiormente che superiormente. La concavità è verso il basso per < /, verso l alto per > /. Esercizio. Siano f, g le funzioni radice cubica e la funzione che aggiunge, ovvero f() = e g() = +. Determinare f g e g f verificando se la composizione è possibile (ovvero se i domini non sono incompatibili). Risoluzione. f g = f(g()) = + e g f = g(f()) = +. I domini non hanno problemi di compatibilità. Esercizio. Determinare per quali valori di k R la funzione f() = ha come dominio R. + + k Risoluzione. Deve essere ++k, ovvero l equazione di secondo grado non deve avere radici reali, i.e. < k > 8. 9