Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti) A.A. 2011/12 Appello del 17/07/2012.

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1 Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti) A.A. 011/1 Appello del 17/07/01. Tempo a disposizione: h30. Scrivere solamente su fogli forniti Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per la chiarezza espositiva. Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice: non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori: non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l elaborato. Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms, µ 0 = 4π 10 7 H/m, ε 0 = F/m, G = m 3 /(g s) R T = m, M T = g, R = 8.31 J/mol K. Problema 1: Una sottile catena di massa m = 5.0 g e lunghezza L =.0 m viene fatta passare su un piccolo perno liscio sospeso ad un dinamometro, sotto l azione della gravità. Sia x la lunghezza della catena che pende a destra del perno. La catena è inizialmente posta con x = L/3, e velocità nulla. Quesito 1.1 Determinare l accelerazione dell estremo destro della catena in funzione di x, e calcolarla numericamente all istante iniziale. Quesito 1. Determinare la velocità dell estremo destro della catena in funzione di x, e calcolarla numericamente quando x = L, cioè la catena è completamente a destra del perno. Quesito 1.3 Calcolare la lettura F del dinamometro in funzione di x e trovare il suo massimo valore nel moto di caduta della catena. x Problema : Un cilindro omogeneo di massa M = 5 g, raggio R = 15 cm si trova su un piano inclinato che forma un angolo θ = π/6 rispetto all orizzontale. Il cilindro è attaccato, nel suo centro, ad una molla di costante elastica = 150 N/m e lunghezza a riposo L 0 = R il cui altro estremo è fissato ad una staffa solidale al piano. Il coefficiente di attrito statico fra il cilindro ed il piano vale µ s = 0.8. Il cilindro viene lasciato andare da fermo nella posizione in cui la molla ha lunghezza L 0. R θ Quesito.1 Calcolare l accelerazione del cilindro all istante iniziale discutendo se striscia oppure compie un moto di puro rotolamento. Quesito. Calcolare la massima lunghezza della molla nel moto successivo. Quesito.3 Supponendo adesso invece che il cilindro venga posto nelle vicinanze della sua posizione di equilibrio, calcolare il periodo delle piccole oscillazioni del cilindro intorno a tale posizione. Problema 3: Un gas perfetto monoatomico è contenuto in un cilindro di sezione di base A = 0.1 m chiuso ermeticamente con pistone mobile di massa M = 5 g. Il cilindro viene posto verticalmente nel campo gravitazionale terrestre con il pistone al di sotto del volume di gas. Le pareti del cilindro permettono il passaggio di calore ed il pistone si muove senza attrito. Gas Ambiente M Quesito 3.1 Inizialmente il cilindro è in un ambiente a temperatura T 0 = 300 K e pressione P 0 = 1.0 atm. Si osserva che il volume del gas è V 0 = 1 dm 3. Calcolare il numero di moli n del gas. Quesito 3. Le condizioni dell ambiente vengono variate in modo quasi-statico: prima la temperatura viene fatta crescere lentamente fino a raggiungere T 1 = 400 K, senza variazioni della pressione dell ambiente; successivamente si mantiene costante la temperatura dell ambiente e si fa crescere la pressione dell ambiente sino al valore p 1 = 1.p 0. Calcolare il calore totale scambiato dal gas nelle due trasformazioni, precisando se complessivamente assorbe o cede calore. Quesito 3.3 Il gas viene riportato in modo quasi-statico alle condizioni iniziali variando prima solo la temperatura da T 1 a T 0, e successivamente variando solo la pressione ambiente da p 1 a p 0. Calcolare il lavoro totale svolto dall ambiente sul gas nelle quattro trasformazioni.

2 Solo per il corso di Fisica Generale (509) Problema 4: La regione di spazio 0 x d, con d = 5 cm, è riempita con una lastra infinita di materiale isolante caricata uniformemente con una densità di carica ρ incognita. In x = 0 è inoltre presente un piano infinito carico uniformemente con densità di carica σ = 1 nc/m. All esterno della lastra il campo elettrico è ovunque nullo. O σ ρ d P x Quesito 4.1 Determinare la densità di carica ρ della lastra Quesito 4. Calcolare le tre componenti del campo elettrico (E x, E y, E z ) in tutto lo spazio e si riporti su un grafico l andamento di E x in funzione di x per y = z = 0. Dare una valutazione numerica del campo elettrico nell origine. Quesito 4.3 Calcolare la differenza di potenziale tra il punto O = (0, 0, 0) ed il punto P = (d, 0, 0).

3 Soluzioni Problema 1: Quesito 1.1 Si consideri una coordinata curva che corre intorno alla catena con il verso positivo dal lato destro. Detta T la tensione della catena nel punto in cui si appoggia al piolo si avrà, per i due tratti di catena lunghi rispettivamente L x e x: T (L x)λg = (L x)λa xλg T = xλa (1) dove λ = m/l è la densità lineare di massa della catena e a è l accelerazione di un qualunque punto della catena (essendo questa inestensibile è la stessa per ogni punto). Sommando le due equazioni si ottiene ( ) x a(x) = g L 1 = a(x = L/3) = g 3 = 3.7 m/s () Quesito 1. Poiché il piolo è liscio e la gravità è una forza conservativa, si conserva l energia meccanica totale. Scegliendo come riferimento del potenziale il piolo stesso si ha che [ U(x) = g (L x)λ L x + xλ x ] = gλ (L Lx + x ) (3) Nella posizione iniziale vale U(L/3) = (5/18)mgL Dalla conservazione dell energia si ha: ( 1 mv + U(x) = U(L/3) = v = gl 9 x ) L + x L (4) Per x = L is ha v = 4 gl =.95 m/s (5) 9 Quesito 1.3 Il piolo è fermo mentre la catena scende, quindi la forza esercitata dal dinamometro deve equilibrare la somma delle due tensioni dei due pezzi di catena, che sono uguali perché il piolo è liscio: F = T. Usando le (1) e sostituendo il valore di a trovato in () si ha: ( T = (L x)λg + (L x)λa = (L x)λ(g + a) = 1 L) x x mg (6) L Il massimo di F, o di T, si ottiene cercando lo zero della derivata rispetto a x: dt dx = mg ( 1 x L L x ) = 0 = x = L L Poiché peró x = L/ non fa parte del moto in questione, che si svolge tra x = L/3 e x = L, il massimo della forza sul dinamometro verrà osservata all istante iniziale, visto che la funzione è decrescente per x > L/. Per x = L/3 la forza del dinamometro è: ( F = T = 4 1 L) x x L mg = 8 mg = 43.6 N (8) 9 (7) Problema : Quesito.1 All istante iniziale la molla ha una lunghezza pari alla lunghezza di riposo, per cui esercita una forza nulla. Le forze che agiscono sono: la forza peso Mg, la reazione normale del piano N, la forza di attrito statico F S. Orientiamo l asse x lungo il piano verso il basso, l asse y ortogonalmente al piano, e prendiamo come positivo il verso orario delle rotazioni. Assumiamo che il moto sia di puro rotolamento, cioé che a CM = αr. Verificheremo successivamente se il moto sia effettivamente di puro rotolamento. Utilizziamo il punto di contatto O come polo. F x : Mg sin θ F S = Ma CM (9) F y : N Mg cos θ = 0 (10) τ : MgR sin θ = I O a CM /R (11) Per un cilindro omogeneo I CM = 1 MR e I O = I CM + MR = 3 MR che sostituito nella (11) dà: a CM = 3 g sin θ = 3.7 m/s. (1)

4 Sostituendo nella (9) si ottiene il valore della forza di attrito, da confrontare con il valore massimo: F S = M(g sin θ a CM ) = 1 3 Mg sin θ = Mg <? 3 µ S N = µ S Mg cos θ = 0.8 Mg = 0.693Mg. (13) Come si vede la forza di attrito è minore del valore massimo, per cui il moto è effettivamente di puro rotolamento. Quesito. Nello scendere la molla esercita una forza che rallenta il cilindro, per cui il moto sarà ancora di puro rotolamento, e si conserva l energia in quanto la forza di attrito non compie lavoro. Detta L 1 la massima lunghezza della molla e posto lo 0 del potenziale nel punto di aggancio della molla, avremo, considerando che il cilindro sarà fermo nel momento di massimo allungamento della molla: MgL 0 sin θ = MgL 1 sin θ + 1 (L 1 L 0 ) Mg sin θ = L 1 = L 0 + = 50.6 cm (14) Quesito.3 Modifichiamo le equazioni del moto scritte al punto 1 per tener conto della molla, chiamando x la posizione del centro di massa del cilindro rispetto alla staffa: F x : Mg sin θ F S (x L 0 ) = Ma CM (15) F y : N Mg cos θ = 0 (16) τ : (Mg sin θ (x L 0 ))R = I O a CM /R (17) Il punto di equilibrio si ottiene ponendo a CM = o ed è x eq = L 0 + Mg sin θ/. L equazione (17) puó essere riscritta come: a CM = I O /R (x x eq). (18) Questa è l equazione di un moto armonico la cui pulsazione è data da ω = I O /R = T = π ω = π IO 3M R = π (19) ovvero T = 1, 4 s. Problema 3: Quesito 3.1 Il numero di moli del gas puó essere ricavato utilizzando l equazione di stato dei gas perfetti n = p g,0v 0 RT 0 (0) dove la pressione P si ottiene sommando il contributo della pressione atmosferica a quello del peso del pistone, ovvero p g,0 = p 0 Mg A p o = 101, 3 Pa (1) da cui n = moli. Quesito 3. L innalzamento della temperaura avviene a pressione costante, quindi il calore scambiato dal gas vale la seconda trasformazione, invece, è isoterma, quindi Q = W gas ovvero dove p g,1 = p 1 Mg A, da cui Q tot = Q 1 + Q = J. Q 1 = nc P T = nc P (T 1 T 0 ) = 84.4 J () Q = nrt 1 ln V f V i = nrt 1 ln p g,0 p g,1 = 4.63 J (3) Quesito 3.3 Il ciclo si compone di due trasformazioni isobare (AB e CD) e di due isoterme (BC e DA), si ha quindi ed i due contributi si elidono; per le isoterme si ha invece da cui W tot = nr(t 0 T 1 ) ln pg,1 p g,0 = J. W AB = p g,0 (V B V A ) = nr(t 1 T 0 ) (4) W CD = p g,1 (V D V C ) = nr(t 0 T 1 ) (5) W BC = nrt 1 ln V C V B = nrt 1 ln p g,0 p g,1 (6) W DA = nrt 0 ln V A V D = nrt 0 ln p g,1 p g,0 (7)

5 Problema 4: Quesito 4.1 Quesito 4. Quesito 4.3