3. Quando la componente della forza parallela allo spostamento ha verso opposto ad esso. ( ) = 0,76 α = 40

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1 PROBLEMI DI PARAGRAFO 1. IL LAVORO DI UNA FORZA 1. No, la forza da applicare diminuisce ma la distanza aumenta, quindi il lavoro compiuto resta costante.. 1 J 1 kg 1 m 1 s 10 g 10 cm 1 s 10 erg. 3. Quando la componente della forza parallela allo spostamento ha verso opposto ad esso. 4. Dalla definizione del lavoro e dall algebra dei vettori risulta W " F " s F + F + F + s F s + F s + F s + W + W + W + 5. W F,0 N 10 m 0 J 6. W Fs 3,4 10 N 6 m,1 10 J 7. W Fs cos α 1300 N 6 m cos 45,4 10 J ( 35 N) 8. W Fscosα cosα W Fs 30 J 1 m 0,76 α W " F l F l 564 N 7, m 65 N 5,1 m 7,4 10 J 10. W F s mgh 1 70 kg 9,8 m/s 130 m 1,9 10 J 11. Le due forze hanno uguale intensità e formano tra loro un angolo di 50, quindi la nave si sposta lungo la bisettrice dell angolo, formando un angolo di 5 con le funi: il lavoro di ciascun rimorchiatore è W Fs cos 5 6, 10 N 18 m cos 5 1,0 10 J. 1. Indicata con T la tensione incognita, il lavoro totale è W " T 10 m + 1 T + 70N 6 m 860 J T 50 N. 13. L intensità della forza di attrito è uguale a quella della componente della forza-peso parallela al terreno; inoltre in un secondo lo sciatore percorre 10 m perciò il lavoro della forza d attrito è W F sin 30 s 70kg 9,8m/s 1 10 m 3,4 10 J. 1 Zanichelli 016

2 14. Quando la forza è negativa il suo verso è opposto al moto del carrello, che viene così rallentato; il lavoro che compie è negativo. Il lavoro totale è W " 1 4,8m + 3,m 1N 1,m + 1,4m 6N 37 J. 15. W F s 46 N 4,0 m 1,8 10 J W F s 0,9 15 kg 9,8 m/s 4,0 m 1,7 10 J W " W + W 184 J J 13 J 16. L accelerazione dell auto si ricava dalla legge del moto uniformemente accelerato a s t per cui la forza esercitata dal motore è F ma m s t ( 75 m ) N. ( 5 s) 1500 kg Il lavoro compiuto da questa forza è 75 m W Fs N J.. LA POTENZA 17. Per avere una buona accelerazione bisogna aumentare la forza, ma F P/v, dove P è la potenza e v la velocità, quindi v deve diminuire. Per questo motivo c è bisogno di un rapporto di trasmissione più basso e quindi di scalare la marcia. 18. Nel grafico lavoro-tempo la pendenza della retta è uguale alla potenza, per cui la potenza erogata nel primo intervallo di tempo è maggiore. 19. P 1 W Δt 1 e P W Δt P 1 P Δt Δt 1 e P 1 P Δt Δt 1 Se Δt 1 > Δt, allora P 1 < P. 0. La pendenza della retta tangente al grafico diminuisce, per cui la potenza erogata diminuisce col passare del tempo. 1. Dalla formula che definisce la potenza: t W P 9,6 10 J W 1,5 10 s. Zanichelli 016

3 . P W Δt 6, J 7 60 s 389 W 3. La potenza impiegata per mantenere costante la velocità del furgone è P 80 kw 15 kw 65 kw e quindi la velocità è v P F 65 kw 4, m/s. N 4. A velocità costante la somma vettoriale delle forze è nulla: F "#"$% βv "# 0 P F "#"$% v "# F "#"$% 800,0 N 1600 W. β 400,0 kg/s 5. Da W Fs e P W/t si ottiene F Pt 1 KW 1800 s s 50 km 7,6 10 N. 6. Dalla definizione di potenza: 50 kj 0 kj P 5,0 60 s 1, 7 10 W 60 kj 50 kj P 4 60 s 4 W ( 60 kj ) P media 0 kj 9 60 s ( ) 1,1 10 W 7. Poiché la forza F 4,0N è costante, il blocco di massa m 0,80kg percorre la distanza d,6m muovendosi di moto rettilineo uniformemente accelerato; l accelerazione si ricava dal secondo principio della dinamica a F m. Il tempo necessario per spostare il blocco si ottiene dalla legge del moto uniformemente accelerato d 1 aδt Δt d a dm F, quindi la potenza media sviluppata è P W Δt Fd Δt Fd F dm F Fd m ( 4,0 N ) ( 4,0 N),6 m 0,80 kg 10 W. 3 Zanichelli 016

4 8. Poiché la velocità è costante, la forza sviluppata dal motore è pari alla componente della forza peso: P Fv mg senθ v 80,0 kg 9,8 m/s 1 0 m/s 7,8 10 W. 3. L ENERGIA CINETICA 9. K 1 1 M v M 4v M 1 1 v K 1 M v 1 M v M 1 1 v L automobile con maggiore energia cinetica, a parità di sistema frenante, impiega più tempo a frenare, quindi l automobile di massa M si ferma prima. 30. Solo la componente della forza in direzione dello spostamento compie lavoro. Perciò si può procedere con la stessa dimostrazione vista nel testo usando la componente F F cos φ x al posto di F. 31. Quando l oggetto è fermo e rimane fermo oppure quando la forza è perpendicolare allo spostamento. 3. K kg 3600 s m 5, J 33. Dal teorema dell energia cinetica: W kg W kg 3600 s 1000 m m s m 3600 s m 3600 s 1,3 105 J 1,7 105 J 34. Il lavoro compiuto dai freni del camion è: W Fd 3 10 Mgd Dal teorema dell energia cinetica si ricava la velocità finale del camion: v v + W M v m gd s 3 9,8 m/s m 5,6 m 80 km/h. s 4 Zanichelli 016

5 35. Dal teorema dell energia cinetica si ricava il lavoro compiuto dal motore: W 1 Mv e quindi la potenza media è P W 1000 m t Mv 60 kg 100 t 3600 s 1,8 s 1,4 10 W. 36. Dall analisi del diagramma delle forze si ricava l espressione della forza di attrito: f μ Mg F sin 30 e quindi il lavoro compiuto dalla forza orizzontale totale è W F f d F cos 30 f d Dal teorema dell energia cinetica si ricava v W M ( F f x )d M ( 4 N )cos30 0,15 1,6 kg 1,6 kg ( 9,8 m/s ) 4 N 37. W F d 35 N,0 m 70 J W f d 30 N,0 m 60 J sin30 ( 1,8 m) Utilizzando il teorema dell energia cinetica si ottiene la velocità del carrello: 1,8 m/s. v W " M W + W M 10 J 10 kg 1,4 m/s. 38. Il lavoro compiuto da Andrea è W Fd. Dal teorema dell energia cinetica, la velocità finale dell automobilina è: ( 0,40 m) v W m Fd m 1, N 0,500 kg 1,4 m/s. 39. W Fs e K 1 mv Per W K si ha v Fs m 0,55 m 7,8 10 N 0,010 kg,9 m/s. 40. Dal teorema dell energia cinetica: F W d K d 1000 kg m/s 7,0 10 N. 16 m 5 Zanichelli 016

6 41. W ΔK K K Poiché l oggetto si ferma, W K, quindi W mv. Il lavoro fatto dalla forza-peso e dalla forza F è W (mgsenθ + F)s. Quindi mgsenθ + F s 1 mv s mv (mgsenθ + F) (1,0 kg)(4,0 m s ) 1,0 kg 9,8 m s 1 + (10,0 N) 0,13 m. 4. LE FORZE CONSERVATIVE E L ENERGIA POTENZIALE 4. Dalla relazione che definisce l energia potenziale si ricava U W F x F U x 43. A sinistra di x 0 la retta tangente ha pendenza negativa, quindi la forza è positiva, cioè diretta verso destra; a destra di x 0 la pendenza della retta tangente è positiva, quindi la forza è negativa, cioè diretta verso sinistra. Quindi appena la distanza varia rispetto a x 0, abbiamo una forza che tende a riportare la distanza al valore x In B e in D la retta tangente ha pendenza nulla, quindi la forza è nulla; in A e in E la pendenza della retta tangente è negativa, quindi la forza è positiva (diretta verso destra); in C la pendenza della retta tangente è positiva, quindi la forza è negativa (diretta verso sinistra). 45. W F s 9,6 kg 9,8 m s 10 m 9,4 10 J 46. In entrambi i casi: W F s 640 N 8,0 m 5,1 10 J. 47. W F d 4 N 8, m,0 10 J W F d 4 N 7,6 m 1,8 10 J 48. Dalla definizione di energia potenziale: W U " U U U U W 380 J 530 J 150 J, W U " U U U U W 150 J 40 J 70 J. Se l energia potenziale in B è nulla, vuol dire che il suo valore aumenta di 150 J; quindi tutte le energie aumentano di 150 J: U 530 J, U 40 J 6 Zanichelli 016

7 49. Indichiamo con M la massa incognita del carrello; il lavoro compiuto da Fabrizio è opposto al lavoro della forza di attrito: W W F," d " + F," d " + F," d " µμmgd " + µμ M + M gd " + µμ M + M + M gd " 0, 9,8m/s M 6,0 m + M + 8,0 kg 17,0 m + M + 8,0 kg + 4,0 kg 11,0 m 1, 10 J; 1 W M d " + d " + d " μg M d " + d " M d " 1 34 m 100 J 0, 9,8 m/s 8,0 kg 8,0 m 4,0 kg 11,0 m 8,5 kg. 50. Con (M 13 kg) abbiamo che: W, Mgh 13 kg 9,8 m/s,6 m 3,3 10 J W, Mgh 13 kg 9,8 m/s,6 m 3,3 10 J W, 0 J Nel secondo caso (M 13 kg, m 0,60 kg): W, Mgh + M + m gh mgh 0,60 kg 9,8 m/s,6 m 15 J. 51. W F d 3, N π 0,85 m 17 J Dal teorema dell energia cinetica W "#$%& K W 1 mv W 1,5 kg 0,9 m/s + 17 J 18 J. La forza applicata dal bambino non è conservativa. 5. Il lavoro della forza-peso non dipende dalla presenza o meno dell attrito. Lungo il percorso AB il lavoro della forza-peso è W " F l sin 30 mgl sin kg 9,8 m/s,0 m 0,5 98 J. Lungo il percorso ABC il lavoro della forza-peso è W "# W " + W " 0 F h mgh 10 kg 9,8 m/s 1,0 m 98 J. 5. L ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA-PESO 53. L energia potenziale della forza-peso è direttamente proporzionale alla massa dell oggetto, per cui la retta maggiormente inclinata corrisponde a una massa maggiore. Pertanto la massa dell oggetto B è maggiore. 54. Il lavoro maggiore è compiuto sulla Terra. La forza-peso dell oggetto sulla Luna vale circa 1/6 di quella sulla Terra, quindi il lavoro necessario per sollevare di 1 m l oggetto sulla Luna è circa 1/6 del lavoro necessario sulla Terra. 7 Zanichelli 016

8 55. ΔU mgh 1,0 kg 9,8 m/s 1,0 m 9,8 J ΔU mgh 30 kg 9,8 m/s,0 m 0 J ΔU mgh 30 kg 9,8 m/s 0 m 0 J 56. W U mgh 0,400 kg 9,8 m/s,50 m 9,8 J ΔU U 9,8 J 57. ΔU F Δh 6,4 10 N 4,0 m,6 10 J ΔU "#$%#& ΔU "#$%",6 10 J ΔU " 0 J 58. U mgδh 30 kg 9,8 m/s 3,1 m 9,1 10 J U mgδh 30 kg 9,8 m/s 6,1 m 1,8 10 J ΔU mgδh 30 kg 9,8 m/s 3,0 m 8,8 10 J 59. La relazione tra l energia potenziale U e l altezza h è lineare: la pendenza della retta è m U h 395 J 0 J 5,0 m 1,7 m 395 3, J m e l equazione della retta è U h m h 1, J m h 1,7 m. L energia potenziale al suolo è U 0 1,7 m 3950 J 33 m,0 10 J. 60. W m T gh 8,0 h 00 1h 70 kg ( 9,8 m/s ) ( 500 m) 5, J 61. La massa totale m T è data dalla somma della massa m A 76 kg dell alpinista e della massa m dell attrezzatura che pesa F P 49 N : m T m A + m m A + F P g. Assumendo trascurabile la velocità dell alpinista, il lavoro che compie per salire di un tratto h è uguale all energia potenziale gravitazionale in quel punto, prendendo come livello di riferimento il livello di partenza: h U m T g W m T g W m A + F P g g W m A g + F P ( 6, 10 4 J) ( 76 kg) 9,8 m/s + 49 N 78 m. 8 Zanichelli 016

9 6. L ENERGIA POTENZIALE ELASTICA 6. Il grafico corretto è quello della figura A: una parabola con la concavità rivolta verso l alto. 63. U x 1 kx U 3x 1 k ( 3x ) 9U x 64. Perché la forza non è costante, e dunque la relazione W F s non può essere utilizzata. 65. La variazione di energia potenziale è uguale per entrambe, perché non dipende dalla lunghezza a riposo, ma dall allungamento. 66. U 1 ks 1 ( 180 N/m ) ( 0,14 m) 1,8 J 67. k U s W s 0,7 J ( 0,060 m) 4,0 10 N/m 68. Il lavoro e l energia potenziale elastica sono uguali a W U 1 ks 1 40 N m 0,10 m 1, J. 69. U 1 ( 0,10 J) ks k ( 0,0 m) 4,1 10 N/m 70. L energia potenziale elastica della molla è direttamente proporzionale al quadrato della deformazione: U' 4U 4 (400J) 1600J ΔU 1, 103 J 71. La costante elastica della molla è k F s 5,0 N 1,0 10 m 5,0 10 N/m. 9 Zanichelli 016

10 Il grafico F-x è Il lavoro compiuto dalla forza elastica è W U U 1 k s s N/m 1,0 10 m 1,5 10 m 3,1 10 J Lo stesso risultato si ottiene calcolando l area sotto il grafico F-x. 7. U e 1 ks 1 k F k 1 F k 1 ( mg) k ( 9,8 m/s ) 1 5 kg 1, 10 3 N/m 1,1 10 J 73. La distanza della posizione iniziale dalla posizione di equilibrio è l ampiezza A dell oscillazione della lastra: dalla condizione di equilibrio ka mg ricaviamo la costante elastica della molla k mg A. La massima energia potenziale elastica è raggiunta quando la lastra è al punto più basso: U "# 1 ka 1 mg A A mga 1,6 kg 9,8 m/s 0,048 m 0,38 J. 74. Le forze che ciascuna molla applica sull altra hanno uguale modulo, in virtù del terzo principio della dinamica, quindi i due allungamenti x e x soddisfano le relazioni k x k x x + x L l l da cui si ricavano le espressioni x L l l k 0,40 m 10 N/m 0, m, k + k 0 N/m x L l l k 0,40 m 100 N/m 0,18 m. k + k 0 N/m Le energie potenziali delle due molle sono 10 Zanichelli 016

11 U 1 k x 1 k L l l k k + k N/m 0,40 m 10 N/m 0 N/m,4 J, U 1 k x 1 k L l l k k + k 1 10 N/m 0,40 m 100 N/m 0 N/m,0 J. 7. LA CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA 75. Poiché l energia cinetica K è positiva o nulla, risulta E K + U U per cui la prima affermazione è vera, mentre la seconda è falsa (l energia potenziale può essere negativa). 76. Nessuno dei due: la velocità alla fine del piano si ricava dal teorema dell energia cinetica E E v gh per cui la velocità raggiunta dipende solo da h, che è la stessa per entrambi. 77. No: due grandezze sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante, mentre in un sistema conservativo è costante la somma di energia cinetica e potenziale. 78. Per la conservazione dell energia meccanica, quando la molla è totalmente compressa o totalmente allungata l energia meccanica è tutta potenziale. Quando la massa transita per la posizione di riposo della molla l energia meccanica è puramente cinetica. In questo punto l energia cinetica raggiunge il suo massimo. 79. A cinetica, B potenziale, C meccanica totale. 80. Dopo metà del tempo totale (ossia il tempo necessario a percorrere i 10 m di altezza), la palla non si trova ancora a metà strada, quindi l energia potenziale della forza-peso sarà maggiore di quella cinetica Zanichelli 016

12 8. K U mgh 0,3 kg 9,8 m/s 6,7 m 1 J 83. Per il principio di conservazione dell energia, l energia cinetica del sasso è pari all energia potenziale persa. Quindi K 405 J. v K /m (810 J )/(,5 kg ) 18 m/s 84. U f K i mgh f 1 mv h i f v i g ( 6, m/s) 9,8 m/s,0 m 85. U i K f 1 ks 1 i mv f v f s i ( 390 N/m) (,9 kg) k m 0,1 m 1,4 m/s 86. Dalla conservazione dell energia meccanica U K mgh 1 mv v gh 9,8 m/s 1,0 m 4,4 m/s. 87. All imbocco della rampa K 1 mv 1 50,0 kg 3,90 m/s 380 J All uscita della rampa U mgh 50,0 kg 9,80 m/s 0,450 m 1 J Dalla conservazione dell energia: K 1 mv K U v K U m 380,5 J 0,5 J 50,0 kg,53 m/s. 88. L energia potenziale dei due blocchi è U, m gh 4,0 kg 9,8 m/s,0 m 78 J, U, m gh,0 kg 9,8 m/s,0 m 39 J, U, 0 J, U, m gh,0 kg 9,8 m/s 4,0 m 78 J. Dalla conservazione dell energia meccanica U, + U, U, + U, + K, + K, si ottiene (le velocità dei due blocchi sono uguali) v U, + U, U, U, m + m 78 J + 39 J 78 J 6,0 kg 3,6 m/s. 89. Per la conservazione dell energia meccanica mgh 1 mv v gh (9,8 m/s ) (,0 m) 6,3 m/s. 1 Zanichelli 016

13 F kδx k F Δx K + U () K + U 1 mv 1 ks m ks v Fs ghδx 10 N 0,0 m (9,8 m/s 0,10 kg ) (,0 m) (0,10 m) 90. Il modulo della forza elastica è F ks, da cui k F s 50 N 3571,4 N/m 0.07 m L energia potenziale elastica del sistema formato dalla molla e dalla massa, prima che questa venga rilasciata, in assenza di attrito è pari all energia potenziale gravitazionale all istante in cui la massa si ferma sul piano inclinato, quindi 1 ks mgh h ks 3571,4 N/m 0,15 m mg (3 kg) (9,8 m/s 1,4 m. ) 91. Da W Fs e K 1 mv, per W K si ha v Fs m (50 N) (10 m) (,0 kg) m/s. Da W Fs e U mgh, per W U si ha h Fs (50 N) (10 m) mg (,0 kg) (9,8 m/s 5 m. ) 9. Il sistema è conservativo. Inizialmente il sistema ha solo energia potenziale elastica, alla fine solo energia potenziale della forza-peso. Il bilancio energetico fornisce la soluzione: 1 ks mgh s mgh k 0,0 kg 9,8 m/s 0,01 m 9,8 N/m,0 cm. 8. LE FORZE NON CONSERVATIVE E IL TEOREMA LAVORO-ENERGIA 93. L energia cinetica del saltatore viene convertita, durante il salto, in parte in energia potenziale della forza-peso, in parte in energia elastica dell asta, la quale però viene restituita all atleta, nel punto più alto, quando l asta non è più piegata. Una parte dell energia cinetica dell atleta viene dispersa in forme di energia diversa da quella meccanica. 13 Zanichelli 016

14 94. Mentre l oggetto si sposta la sua energia meccanica aumenta, quindi le forze non conservative compiono un lavoro positivo (da x 4,0 a x 6,0 è quasi 300 J). Sì; in questo caso l energia meccanica diminuisce e quindi le forze non conservative compiono lavoro negativo. 95. Dal grafico, l energia cinetica K dopo 7,5 s è K 50 mj, quindi v K m 0,500 J 0,06 kg 3 m/s. Dal grafico si deduce che l energia potenziale è massima è U 600 mj a t 0 s, perciò h "# U mg J 0,06 kg 9,8 m/s 1 m. L energia meccanica all istante t 0 s è E 600 mj e all istante t 3 s è E 500 mj, quindi diminuisce di una quantità pari a E E 100 mj. 96. W " E E K + U K + U 3 J + 6 J 4 J 45 J 11 J 97. W " E E mgh mgh mg h h 0,3 kg 9,8 m/s 13,3 m 1, m 38 J 98. E U W " + E W " + U h U mg W " + U W " mg mg + h 1 J + 1,4 m 8, m 0,18 kg 9,8 m/s 99. W nc E f E i K f U i 1 mv mgh f i 0,04 kg 1 5, m 9,8 m/s 3 m 5,1 J 100. W nc E f E i K f U i 1 mv mgh f i 1,5 kg 1 6,3 m 9,8 m/s 3, m 17 J 101. L energia meccanica iniziale è E 1 ka ; quella finale è E E + 0,50 J. L ampiezza di oscillazione finale A è A E k E + 0,5 J k ka + 1,0 J k A + 1,0 J k 14 Zanichelli 016

15 0,0 m + 1,0 J 0 N/m 0,30 m. 10. Il sistema non è conservativo a causa del lavoro compiuto dal motore. Dal bilancio energetico ricaviamo W "#"$% E E 1 mv + mgh 1 mv m 1 v v + gh 00 kg 1 6,0 m/s 10 m/s + 9,8 m/s 5,6 m/s 5,0 10 J h 1 gt Per la conservazione dell energia meccanica nel vuoto: U + K U + K. U K quindi mgh K K mg gt m gt. Nel secondo esperimento definiamo E " l energia dissipata dalla forza non conservativa (attrito con il gas): K + U + E " K + U U + E " K ma U U K m gt E " K K K 1 m gt 18,1 J 1 1,0 kg 9,8 m s,0 s 10 J Dalla conservazione dell energia meccanica mgh "# mgh "# + 1 mv v g h "# h "# (9,8 m/s ) (0,5 m) 3,1 m/s. Il lavoro delle forze d attrito è W ""#$"% E E 1 mv + mgh "# mgh "# 1 50 kg,0 m/s 50 kg 9,8 m/s 0,5 m 145 J La componente della forza-peso nella direzione dello spostamento è P mg cos 45 1,5 kg 9,8 m/s 0,707 10,4 N. La lunghezza s del piano inclinato è pari a s m,8 m, quindi il lavoro della forza peso relativo allo spostamento lungo tutto il piano inclinato è W P s 10,4 N,8 m 9 J. Il modulo della forza di attrito è F µμn, dove N è la reazione vincolare del piano inclinato N mg sin 45 1,5 kg 9,8 m/s 0,707 10,4 N. Quindi F 0,10 10,4 N 1,04 N W F s 1,04 N,8 m,9 J. 15 Zanichelli 016

16 L energia dissipata è pari al lavoro delle forze non-conservative: W " K + U (K + U ). Per il teorema dell energia cinetica, detto W " il lavoro totale compiuto sul blocco di legno, si ha: K K W " W + W 9 J,9 J 6 J e U U mgh 1,5 kg 9,8 m/s,0 m 9,4 J; quindi W " 6 J 9,4 J 3,4 J. Dato che K 0, K 6 J v 6 J 1,5 kg 5,9 m/s Il modulo della forza d attrito è F µμn µμmg 0,10 1 kg 9,8 m/s 11,76 N e compie sulla slitta un lavoro pari a W ""#$"% F x, dove x è la distanza percorsa dalla slitta. Per il teorema lavoro-energia: W ""#$"% K + U K + U da cui l equazione F x 1 mv x 1 mv 1 1 kg,1 m/s,3 m. F 11,76 N 16 Zanichelli 016

17 PROBLEMI GENERALI 1. Dal bilancio energetico E E + W " 1 mv + mgh 1 mv + mgh + W " si ricava la velocità richiesta v v + g h h + W " m m 3600 s + 9,8 m/s 3,1 m + 3,3 10 J 80 kg 7,0 m.. Δh r ΔU mgδh mgr 30,0 kg 9,8 m/s,00 m 588 J 5,9 10 J Δh r 1 ΔU mgδh mgr 1 30,0 kg 9,8 m/s,00 m 1 17 J 1,7 10 J Δh 0 m ΔU mgδh 0 J 3. Nel moto di salita: mgh Fh 1 mv Nella discesa: mgh Fh K Sottraendo membro a membro la seconda equazione dalla prima: mgh 1 mv K v m (mgh K ),0 kg,0 kg 9,8 m/s 3,0 m (36,6 J) 9,0 m/s. Il valore del modulo di F è F mg K h,0 kg 9,8 m/s 36,6 J 3,0 m 7,4 N. 4. Il sistema è conservativo, quindi E E 1 mv + mgh 1 mv + mgh 17 Zanichelli 016

18 v v + gδh 90,0 m 3,6 s + 9,8 m s (0,0 m 11,0 m) 8,3 m s 10 km/h. 5. Il sistema è conservativo. Da un bilancio energetico si ricavano le due velocità richieste. Nel primo caso 1 mv + mgh mgh da cui v g h h gl 1 cos 37 9,8 m/s 30 m 1 cos m/s. Nel secondo caso da 1 mv + mgh 1 mv + mgh si ricava v g h h + v 9,8 m/s 30 m 1 cos ,0 m/s 1 m/s. 6. L energia meccanica iniziale è E 1 mv + mgh 1 0,80 kg 1,1 m s + 0,80 kg 9,8 m s 0,5 m 4,4 J. Se il carrellino arrivasse alla base, dal teorema lavoro-energia si avrebbe 1 mv mgh + 1 mv + W " dove W " è il lavoro fatto dalle forze non conservative; in questo caso dalla forza di attrito W ""#$"% 5 N 1,0 m 5 J si ricava v m mgh + W " + v 0,80 kg 0,80 kg 9,8 m s 0,5 m 5 J + 1,1 m s 1,5 m s m. Poiché v non può avere un valore negativo, il carrello non arriva alla base. 7. Dal teorema lavoro-energia si ha mgh mgh + F s, mg h h F s, dove s è il percorso del nuotatore dentro l acqua. 18 Zanichelli 016

19 Prendendo la superficie dell acqua come riferimento per il calcolo delle quote: h h 5 m 10 m 15 m, F mg h h s (60 kg) (9,8 m/s ) ( 15 m)/(5 m) 1,8 10 N. F ha la stessa direzione dello spostamento e verso opposto. 8. Dal teorema lavoro-energia si ha 1 mv W F s F s, F µμn µμmg 0,70 80 kg 9,8 m/s 549 N, s mv 80 kg 4,0 m/s 1, m. F (549 N) Il lavoro compiuto dalle forze d attrito è W 1 mv 1 80 kg 4,0 m s 640 J. 9. Il sistema è conservativo. K + U K + U 1 mv 1 kx x mv k 1,0 kg 1,5 m s (80 N m) 0,17 m 10. Il sistema è conservativo. K + U K + U mgh 1 kx x mgh k 4,0 kg (9,8 m s ) (0,1 m) (300 N m) 16 cm 11. Il sistema è conservativo. mgh mgh + 1 mv mgl 1 1 mv v gl 1 9 m/s 1. E 1 mv E mga + 1 k b a 1 mv mga + 1 k b a k mv mga b a 1,0 kg 10 m s 1,0 kg (9,8 m s ) (0,50 m) 1,5 m 0,50 m 90 N m 19 Zanichelli 016

20 13. Il sistema non è conservativo: la forza di attrito compie un lavoro pari a W " FL 3,0 10 J. Dal bilancio energetico tra la partenza dalla prima collinetta e l arrivo sulla seconda (entrambi a velocità nulla) E E + W " mgh mgh + W " ricaviamo l altezza raggiunta h h + W " mg h FL mg 10 m 30 N 10 m 70 kg 9,8 m/s 9,6 m. 14. F ma da cui a F/m v v 0 + at con v 0 180,0 km/h 50,0 m/s 0 v 0 F m t F mv 0 t a v /t (1500 kg) (50,0 m/s) (50,0 s) s x x 0 v 0 t + 1 at v 0 t 1 1, N W Fs (1500 N) (1, m) 1, J v 0 t t 1 v t 1 (50,0 m/s) (50,0 s) 150,0 m A velocità massima costante l accelerazione è nulla: F "#"$% βv "# mg sin θ 0, P v "# βv "# mg sin θ 0. Risolvendo l equazione di secondo grado: v max mg sinθ β + mg sinθ β + Pβ 100 kg 40 kg/s ( 9,8 m/s ) 1 ( 40 kw ) + 40 kg/s 6,5 m/s. 16. Dalle leggi del moto: F cos 30 F cos 30 v v + a t v + t v m v t; m s v t + 1 a t F cos 30 v t t + 1 F cos 30 m m t v t 1 F cos 30 m t 0 m/s 3,0 s 1 3 N ( 3 ) 3,0 s 56 m. 3,0 kg 0 Zanichelli 016

21 Usando la definizione, il lavoro risulta uguale a W F s Fscos30 F cos30 v f Δt 1 F cos30 ( Δt) m m ( 3 N) ( 3/) 0 s ( 3,0 s) 1 ( 3 N) 3/ ( 3,0 s) ( 3,0 kg) 1,7 10 J. Usando il teorema dell energia cinetica si ottiene, naturalmente, lo stesso risultato: 1 m v f W 1 m v v f 0 v f aδt maδt v f 1 aδt F cos30 Δt v f 1 ( 3 N) ( 3/) 3,0 s m v aδt 1 f aδt F cos30 m Δt 3/ ( 0 m/s) 1 3 N ( 3,0 kg) 3,0 s 1,7 10 J. 17. F μ F con F mg W µμ mgs W K K K 1 mv µμ v gs (100 m s ) (9,8 m s ) (10 m) 0,51 F ma µμ mg ma a µμ g v v µμ gt dove t è il tempo necessario affinché la velocità sia 1/8 di quella iniziale: v 8 v μ gt t 7v 8µμ g 7(10 m s) 8 0,51 (9,8 m s ) 1,8 s 18. A causa della forza di attrito il sistema non è conservativo. Il lavoro della forza di attrito F è y "# W " F sin 30 µμ mg cos 30 y "# sin 30 Dal bilancio energetico E E + W " U K + W " mgy "# 1 mv µμ mg cos 30 y "# sin 30 Semplificando si ricava 5,0 m/s v g 9,8 m/s y "# 0,75 m. cos 30 cos µμ sin ,4 sin 30 1 Zanichelli 016

22 19. 1 kδx 1 mv v Δx k m Il moto è uniformemente accelerato lungo l asse y e rettilineo uniforme lungo l asse x del sistema di riferimento scelto: y h 1 gt x vt t h g x Δx k m h g Δx hk mg 0,10 m (1,0 m) (3,0 N m) (0,1 kg) (9,8 m s ) 5 cm. 0. Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla differenza tra l energia meccanica nel punto in cui l oggetto si trova e l energia meccanica iniziale (160 J). Il grafico è Dal bilancio energetico si ottiene che la variazione dell eventuale energia potenziale U associata alla forza conservativa è U K + W ". Dal momento che K e W " non sono uguali, U non è zero, per cui è presente una forza conservativa. 1. La lunghezza dello scivolo è L π R mgh F π R 1 mv Zanichelli 016

23 Se v 0, mgh F R > 0 m > π 49 N m > (9,8 m s 7,9 kg. ). La forza di attrito dinamico F µμ mg varia con la posizione, da un valore minimo F,"# µμ,"# mg 0,1 1,0 kg 9,8 m/s 0,98 N a un valore massimo F,"# µμ,"# mg 0,3 1,0 kg 9,8 m/s,9 N. Il lavoro compiuto dalla forza di attrito è l area sotto il grafico (con il segno negativo):,9 N + 0,98 N 1,6 m W " 3,1 J. Dal bilancio energetico E E + W " 1 ks 1 mv + W " si ricava la massima compressione s della molla: s k 0,10 m 1 mv + W " 160 N/m 1 1,0 kg,8 m/s + 3,1 J 3. Dalla conservazione dell energia E E si ricava: U + 1 mv U + 1 mv da cui si ottiene la velocità in B: v m U U + v 4,0 kg 0 J 40 J + 6,0 m/s 5,1 m/s. Il sistema non è conservativo e l oggetto arriva in x 8,0 m con velocità nulla; il modulo di F si ricava da un bilancio energetico: E E + W " E F x x F E E U 1 + mv U 0 J + x x x x 1 4,0 kg 6,0 m/s 40 J 4,0 m 13 N. 3 Zanichelli 016

24 4. Gli allungamenti iniziale e finale della molla sono s L L 1 cm e s L L 8 cm e le energie potenziali iniziale e finale sono U 1 ks, U 1 ks. Dal bilancio energetico ricaviamo il lavoro della forza d attrito W " U U e da questo il modulo della forza di attrito F F W 1 " ks 1 ks 1 s s s s k s s 1 s s k s + s 1 10 N/m 0,04 m 10 N. 5. µμ mg ma a µμ g 0 v µμ gδt µμ v gδt W K K µμ mgs 1 mv Sostituendo µμ v /(gδt), si ha v s (3,0 m) 6,0 m s. Δt (1,0 s) 6. Nelle ipotesi date, dalla conservazione dell energia si ricava la velocità v dell uovo nell istante in cui raggiunge il materassino. mgh 1 mv v gh Ipotizzando che la forza frenante esercitata dal materassino sull uovo sia costante, il moto è uniformemente accelerato a v t s 1 at 1 vt 1 9,8 m s (4,0 m),0 10 m. 7. Il sistema è non conservativo e dal teorema lavoro-energia: E E W dove W " è il lavoro fatto dalle forze non conservative; in questo caso la forza d attrito: W " µμmg(cos 0 )s con s che indica lo spostamento del sistema formato dalla scimmietta e dal carrello lungo il piano inclinato. Quindi: mgs (sin 0 ) 1 mv µμmg(cos 0 )s v s g(sin 0 + µμ cos 0 ) 3,0 m s (9,8 m s ) (0,34 + 0,0 0,94) Quindi il carrello con la scimmietta si ferma a un altezza h pari a h s sin 0 30 cm. 0,87 m. 4 Zanichelli 016

25 8. L energia potenziale totale è la somma dell energia elastica e di quella della forza-peso: U " 1 ky + mgy. Applicando la tecnica algebrica del completamento del quadrato si arriva all espressione richiesta: U " 1 ky + mgy 1 k y + mg k y 1 k y + mg mg mg y + k k k 1 mg 1 m g k y + k k. L energia potenziale totale è rappresentata da una parabola. TEST 1. D. B 3. A 4. C 5. A 6. B 7. A 8. E 9. E 10. E 11. B 1. A 13. B 14. C 15. C 16. C 17. A e C 18. C 19. A 0. C 1. C. A 3. E 4. C 5. C 5 Zanichelli 016