Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del 17 giugno 2009 Versione 1

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1 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del 7 giugno 9 Versione ) Nello spazio vettoriale V 3 rispetto ad una base ortonormale positiva si consideri il vettore u = ) a) 3 punti) Determinare tutti i vettori x di V 3 ortogonali ad u aventi norma pari a e formanti un angolo convesso = con il vettore v = ) 4 b) 3 punti) Trovare una base di V 3 contenente i vettori u e v e calcolare le componenti del vettore w = ) rispetto a tale base a) Le componenti dei vettori x =x x x 3 ) richiesti devono verificare le seguenti condizioni: 8 < x + x 3 = x + x = : x + x + x 3 =4 4 da cui si ha: x = ) x = b) Per esempio una base richiesta è B =u v j); le componenti di w rispetto a B sono ) ) Data l applicazione lineare f : R [t]! R 3 [t] tale che: fx +x t+x t )=x x +x +x )t+ x +4x +hx )t +x 3x +x )t 3 a) 3 punti) determinare per ogni h R una base per ker f eimf e stabilire se f è iniettiva o suriettiva; b) punti) posto h = 3 trovare una base per ciascuno dei seguenti sottospazi: f W) imf \ W eimf + W dovew = L + t +3t t 3 t+ t ) a) Si considerino le basi B =tt ) nel dominio e C =tt t 3 ) nel codominio La matrice associata a f rispetto alle basi B e C è A = 4 h 3 C A h R Se h = 3 allora rank A = se h 6= 3 allora rank A = 3 Pertanto si ha: h = 3 allora: ker f = L +t +t ) imf = Lt t + t 3 +t +4t 3t 3 ) pertanto f non è né suriettiva né iniettiva h 6= 3 allora: ker f = {o} imf = Lt t +t 3 +t+4t 3t 3 +ht +t 3 ) pertanto f è iniettiva ma non suriettiva

2 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del settembre 9 ) Nello spazio vettoriale R 3 [x] dei polinomi di grado minore o uguale a 3 a coefficienti reali si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: W = {px) R 3 [x] /p) = p) = } W = L + x +x 3 x x 3 ) W 3 = L + x + x 3 ) a) 4 punti) Trovare una base di W + W + W 3 e stabilire se la somma è diretta b) 4 punti) Decomporre in tutti i modi possibili il polinomio px) =x x 3 nella somma px) =p x)+p x)+p 3 x) dovep x) W p x) W e p 3 x) W 3 Si consideri R 3 [x] riferito alla base B =xx x 3 ) Allora: dimw )= W = L x + x x + x 3 )= ) )) dimw )= W = L + x +x 3 )=L ) ) dimw 3 )= W 3 = L + x + x 3 )=L )) a) La somma W + W + W 3 = R 3 [x] non è diretta in quanto la somma delle dimensioni dei tre sottospazi vettoriali dati è maggiore di 4 b) La decomposizione richiesta è x x 3 = x + x ) t x + x 3 ) t ) + x )+t + x 3 ) + x + x 3 ) = [x +t )x tx 3 ]+[+ t)x + tx 3 ]+[ x x 3 ] t R ) Si consideri l applicazione lineare f : R 3 [x] T R ) T R ) è lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate di ordine con traccia nulla) definita da: ) fa + a x + a x + a 3 x 3 a +a )= +3a 3 a a a +a +3a 3 a a 3a 3 a) 3 punti) Trovare una base per ker f eimf specificare le basi usate); b) 3 punti) determinare f AR ) ) dovear ) è il sottospazio vettoriale delle matrici reali antisimmetriche di ordine a) Siano B =xx x 3 ) una base di R 3 [x] ec = una base di T R ) Si ha: ker f = L x + x 3 3x + x 3 ) b) f AR ) ) =kerf ) imf = L ) )) ) )) 3) Si consideri nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) il piano α : x y + z 4 =

3 a) 3 punti) Determinare le sfere di raggio 6 tangenti al piano α nel punto P = ); b) punti) trovare il luogo descritto dai centri di tutte le sfere tangenti al piano α nel punto P ; c) 3 punti) calcolare il centro e il raggio della circonferenza contenuta nel piano x y + z + = ed in una delle sfere del punto a) a) I centri delle due sfere richieste appartengono alla retta r passante per P e ortogonale al piano α di equazioni: x =+t y = t z = +t t R e hanno distanza pari a 6 da P Si ottengono le due sfere di equazione: Σ :x 6) +y ++ 6) +z + 6) = 36; Σ :x + 6) +y + 6) +z ++ 6) = 36 b) Èlarettar c) La circonferenza data ha equazioni: { x + 6) +y 6) +z ++ 6) = 36 x y + z += Il centro della circonferenza è l intersezione del piano a cui appartiene con la retta r e si ha il punto di coordinate ) il raggio è 6 6 4) Data la forma bilineare simmetrica ϕ: R 3 R 3 R la cui matrice rispetto alla base canonica di R 3 è 3 a b A = a 4 abc R b c a) 3 punti) stabilire per quali valori dei parametri reali a b c gli iperpiani vettoriali x x + x 3 =ex x 3 = sono ortogonali rispetto a ϕ b) 4 punti) Posto a = b =ec = determinare la forma normale della forma quadratica Q associata a ϕ e una base rispetto alla quale Q si scrive in forma normale a) L iperpiano vettoriale x x + x 3 = è generato dai vettori a = ) e b = ); l iperpiano vettoriale x x 3 = è generato dai vettori c = ) e d = ) I due iperpiani vettoriali sono ortogonali rispetto a ϕ se: ) ) A A A = ) A = = ) A =

4 da cui segue a = b=c= 3 b) Gli autovalori della matrice: 3 A = 4 sono λ =3λ =λ 3 = Si tratta pertanto di una forma quadratica positiva Una forma canonica di Q è data rispetto alla base di Q è data rispetto alla base Qy y y 3 )) = 3y +y ) ) Qz z z 3 )) = z + z ) ) 3 )) La forma normale )) ) 4 punti) Dire se il sottoinsieme di R 3 : S = {st ) s t R} può essere l unione di due sottospazi vettoriali W e W di R 3 motivare la risposta) S non è l unione di due sottospazi vettoriali Ovviamente non è unione di due rette vettoriali ma neppure di due piani vettoriali Se così fosse uno dei due piani vettoriali conterrebbe per esempio l elemento ) di S Essendo un sottospazio vettoriale dovrebbe contenere anche l elemento ) che non appartiene ad S

5 b) Posto W = {pt) = + t )+ + 3t t 3 )+ 3 t + t ) 8 3 R} allora f W) si calcola risolvendo il sistema lineare di matrice completa associata: + A B) = B A 3 che ammette soluzioni se e solo se = 3 =dacuisideduceche: imf \ W = L + 3t t 3 ) f W) =L +t +t t ) imf + W = R 3 [t] 3) In R 4 si consideri la forma quadratica: Qx x x 3 x 4 )) = x + x x 3 x 4 a) 3 punti) Si scriva Q in forma normale e si determini una base rispetto alla quale Q assume tale forma b) 4 punti) Si determini il sottospazio vettoriale W? ortogonale rispetto alla forma bilineare ' associata a Q al sottospazio vettoriale W = {x x x 3 x 4 ) R 4 x x 3 = x x 4 =} Si dica se W? e W sono in somma diretta In caso contrario determinare l intersezione di tali sottospazi c) punti) Calcolare l insieme dei vettori isotropi di Q e stabilire con adeguata giustificazione se tale insieme sia o meno un sottospazio vettoriale di R 4 a) La matrice associata a Q rispetto alla base canonica di R 4 è: A = B A Gli autovalori di A sono = di molteplicità 3 e = di molteplicità Si tratta pertanto di una forma quadratica di segnatura 3 ) la cui forma normale è: QX X X 3 X 4 )) = X + X + X 3 X 4 scritta rispetto alla base ortonormale rispetto al prodotto scalare standard di R 4 ): B = ) ) p p p p b) W = L ) )) quindi W? = L ) )) Si ha che: W \ W? = L ))

6 c) L insieme dei vettori isotropi è I = {x x x 3 x 4 ) R 4 x + x x 3 x 4 =} Non si tratta di un sottospazio vettoriale di R 4 perché per esempio la somma dei due vettori ) ) di I non è un vettore appartanente a I 4) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O x y z) sono dati la retta: x + y = r : y z = e il piano : x + y z = a) 3 punti) Determinare le equazioni della retta p proiezione ortogonale di r sul piano b) 3 punti) Scrivere le equazioni della circonferenza del piano tangente alla retta p eaventecentronelpuntoa = ) a) La retta p è data dall intersezione del piano con il piano passante per r e ortogonale a dunque: x + z = p : x + y z = b) La circonferenza richiesta ha centro nel punto A e raggio pari alla distanza di A dalla retta p quindi: x ) + y +z ) = x + y z = ) punti) In R rispetto alla base canonica B = ) )) si considerino i vettori a = ) e b = ) Determinare un prodotto scalare di R rispetto al quale la base a b) sia ortonormale e calcolare la norma del vettore ) rispetto a tale prodotto scalare Sia: a A = b b c abcd R det A 6= la matrice associata al prodotto scalare da determinare Le condizioni di ortonormalità della base B si traducono nelle seguenti equazioni: a b = b c a b a b b c b c = = da cui si ottiene: a A = b b c =

7 La norma al quadrato del vettore ) è =

8 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del 8 luglio 9 Versione ) Dati i seguenti sottospazi vettorali di R 3 W = L 4 h x x Z = R /x x 3 x 3x x 4 =4x + x 4 = 4 a) punti) determinare per ogni valore di h R una base di W; b) 3 punti) posto h = trovare una base per i sottospazi vettoriali Z W\Ze W + Z; c) punti) trovare una base ortogonale di Z? complemento ortogonale di Z rispetto al prodotto scalare standard di R A B =tr t AB)) a) Se h = allora dim W =ew = L Se h 6= b) dim Z = Z = L 4 4 allora dim W =3eW = L 4 dimz \W) = Z\W= L 7 4 dimz + W) = 3 Z + W = L c) Una base ortogonale di Z? è ) Data l applicazione lineare f : R 4! R 4 tale che: fx x x 3 x 4 )=x x +x 3 x 4 x 3 + hx 4 x 3 + kx 4 ) a) 4 punti) stabilire per quali valori di h k R f è diagonalizzabile; b) 3 punti) trovare quando è possibile una base di autovettori a) La matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R 4 è B h k A

9 i cui autovalori sono =e = ciascuno di molteplicità Il rango di A è se e solo se h =k invece per ogni valore di h e k l autospazio relativo all autovalore ha dimensione Pertanto f è semplice se e solo se h =k b) Nel caso in cui f sia semplice una base di autovettori è data da: ) ) ) h +4 h ) 3) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) sono dati le rette r : x y = x z = s : x + y = x z 4= a) punti) Dire se le rette r ed s sono incidenti o parallele o sghembe b) 3 punti) Determinare le equazioni della retta t incidente sia r sia s e parallela all asse x c) 3 punti) Sia il piano contenente la retta r ed il punto A =3 ) Scrivere l equazione della sfera di centro C = ) e tangente al piano a) Le due rette sono sghembe y z = b) t : y + z = c) : x ) + y +z + ) = 3 4 4) punti) Nel piano rispetto al riferimento cartesiano R =O; x y) è data la conica C :4x +4xy+y +x y = Classificare e scrivere in forma canonica C specificando le equazioni del cambiamento di riferimento Trovare rispetto al riferimento R) gli eventuali assi vertici centro e asintoti della conica La conica è una parabola di equazione in forma canonica: Y = 4p X rispetto al cambiamento di riferimento dato da: p x p A B C A A y Y p p 39 4 A Il vertice ha coordinate: 39 4 L asse ha equazione: x + y + 3 = ) punti) In uno spazio vettoriale reale V di dimensione n sono dati una forma bilineare simmetrica ' ed un endomorfismo f tali che: 'fx) y)+'xfy)) = 8 x y V

10 Siano A e B rispettivamente le matrici associate a ' ed a f rispetto ad una base B =v v v n ) qualsiasi) Che proprietà ha la matrice t AB? Cosa si può dire nel caso in cui ' sia un prodotto scalare Euclideo? Siano A la matrice simmetrica di ordine n ad elementi reali associata a ' rispetto alla base B e B la matrice quadrata di ordine n ad elementi reali associata ad f rispetto alla base B Siano X e Y le matrici colonna delle componenti dei vettori x e y rispettivamente date rispetto alla base B La relazione: in notazione matriciale diventa: 'fx) y)+'xfy)) = 8x y V t X t BAY + t XABY = Pertanto la relazione che intercorre tra le matrici A e B è : t BA + AB = Poiché A è s i m m e t r i c a s i h a t B t A = t AB) = AB quindi la matrice t AB è antisimmetrica Se ' è un prodotto scalare e se B è una base ortonormale la matrice A coincide con la matrice unità I quindi B deve essere una matrice antisimmetrica

11 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del settembre 9 ) Nello spazio vettoriale R 3 [x] dei polinomi di grado minore o uguale a 3 a coefficienti reali si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: W = {px) R 3 [x] /p) = p) = } W = L + x +x 3 x x 3 ) W 3 = L + x + x 3 ) a) 4 punti) Trovare una base di W + W + W 3 e stabilire se la somma è diretta b) 4 punti) Decomporre in tutti i modi possibili il polinomio px) =x x 3 nella somma px) =p x)+p x)+p 3 x) dovep x) W p x) W e p 3 x) W 3 Si consideri R 3 [x] riferito alla base B =xx x 3 ) Allora: dimw )= W = L x + x x + x 3 )= ) )) dimw )= W = L + x +x 3 )=L ) ) dimw 3 )= W 3 = L + x + x 3 )=L )) a) La somma W + W + W 3 = R 3 [x] non è diretta in quanto la somma delle dimensioni dei tre sottospazi vettoriali dati è maggiore di 4 b) La decomposizione richiesta è x x 3 = x + x ) t x + x 3 ) t ) + x )+t + x 3 ) + x + x 3 ) = [x +t )x tx 3 ]+[+ t)x + tx 3 ]+[ x x 3 ] t R ) Si consideri l applicazione lineare f : R 3 [x] T R ) T R ) è lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate di ordine con traccia nulla) definita da: ) fa + a x + a x + a 3 x 3 a +a )= +3a 3 a a a +a +3a 3 a a 3a 3 a) 3 punti) Trovare una base per ker f eimf specificare le basi usate); b) 3 punti) determinare f AR ) ) dovear ) è il sottospazio vettoriale delle matrici reali antisimmetriche di ordine a) Siano B =xx x 3 ) una base di R 3 [x] ec = una base di T R ) Si ha: ker f = L x + x 3 3x + x 3 ) b) f AR ) ) =kerf ) imf = L ) )) ) )) 3) Si consideri nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) il piano α : x y + z 4 =

12 a) 3 punti) Determinare le sfere di raggio 6 tangenti al piano α nel punto P = ); b) punti) trovare il luogo descritto dai centri di tutte le sfere tangenti al piano α nel punto P ; c) 3 punti) calcolare il centro e il raggio della circonferenza contenuta nel piano x y + z + = ed in una delle sfere del punto a) a) I centri delle due sfere richieste appartengono alla retta r passante per P e ortogonale al piano α di equazioni: x =+t y = t z = +t t R e hanno distanza pari a 6 da P Si ottengono le due sfere di equazione: Σ :x 6) +y ++ 6) +z + 6) = 36; Σ :x + 6) +y + 6) +z ++ 6) = 36 b) Èlarettar c) La circonferenza data ha equazioni: { x + 6) +y 6) +z ++ 6) = 36 x y + z += Il centro della circonferenza è l intersezione del piano a cui appartiene con la retta r e si ha il punto di coordinate ) il raggio è 6 6 4) Data la forma bilineare simmetrica ϕ: R 3 R 3 R la cui matrice rispetto alla base canonica di R 3 è 3 a b A = a 4 abc R b c a) 3 punti) stabilire per quali valori dei parametri reali a b c gli iperpiani vettoriali x x + x 3 =ex x 3 = sono ortogonali rispetto a ϕ b) 4 punti) Posto a = b =ec = determinare la forma normale della forma quadratica Q associata a ϕ e una base rispetto alla quale Q si scrive in forma normale a) L iperpiano vettoriale x x + x 3 = è generato dai vettori a = ) e b = ); l iperpiano vettoriale x x 3 = è generato dai vettori c = ) e d = ) I due iperpiani vettoriali sono ortogonali rispetto a ϕ se: ) ) A A A = ) A = = ) A =

13 da cui segue a = b=c= 3 b) Gli autovalori della matrice: 3 A = 4 sono λ =3λ =λ 3 = Si tratta pertanto di una forma quadratica positiva Una forma canonica di Q è data rispetto alla base di Q è data rispetto alla base Qy y y 3 )) = 3y +y ) ) Qz z z 3 )) = z + z ) ) 3 )) La forma normale )) ) 4 punti) Dire se il sottoinsieme di R 3 : S = {st ) s t R} può essere l unione di due sottospazi vettoriali W e W di R 3 motivare la risposta) S non è l unione di due sottospazi vettoriali Ovviamente non è unione di due rette vettoriali ma neppure di due piani vettoriali Se così fosse uno dei due piani vettoriali conterrebbe per esempio l elemento ) di S Essendo un sottospazio vettoriale dovrebbe contenere anche l elemento ) che non appartiene ad S

14 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del settembre 9 ) Rispetto ad una base ortonormale positiva B =i j k) sono dati i seguenti vettori nello spazio vettoriale V 3 : u =3 ) v = ) w =h h h ) h R a) punti) Scrivere quando è possibile w come combinazione lineare di u e v; b) 3 punti) trovare le componenti del vettore k rispetto alla base C =u v u ^ v); c) punti) determinare il valore di h in modo tale che il volume con segno del tetraedro generato da u v e w sia uguale al volume del tetraedro generato dai vettori di C a) u v w sono linearmente dipendenti se e solo se h = In questo caso w = u v b) u ^ v = 4i +j +8k k = 4 u 6 v + u ^ v) c) h = 44 ) Siano SR )er [x] rispettivamente gli spazi vettoriali delle matrici simmetriche reali di ordine e dei polinomi di grado minore o uguale a a coe cienti reali Si consideri l applicazione lineare f : SR )! R [x] tale che: f =+x+4x f = x+x f = 3x 6x a) 4 punti) Trovare una base per ker f eimf specificare le basi usate); b) 3 punti) determinare fw) dove W = L 7 a) La matrice associata ad f rispetto alle basi B = SR )ec =xx )dir [x] è A 4 A 4 8 ker f = L imf = L 6 x 4x x+x ) b) fw) =L + x + x ) di 3) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) sono date le rette x + y = x hy = h r : s : h R x + y + z = x z = h

15 a) 3 punti) Studiare al variare di h R la posizione reciproca di r ed s b) punti) Posto h = calcolare la minima distanza tra le rette r ed s c) 3 punti) Posto h = determinare la sfera di centro C = ) tangente al piano che contiene r ed s a) Poiché r è parallela al vettore ) ed s al vettore h h) non esistono valori di h per cui le rette siano parallele Le rette sono incidenti se h = altrimenti sono sghembe b) In questo caso le rette sono sghembe La minima distanza tra di esse è c) In questo caso le rette sono complanari e appartengono al piano y z = La sfera richiesta ha equazione: x +y ) +z ) = 8 p 4) Sia A A a a R la matrice associata alla forma bilineare simmetrica ' : R 3 R 3 base canonica di R 3! R rispetto alla a) punti) Determinare il valore di a in modo che ' sia degenere e calcolare ker ' in questo caso b) 3 punti) Determinare al variare di a R il sottospazio vettoriale W? ortogonale rispetto a ') al sottospazio vettoriale W = {x x x 3 ) R 3 /x x x 3 =} c) punti) Posto a = classificare la forma quadratica Q associata a ' escriverla in forma canonica a) det A = a pertanto ' è degenere se e solo se a = In questo caso ker ' = L )) b) W? = La 3 4 a )); dim W? = per ogni valore di a c) Q è semidefinita positiva una sua forma canonica è QX X X 3 )) = 6X + X ) 4 punti) Dimostrare che ogni matrice antisimmetrica reale di ordine dispari ammette l autovalore = Si tratta di dimostrare che se A è una matrice antisimmetrica di ordine n dispari allora deta) = Ma t A = A quindideta) = ) n deta) = deta) da cui la tesi

16 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del gennaio ) Nello spazio vettoriale V 3 rispetto ad una base ortonormale positiva B =i j k) sono dati i vettori: u =3 ) v = ) w = ) Sia π il piano vettoriale generato da u e v a) 3 punti) Calcolare le componenti del vettore p proiezione ortogonale di w su π e del vettore w simmetricodiw rispetto al piano π; b) punti) costruire una base ortonormale positiva che contenga due vettori paralleli rispettivamente a u v e p a) Il vettore p è dato da: p = w w u v u v u v = mentre il vettore w si ottine come: w =p w = ) ) b) Un base ortonormale positiva del tipo richiesto è B =e e e 3 ) data da: e =versu v) = ) ) e =versp = e 3 = e e 3 = 3 ) 3 3 ) Si consideri l applicazione lineare f : R S R )SR ) è lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche reali di ordine ) definita da: )) ) x x f x + hx = +3x 4 x +x x 3 + kx 4 hk R x 3 x 4 x +x x 3 + kx 4 x + x 3 + x 4 a) 3 punti) Stabilire per quali valori di h k R si ha dim ker f) = ; b) punti) assegnati ad h e k i valori trovati nel punto a) determinare una base per ker f eimf; c) punti) posto h = k = trovare una base per f S R )) dove S R )= {A SR ) / tr A =}

17 a) Siano: una base di R e: B = ) C = ) ) ) ) )) )) una base di SR ) Allora la matrice A associata ad f rispetto alle basi B e C è : h 3 A = k Si ha dim ker f) = se e solo se ranka) = ossia se e solo se h =ek = b) Per h =ek = si ha: e: c) f S R )) = L ker f = L ) )) 3 ) )) imf = L ) ) )) 7 4 3) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) sono dati il piano π : hx y + k = h k R elaretta r : { x y z = 3x y + z = a) punti) Studiare al variare di h k R la posizione reciproca di r ed π b) 3 punti) Determinare le equazioni della circonferenza γ tangente alla retta r nell origine e passante per il punto A ); c) 3 punti) trovare le coordinate del secondo estremo del diametro di γ uscente dall origine a) Se h e per ogni valore reale di k la retta e il piano sono incidenti in un punto Se h =ek = la retta è contenuta nel piano Se h =ek la retta e il piano sono paralleli ma con intersezione vuota

18 b) Le equazioni della circonferenza γ sono: x + y + ) + z ) ) = 3 y +z = c) Il punto richiesto ha coordinate ) 4) Si consideri l endomorfismo f di R 3 [x] spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 3 tale che: f + x )=x +x fx + x 3 )= x 3 fx + x )=+x fx + x 3 )=x x 3 a) punti) Scrivere la matrice A associata ad f rispetto alla base B =xx x 3 ) di R 3 [x] e verificare che è simmetrica; b) 3 punti) determinare una matrice diagonale D associata ad f e una base di R 3 [x] acuid è riferita; c) 3 punti) classificare la forma bilineare simmetrica ϕ definita su R 4 la cui matrice rispetto alla base canonica di R 4 è la matrice A del punto a) e scrivere in forma normale la forma quadratica Q associata a ϕ determinando una base rispetto alla quale Q si scrive in forma normale a) La matrice A associata ad f rispetto alla base B è e si tratta di una matrice simmetrica b) Una matrice diagonale D richiesta è A = D = ed è associata per esempio alla base di autovettori: B =+x x x x 3 )

19 c) La forma bilineare simmetrica ϕ ha segnatura ) pertanto è non degenere e indefinita La forma normale di Q è scritta rispetto alla base: B = ) Qy y y 3 y 4 )) = y + y y 3 y 4 ) ) )) ) a) 3 punti) Sia R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a Dati i sottospazi vettoriali: W = {px) R [x] /p) = p) = } W = {px) R [x] /p3) = } provare che W W = R [x] b) 3 punti) Fissato un prodotto scalare su R [x] da indicarsi esplicitamente determinare il polinomio proiezione ortogonale di px) =+x + x su W a) Èevidenteche W W = {px) R [x] /p) = p) = p3) = } = {} Inoltre W = L 3x+x )ew = Lx 3 3x x )equindidimw )+dimw )= 3=dimR [x] b) Fissato su R [x] il prodotto scalare che rende ortonormale la base B =xx ) il polinomio px) è ortogonale a W pertanto il polinomio richiesto è il polinomio nullo

20 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria - Corsi A e B Prova scritta del febbraio ) Nello spazio vettoriale eucideo R 4 munito del prodotto scalare standard sono dati i sottospazi vettoriali: W = {x x x 3 x 4 ) R 4 /x x 3 x 4 =x + x 4 =} Z = L ) ) ) a) 4 punti) Trovare una base per il complemento ortogonale di ciascuno dei seguenti sottospazi vettoriali: W Z e W + Z; b) 3 punti) stabilire che relazione intercorre tra i sottospazi W + Z) e W Z a) Si ha: W = L ) )) Z = L ) )) W + Z) = L )) b) Dato che W Z = L )) si ottiene: W Z =W + Z) ) Si consideri l applicazione lineare f : R [t] R R [t] è lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a ) definita da: f a + a t + a t ) ) 3a +a = 4a a +a a + a 3a a + a a) 3 punti) determinare una base per ker f eimf specificare le basi usate); ) h b) punti) stabilire per quale valore di h R il vettore B = appartiene ad h imf; c) 3 punti) assegnato ad h il valore trovato nel punto b) stabilire per quale valore di k R il vettore px) =+t + kt appartiene ad f LB)) a) Si ha: ker f = L t + t ) imf = L ) )) 3 b) h = c) Dato che f LB)) = {px) =a + a t + a t /a + a a =} sihache px) =+t + kt sta in f LB)) se k = 3

21 3) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =O; x y z) sono date le rette: { x + y = x =t r : y + z h = s : y =+ht h R z = a) punti) Stabilire per quali valori di h R le due rette sono rispettivamente: i) ortogonali; ii) sghembe; b) 3 punti) assegnato ad h uno dei valori per cui le due rette sono incidenti; scrivere l equazione del piano che le contiene e trovare le coordinate del loro punto comune; c) 3 punti) posto h = scrivere le equazioni della circonferenza di centro C ) tangente alla retta r a) Le due rette sono ortogonali se h = e sono sghembe se h eh b) Se h = il piano che contiene le due rette è x + y = e il punto comune è ) Se h = il piano che contiene le due rette è y + z = e il punto comune è ) c) La circonferenza richiesta sta sul piano x 3y z = che contiene r e C Inoltre è contenuta nella sfera di centro C tangente ad r Sostituendo le equazioni parametriche della retta r nel equazione di una generica sfera di centro C e raggio R si ottiene un equazione di secondo grado Imponendo che il suo discriminante sia nullo si trova R = 7 3 Le equazioni della circonferenza sono: x ) +y ) +z + ) = 7 3 x 3y z = 4) Si consideri la seguente forma quadratica su R 3 : Qx x x 3 )) = x + x + x 3 4x x 3 a) punti) classificare Q scriverla in forma canonica e determinare la sua segnatura; b) 3 punti) scrivere Q in forma normale e trovare una base rispetto a cui Q assume tale forma; c) punti) stabilire se l insieme dei vettori isotropi di Q è un sottospazio vettoriale motivare la risposta) a) La matrice di Q rispetto alla base standard di R 3 è

22 Gli autovalori di A sono: e 3 e quindi una forma canonica di Q è e la sua segnatura è ) Qy y y 3 )) = y +3y y 3 b) La forma normale è QY Y Y 3 )) = Y + Y Y 3 ; la base che permette di scrivere Q in forma normale è 6 ) B = e = ) e = 6 ) e 3 = ) c) Usando la forma normale di Q si vede subito che i vettori a = e +e 3 e b = e +e 3 sono isotropi ma dato che Qa+b) = il vettore a+b non è isotropo Pertanto l insieme dei vettori isotropi non è un sottospazio vettoriale ) 4 punti) Sia A R nn una matrice invertibile tale che A + A = Quanto vale il determinante di A? Provare che A ha autovalore Dare un esempio di una matrice che verifica le condizioni precedenti Dato che A = A edeta si ha: ossia det A = deta )=deta) =det A) = ) n det A =deta La condizione A + A = è equivalente a A + I)A = Moltiplicando a destra per A si ottiene A + I =equindia = I n