Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE

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1 Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE

2 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione di un pino con un cono Se β > α ellisse Se β = 90 circonferenz

3 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Se β < α Iperole Se β = α Prol

4 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Coniche Degeneri Pini pssnti per il vertice

5 Rppresentzione delle CONICHE Generlità Le coniche sono curve del pino venti equzione del tipo f(,y) = 0, dove f(,y) è un polinomio coefficienti reli di secondo grdo nelle vriili e y L equzione generle dell conic è: + y + cy + d + ey + f =0 dove,, c, d, e, f, sono numeri reli e lmeno uno tr,, c, è diverso d zero se - 4c < 0 ELLISSE se - 4c = 0 PARABOLA se - 4c > 0 IPERBOLE

6 L equzione generle: y = + + c ASSE VERTICE FUOCO DIRETTRICE Rppresentzione delle CONICHE Prol = Δ 4 ; Δ 4 1 ; Δ ;

7 Rppresentzione delle CONICHE Prol Esempi: y = y = 4 +

8 Rppresentzione delle CONICHE Circonferenz Equzione generle: + y + + y + c = 0 CENTRO ( 0; y0) = ; RAGGIO 1 r = + c = + 4c Form cnonic: ( - 0 ) + (y - y 0 ) = R Equzione prmetric: = R cost y = R sent

9 Rppresentzione delle CONICHE Circonferenz Esempi: + y -5 = y y 7 =0

10 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse y Form cnonic : + = 1 Equzione ELLISSE con centro diverso dll origine degli ssi: ( ) ( y y = ) 1 Equzione prmetric: = cost y = sent

11 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse Esempi: 5 + y 9 = 1

12 Rppresentzione delle CONICHE Ellisse Esempi: + y y=0 Centro (1,-3) Semissi 11 = = 11

13 Rppresentzione delle CONICHE Iperole L equzione generle: y = 1 sintoti: y = ± Equzione IPERBOLE con centro non nell origine degli ssi: ( ) ( y y 0 0 = ) 1 sintoti y y ( 0) 0 = ±

14 Rppresentzione delle CONICHE Iperole y = 1 3 f ( ) g ( ) p ( ) q ( ) Esempio: =5 e =

15 Rppresentzione delle CONICHE Iperole Esempio: 3 y 6 + 4y 7 = 0

16 Rppresentzione delle CONICHE Iperole IPERBOLE EQUILATERA y = = 1 y = sintoti y = ± Esempio: y = 4

17 Rppresentzione delle CONICHE Iperole IPERBOLE EQUILATERA con sintoti prlleli gli ssi coordinti y = k

18 Rppresentzione delle Qudriche Generlità Un qudric è un superficie di equzione crtesin f(, y, z ) = 0 dove f(,y,z) è un polinomio di grdo nelle vriili,y,z. L equzione nell form generle si può scrivere: y cz dy eyz fz g hy iz m = 0

19 Rppresentzione delle Qudriche Generlità Dt un qudric in form generle, si può dimostrre che esiste un nuovo riferimento O XYZ (rototrslto rispetto Oyz) nel qule l equzione dell qudric ssume un delle due forme cnoniche: 1) X Y Z α + β + γ = δ ) + = α X βy δz

20 Rppresentzione delle Qudriche Generlità 1) X Y Z α + β + γ = δ ) + = α X βy δz α, βγδ,, 0 Se l qudric si dice non degenere e Dll 1) si ottengono: X Y Z 1.1) + + = 1 c X Y Z 1.) + = 1 c X Y Z 1.3) = 1 c ELLISSOIDE IPERBOLOIDE A UNA FALDA IPERBOLOIDE A DUE FALDE

21 Rppresentzione delle Qudriche Generlità 1) X Y Z α + β + γ = δ ) + = α X βy δz α, βγδ,, 0 Se l qudric si dice non degenere e Dll ) si ottengono: X Y.1) + = Z PARABOLOIDE ELLITTICO X Y.) = Z PARABOLOIDE IPERBOLICO o sell

22 Rppresentzione delle Qudriche Ellissoide Superficie dt dll'equzione ridott: + y + z c = 1 I numeri,, c si chimno semissi dell'ellissoide Se intersechimo l'ellissoide con il pino z = h ottenimo + y h = 1 c Si trtt di un ellisse ( punti reli) se h / c < 1, ossi c < h < + c In modo nlogo si rgion per pini del tipo = h ; y = h

23 Rppresentzione delle Qudriche Ellissoide Ellissoide di Rotzione Se due dei semissi sono uguli, l ellissoide è un superficie di rotzione ttorno uno degli ssi. Ad esempio se = l'equzione divent: + = 1 z + y z c y

24 Rppresentzione delle Qudriche Sfer Se = = c = r si ottiene l equzione di un sfer: + y + z = r z y

25 Rppresentzione delle Qudriche Proloide Ellittico Proloide Ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: L intersezione del proloide con i pini = h sono prole con sse prllelo ll sse z,nlogmente con i pini y = h. L intersezione del proloide con i pini z = h sono ellissi. Se = si ottiene un proloide di rotzione di equzione: z = Proloide rotondo + y z = + y

26 Rppresentzione delle Qudriche Proloide rotondo Se = si ottiene un proloide di rotzione di equzione: z = + y L intersezione del proloide con i pini = h sono prole con sse prllelo ll sse z,nlogmente con i pini y = h. L intersezione del proloide con i pini z = h sono cerchi.

27 Rppresentzione delle Qudriche Proloide Rotondo Prolidi del tipo: z = α( + y ) α = α = 1 α = 1/ α = 1/10

28 Rppresentzione delle Qudriche Prolide Iperolico (Proloide sell) Superficie dt dll'equzione ridott: Le intersezioni con i pini = h, y = h sono prole con sse prllelo ll sse z le prime con concvità rivolt verso l lto le seconde con concvità rivolt verso il sso Le intersezioni con i pini z = h sono iperoli h > 0 sse trverso // H < 0 sse trverso // y z = + y

29 Rppresentzione delle Qudriche Cono Cono Ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: + y Le intersezioni con i pini z = h sono degli ellissi. z c z = ± + 1 y = 1 0 Se = Cono Rotondo: Le intersezioni con i pini z = h sono delle circonferenze + y = r

30 Rppresentzione delle Qudriche Iperoloide un fld Superficie dt dll'equzione ridott: + y z c = 1 Le intersezioni con i pini z = h sono degli ellissi. Le intersezioni con i pini = h, y = h sono delle iperoli, queste sono equiltere se: = c per i pini = h = c per i pini y = h = Iperoloide di rotzione un fld Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze + y = r

31 Rppresentzione delle Qudriche Iperoloide due flde Iperoloide due flde y z Superficie dt dll'equzione ridott: + = 1 Le intersezioni con i pini z = h, = h sono iperoli. Le intersezioni con i pini y = h, ellissi: = Iperoloide di rotzione Le intersezioni con i pini y = h sono circonferenze c

32 Rppresentzione delle Qudriche Iperoloide due flde Iperoloide due flde Superficie dt dll'equzione ridott: y + z c = 1 (0,0,c) Le intersezioni con i pini = h, y = h sono iperoli. Le intersezioni con i pini z = h, ellissi, i quli esistono solo per h /c > 1 (0,0,-c) y = Iperoloide di rotzione Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze

33 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Cilindro ellittico Superficie dt dll'equzione ridott: z + y = 1 Le intersezioni con i pini z = h sono degli ellissi. = Cilindro di rivoluzione (Rotondo) Le intersezioni con i pini z = h sono circonferenze + y = r y

34 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Prolico Cilindro Prolico Superficie dt dll'equzione ridott: y =

35 Rppresentzione delle Qudriche Cilindro Prolico y = z c Cilindro Prolico = z c