Incontri Olimpici 2011

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1 Incontri Olimpici 2011 Problemi di geometria Cetraro, 11 ottobre 2011 ppunti redatti da Ercole Suppa Sommario In questo documento sono riportate le soluzioni dei problemi di geometria proposti e risolti da ndrea Fogari. Problema 1. In un triangolo C i piedi delle altezze sono 1, 1, C 1 e i punti medi dei lati 2, 2, C 2 (nell ordine naturale). Si conduca da 2 la perpendicolare a 1 C 1, da 2 la perpendicolare a C 1 1, da C 2 la perpendicolare a 1 1. Dimostrare che le tre rette concorrono. Dimostrazione. Siano 3, 3, C 3 i punti medi dei segmenti H, H, CH rispettivamente. E noto che i punti i, i, C i (i = 1, 2, 3) giacciono sulla circonferenza dei nove punti del triangolo C. Osserviamo altresì che i segmenti 2 3, 2 3, C 2 C 3 sono diametri di detta circonferenza in quanto = = C 3 C 1 C 2 = 90. Pertanto 2 3, 2 3, C 2 C 3 passano per il centro N della circonferenza dei nove punti (figura 1). 1

2 3 1 C 2 C 1 H 2 N 3 C C Figura 1 Per completare la dimostrazione allora è sufficiente dimostrare che C 1 e cicliche. Dimostriamo ad esempio che C 1 : (i) dal quadrilatero ciclico C 1 H 1 abbiamo che 3 1 = 3 C 1 (in quanto 3 è il centro della circonferenza circoscritta ad C 1 H 1 ) e quindi 3 giace sull asse di 1 C 1. (ii) dal quadrilatero ciclico C 1 C 1 abbiamo che 2 1 = 2 C 1 (in quanto 2 è il centro della circonferenza circoscritta ad C 1 C 1 ) e quindi 2 giace sull asse di 1 C 1. Pertanto 2 3 è l asse di 1 C 1 e, di conseguenza, C 1. In modo analogo si prova che C 1 e C 2 C

3 Problema 2. (IMO 2007/2) Sia CD un parallelogramma. Una retta l che passa per interseca le rette CD, C rispettivamente in E, F. Il circocentro di CEF appartiene alla circonferenza che passa per, C, D. Dimostrare che l è la bisettrice dell angolo D. (Hint: costruire la retta di Simson proiettando E sui lati di un triangolo... e fare considerazioni su tre punti che ora sappiamo essere allineati). Dimostrazione. Siano M, P, Q i piedi delle perpendicolari condotte da E su D, CD, C rispettivamente. Poichè E appartiene al circoncerchio di CD i punti M, P, Q sono allineati (appartengono alla retta di Simson di E rispetto a CD). E G Q D F P C M Figura 2 Poichè EF = EC = EG i triangoli CEF e CEG sono isosceli e quindi P, Q sono i punti medi di F C, CG rispettivamente. Essendo CD è un parallelogramma abbiamo DF = F GC, mentre DF = CF G in quanto angoli opposti al vertice. Pertanto i triangoli F D e F GC sono simili, per cui DF C = DF D = CF CG (1) Dalla (1) segue che DP CP = DF + F P CP = 2DF + CF CF = 2C + CG CG = C + CQ CQ = Q CQ (2) 3

4 Poichè P, Q, M sono allineati, per il teorema di Menelao si ha DP P C CQ Q M MD = 1 (3) Dalla (3) segue che M = MD, ossia M è il punto medio di D. Pertanto E = DE, in quanto EM è sia altezza che mediana del triangolo ED. Essendo E = DE, i punti e D hanno la stessa potenza rispetto alla circonferenza (di centro E) circonscritta al triangolo CF G, quindi Da (1) e (4) discende che D CG = C CG = DF F C (4) D DF = F C CG = DF D ossia DF è isoscele sulla base F. D = DF Infine, tenuto conto che CD è un parallelogramma, abbiamo: DF = 180 DF 2 = 180 DC 2 e ciò prova che l è bisettrice dell angolo D. = D 2 4

5 Problema 3. Dati due punti, di una retta r costruire il punto P sulla retta r che minimizza la somma P + P. (Hint: se e sono separati dalla retta, la soluzione è ovvia; altrimenti, in realtà, ci si può ricondurre al caso precedente...!) Dimostrazione. Se e sono separati dalla retta risulta ovviamente che P = r. Supponiamo pertanto che e si trovino dalla stessa parte rispetto alla retta r (figura 3): P' P r Figura 3 ' Sia il simmetrico di rispetto alla retta r. Il punto P che minimizza la somma P + P è il punto di intersezione delle rette r e. Infatti preso un quasiasi punto P r, tenuto conto della disuguaglianza triangolare e del fatto che P = P, abbiamo: P + P = P + P P + P 5

6 Problema 4. Due punti e sono separati da due fiumi, intesi come striscie di piano di larghezza fissata. Si vogliono costruire due ponti (segmenti che attraversano i fiumi perpendicolarmente alle rive) e delle strade rettilinee per collegare a in modo da minimizzare la strada totale. Illustrare una costruzione geometrica per ottenere la posizione di tali ponti. Dimostrazione. Supposto il problema risolto, siano KL ed MN i ponti costruiti perpendicolarmente alle rive dei due fiumi (figura 4). L' N' K L M N Figura 4 Sia L l immagine di mediante una traslazione di vettore KL e sia N l immagine di L mediante una traslazione di vettore MN. Essendo ovviamente: K + KL + LM + MN + N = L + L N + N N + N il percorso KLMN avrà di lunghezza minima se e solo se L N N ha lunghezza minima e questo accade se e solo se i punti N, N, sono allineati. Pertanto la posizione dei ponti può essere ottenuta nel modo seguente: disegnare il punto L, traslato di con un vettore avente direzione perpendicolare al primo fiume e lunghezza uguale alla larghezza del primo fiume; 6

7 disegnare il punto N, traslato di L con un vettore avente direzione perpendicolare al secondo fiume e lunghezza uguale alla larghezza del secondo fiume; determinare il punto N intersezione della retta N con la sponda del secondo fiume, più vicina a ; costruire il ponte MN, perpendicolare alle rive del secondo fiume; determinare il punto L intersezione della retta ML con la sponda del primo fiume, più lontana da ; costruire il ponte LK, perpendicolare alle rive del primo fiume. 7

8 Problema 5. E dato un angolo acuto e un punto al suo interno. Si vogliono costruire due punti, C appartenenti ai due lati dell angolo in modo che il triangolo C abbia perimetro minimo. Dimostrazione. Siano, le riflessioni di rispetto alle semirette OX, OY, rispettivamente. Se XOY < 90 allora O < 2 XOY < 180 e pertanto il segmento interseca OX in un punto 1 ed OY in un punto C 1 (figura 5): '' C Y C 1 O 1 X ' Figura 5 Presi due qualsiasi punti OX, C OY, il perimetro del triangolo C è uguale alla lunghezza della spezzata C. Dunque in questo caso 1 e C 1 sono i punti cercati in quanto il perimetro del triangolo 1 C 1 è uguale alla lunghezza del segmento. Se XOY 90 allora non interseca le semirette OX, OY ed i punti richiesti, C coincidono con il punto O (figura 6). Y C '' O X Figura 6 ' 8

9 Problema 6. Qual è il punto che minimizza la somma delle distanze dai vertici di un quadrilatero convesso? Dimostrazione. Dimostrazione. P D Figura 7 C Se P è un qualsiasi punto del piano, dalla disuguaglianza triangolare segue che: P + P + P C + P D C + C dove l uguaglianza è verificata se e solo se P coincide con il punto di intersezione delle diagonali C e D. 9

10 Problema 7. Siano,, C, O quattro punti del piano. Dimostrare la disuguaglianza: Quando vale l uguaglianza? 2 + C 2 + C 2 3 ( O 2 + O 2 + OC 2) Dimostrazione. Scelta l origine dei vettori in O abbiamo 2 + C 2 + C 2 3 ( O 2 + O 2 + OC 2) 2 + C 2 + ( C ) C C C + 2 C 0 ( + + C ) 2 0 L uguaglianza si ottiene quando OH = + + C = 0, ossia quando O è l ortocentro del triangolo C. Problema 8. Dimostrare che per qualsiasi punto M del piano, la somma delle distanze da M a due vertici di un triangolo equilatero è maggiore o uguale alla distanza dall altro vertice. Dimostrare che, fissato il triangolo equilatero, l uguaglianza vale per i punti M che stanno sulla circonferenza circonscritta. Dimostrazione. Dalla disuguaglianza di Tolomeo abbiamo: MC + C M M C MC + M M Se M appartiene al circoncerchio di C dal teorema di Tolomeo abbiamo: MC + C M = M C MC + M = M 10