Relatività Ristretta

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1 1. L invarianza della velocità della luce 2. L esperimento di Michelson Morley 3. Gli assiomi della teoria della relatività ristretta 4. Relatività della simultaneità 5. La contrazione delle lunghezze 6. La dilatazione dei tempi 7. Il paradosso dei gemelli 8. Relazione fra massa, velocità ed energia 1

2 L invarianza della velocità della luce La luce è un onda elettromagnetica, cioè un onda trasversale che si propaga anche nel vuoto. Dalla teoria di Maxwell dell elettromagnetismo si deduce per via teorica il valore numerico della velocità della luce nel vuoto, che risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia la loro velocità relativa. Quindi la velocità della luce è un invariante, cioè una grandezza fisica che non dipende dal sistema di riferimento in cui è prodotta o misurata. La teoria di Maxwell risulta in apparente disaccordo con la meccanica Newtoniana, in particolare, con le trasformazioni di Galileo. 2

3 Newton Un sistema di riferimento si dice inerziale se in esso sono soddisfatte le tre leggi della dinamica di Newton. Secondo la meccanica classica: dato un sistema di riferimento inerziale, sono inerziali tutti i sistemi di riferimento che si muovono con velocità costante rispetto al sistema dato. Le leggi del moto sono sempre le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale. La velocità di un corpo rispetto ad un altro obbedisce alla legge di composizione delle velocità. Le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo. 3

4 Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo. z z V O O x vt x P x, x y y Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme l uno rispetto all altro con velocità v. 4

5 Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo z z O O x vt x V P x, x Consideriamo un evento qualsiasi che accade in un punto P le cui coordinate spazio-temporali vengono valutate in entrambi i sistemi di riferimento. y y Un osservatore solidale con il primo sistema di riferimento inerziale e un secondo osservatore solidale con il secondo sistema di riferimento inerziale, identificano entrambi lo stesso evento P.

6 y z z O O vt x y Trasformazioni di Galileo Le trasformazioni di Galileo legano i valori di x, y, z, t a x, y, z, t. K K x V P x, x x = x v t y = y z = z t = t Le trasformazioni di Galileo consentono di trasformare le coordinate spazio-temporali di un evento che avviene in un sistema di riferimento inerziale K nelle coordinate di quello stesso evento relative a un sistema di riferimento inerziale K, in moto rettilineo uniforme rispetto a K.

7 L invarianza della velocità della luce Le leggi di Newton sono valide solamente in sistemi di riferimento inerziali, ossia sistemi di riferimento animati da un moto relativo rettilineo ed uniforme. In base alla meccanica la velocità della luce cambia da un sistema di riferimento ad un altro come tutte le altre velocità. La contraddizione tra meccanica ed elettromagnetismo viene ben sottolineata dall esperimento di Michelson e Morley. 7

8 L esperimento di Michelson Morley A metà dell Ottocento gli esperimenti sull interferenza e la diffrazione della luce avevano convinto i fisici della natura ondulatoria della luce, ma non era ancora chiaro di quale onda si trattasse. Si pensò che la luce fosse, come tutte le altre onde, una pertubazione che si propaga in un particolare mezzo materiale, chiamato etere luminifero, che riempie tutto l Universo. 8

9 L esperimento di Michelson Morley L esperimento si basava sulla considerazione che, se il Sole era fermo nello spazio, e dunque costituiva il sistema di riferimento privilegiato a riposo rispetto all etere, la Terra avrebbe dovuto avere, a causa del suo moto di rivoluzione, una velocità costante di 29 km/s nell etere; se viceversa il Sole e l intero sistema solare erano in moto nello spazio, la variazione della direzione del moto orbitale della Terra avrebbe dovuto modificare la velocità apparente della Terra rispetto al Sole, con un contributo positivo in certe stagioni dell anno e negativo in altre. Il risultato dell esperimento di Michelson e Morley fu che la velocità della Terra rispetto all etere era nulla in qualsiasi periodo dell anno, confutando l esistenza del mezzo cosmico ipotizzato. 9

10 L esperimento di Michelson Morley Nella pratica, la realizzazione dell esperimento consisteva nella rilevazione di una differenza di velocità di propagazione della luce fra due raggi luminosi perpendicolari. Infatti, secondo la legge di composizione delle velocità, se un raggio di luce e un osservatore si muovono nello spazio nella stessa direzione, in particolare rispettivamente alle velocità di km/s e 29 km/s, la luce dovrebbe superare l osservatore con una velocità apparente data dalla differenza fra le due; viceversa, se l osservatore si muove in direzione opposta, la velocità apparente della luce dovrebbe essere la somma delle due velocità (analogamente si può dire se il moto relativo dell osservatore e del raggio di luce sono perpendicolari). 10

11 L esperimento di Michelson Morley L esperimento di Michelson e Morley, pur utilizzando un sofisticato strumento di misura un interferometro sensibile a differenze di velocità piccolissime, non riuscì a misurare alcuna discrepanza fra le velocità dei due raggi di luce. L esperimento dimostrò così l indipendenza della velocità della luce dalla direzione di propagazione e il risultato, interpretato come prova dell inesistenza dell etere, fu una conferma del principio di relatività galileiano ed escluse la possibilità di un sistema di riferimento privilegiato. 11

12 Per risolvere la contraddizione tra meccanica ed elettromagnetismo, Einstein propose di rifondare da capo la fisica partendo da due assiomi (o principi). Primo postulato: Le leggi della fisica sono le stesse per TUTTI gli osservatori INERZIALI. Secondo postulato: La velocità della luce c nel vuoto è costante ( m/s) per tutti gli osservatori INERZIALI. 12

13 Considerazioni sui postulati di Einstein Il primo postulato estende a tutte le leggi della fisica il principio di relatività, che nella formulazione di Galileo riguardava solo la meccanica. Il secondo postulato o principio di invarianza di c spiega il risultato negativo dell esperimento di Michelson Morley. Il secondo postulato è coerente con il primo. Se infatti la velocità della luce non fosse una costante universale, le equazioni di Maxwell dell elettromagnetismo non potrebbero avere la stessa forma rispetto a tutti i sistemi di riferimento inerziali. 13

14 I postulati della relatività ristretta conducono alle trasformazioni di Lorentz Dalle trasformazioni di Lorentz si deducono: Una nuova legge di composizione delle velocità; La modificazione del concetto di simultaneità; La contrazione delle lunghezze; La dilatazione dei tempi. Nel 1904 Lorentz modificò le trasformazioni di Galileo per ottenere un insieme di equazioni, note oggi come trasformazioni di Lorentz, rispetto alle quali fossero invarianti le leggi dell elettromagnetismo. 14

15 Trasformazioni di Lorentz K e K sono i sistemi di riferimento inerziali. Nel limite di c tendente ad infinito si riducono alle trasformazioni della meccanica classica. Nuova legge di composizione delle velocità: V V ' v 1 V ' v c 2 15

16 Simultaneità I due eventi sono simultanei se la luce che emettono giunge nello stesso istante in un punto equidistante. 16

17 Relatività della simultaneità I segnali luminosi arrivano simultaneamente per Sig. Smile ma non per il Sig. Smith che nel frattempo si muove verso una delle 17 due sorgenti.

18 La simultaneità è relativa Due eventi che sono simultanei rispetto a un sistema di riferimento non lo sono rispetto a un altro sistema in moto rispetto al primo. Ciò dipende dal fatto che ogni osservatore, indipendentemente dal moto della sorgente luminosa, vede la luce propagarsi nel vuoto sempre alla stessa velocità in tutte le direzioni. 18

19 Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme l uno rispetto all altro con velocità v. Supponiamo per semplicità che gli assi x e x siano sovrapposti e gli assi y-y e z-z paralleli. Consideriamo un asta a riposo z z V nel sistema inerziale O x y z P disposta parallelamente all asse x. y Relatività ristretta - La contrazione delle lunghezze O O y x, x Per l osservatore O non esistono problemi di determinazione simultanea della posizione degli estremi dell asta in quanto questa è ferma rispetto al suo sistema di riferimento. Per l osservatore O l asta è in moto rettilineo ed uniforme con velocità v. 19

20 La contrazione delle lunghezze Se indichiamo la misura della lunghezza dell asta con Δx nel sistema Oxyz e con Δx nel sistema O x y z. La lunghezza dell asta misurata nel sistema di riferimento in cui essa è in quiete si chiama lunghezza propria dell asta. Partendo dalle trasformazioni di Lorentz, si può dimostrare che la lunghezza dell asta Δx, in moto relativo con velocità v rispetto all osservatore O, risulta minore della lunghezza propria Δx. La relazione tra le due lunghezze è: x' x v 2 c Contrazione delle lunghezze 20

21 La contrazione delle lunghezze Δx è la lunghezza dell asta (m) per l osservatore che la vede in movimento. v è la velocità relativa dei due osservatori (m/s). Δx è la lunghezza dell asta (m) per l osservatore che la vede in quiete. 21

22 La dilatazione dei tempi Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme l uno rispetto all altro con velocità di modulo v. Supponiamo per semplicità z z V che gli assi x e x siano P sovrapposti e gli assi y-y e z-z paralleli. O O x, x y y Consideriamo un orologio in quiete nel sistema inerziale O x y z che valuta la durata di un qualsiasi evento. L osservatore O si muove di moto rettilineo uniforme rispetto all osservatore O con velocità di modulo v. 22

23 La dilatazione dei tempi L intervallo di tempo fra due eventi misurato da un osservatore O che vede gli eventi verificarsi in uno stesso punto P si chiama tempo proprio. z z V P O O x, x y y 23

24 La dilatazione dei tempi La relazione tra i due intervalli di tempo è: t' t v 2 c Dilatazione dei tempi 24

25 La dilatazione dei tempi Δt è l intervallo di tempo (s) per chi vede gli eventi in punti diversi. v è la velocità relativa dei due osservatori (m/s). Δt è l intervallo di tempo (s) per chi vede gli eventi in uno stesso punto. L equazione indica come il tempo misurato dall osservatore O sia più lungo rispetto a quello misurato dall osservatore O. Possiamo quindi affermare che ogni orologio in movimento rispetto a noi marcia con un ritmo più lento, cioè per un orologio in movimento il tempo si dilata. 25

26 Paradosso dei gemelli Situazione simmetrica Contraddizione nella teoria della? 26

27 Paradosso dei gemelli Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra rivelare una contraddizione nella teoria della relatività ristretta. L'analisi che porta a tale conclusione è però scorretta: un'analisi corretta mostra che non vi è alcuna contraddizione. Un esperimento mentale, o esperimento concettuale, è un esperimento che non si intende realizzare nella pratica, ma viene solo immaginato: i suoi risultati non vengono, quindi, misurati sulla base di un esperimento fisico in laboratorio, ma calcolati teoricamente applicando le leggi della fisica. 27

28 Paradosso dei gemelli Astronave a velocità v vicina a quella della luce Esempio: v = 0.8 c 1/ = 0.6 Sul sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete 28

29 Paradosso dei gemelli Sistema in quiete: Terra. Dilatazione dei tempi il fratello rimasto sulla Terra è più vecchio del suo gemello Sistema in quiete: astronave. Dilatazione dei tempi + contrazione delle lunghezze il fratello a bordo dell astronave è più vecchio del suo gemello Paradosso? 29

30 Paradosso dei gemelli L astronave non è un sistema di riferimento inerziale Risultato finale Il gemello sulla Terra è più vecchio di quello sull astronave 30

31 m: massa (kg) per l osservatore che vede il corpo a velocità v. m 0 : massa (Kg) per l osservatore che vede il corpo in quiete. m m 0 La relazione della massa relativistica evidenzia che m cresce con il crescere della velocità v del corpo, per tendere a infinito quando v tende alla velocità della luce c. 2 E mc Equivalenza tra massa ed energia 31