m v F 1 I = N.1 Condizione di equilibrio R E = 0 M E = 0 F 1 F A = 0 F 1 = 2 r F 2 r F 1 r F A R = 0 N + F 2 Mg = 0 N = 33.2 N

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1 N. = mr Condizione di equilibrio R E = 0 M E = 0 F F A = 0 F = r RF + r F r F r F A R = 0 N + F Mg = 0 N = 33. N F A r R F F F A = Ma a = F A / M F r F A R = α r α = a / R F A = F 3 R F A μ S N μ S N F A μsmn = N. FA N B a P m v ) moto dopo l urto: traslazione di + rotazione attorno ad un asse passante per del sistema dopo l urto ) sistema isolato conservazione della quantità di moto mv = (m+m) V V mv = m + = 4 m/s M posizione di dopo l urto rispetto al punto P d Ma = m + M M Z = 0 conservazione di Z momento angolare assiale (asse z asse passante per ) mvd mvd = ω ω = = 0.6 rad/s

2 Ml = + M( a d ) + md Ma m M ( a d ) = M a = = M a m + M m + M Ma md = m m + M Ml mma = + = 0. Kg m m + M va ω = m + M l a + m m M v + l a + va dω m 4) = 0 = 0 da m M + l a + m m + M l va va + v = 0 m m + M l m + M a = a = l = 0.5 m m 3m 5)ΔE K = ω + (m+m) v mv = 7.8 J N.3 ) = ASTA + DSCO M O = + MR + M 3 65 = MR = 0.Kg m 3 ) posizione di rispetto ad O MR + M3R y = = R M 3) r J =Δ J 3R = O ω 0 ( + R) = J O a)

3 ω J = 0 3R perché il sistema compia un giro completo, deve giungere con ω = 0 nella posizione in figura b) conservazione dell energia meccanica E K + E P = E PF + E KF b) E K = O ω 0 E P = 0 E KF = 0 E PF = Mg y Oω0 = Mg y O ω 0 = rad/s J = 4.4 N s N.4 v P velocità di m prima dell urto il sistema è isolato si conserva la quantità di moto mv P = (m + M )v 0 v 0 = 4 m / s E P = 0 equazioni del moto con strisciamento dω R F A = α = dt (M + m) a = F A (*) N = ( M+ m ) g F A = μ D N = μ D ( M+ m ) g v P v R F α = A = MR 5 a F = A M + m ω F v 0 velocità subito dopo l urto v () t = v0 + at ω(t) = α t (ω 0 = 0) t* istante in cui inizia il moto di puro rotolamento condizione di puro rotolamento v (t*) = ω (t*) R F v v ( t *) v A R F F = = 0 t * = A t* R M + m v F

4 v 0 = A t * F 5R F + A t * M + m MR M t* = v0 =.0s μd( 7M + 5m) g V F = 3m/s 4) W A = ΔE K = E KF E K E KF = ( M + m) vf + ω F E K = ( M + m) v0 ( ω 0 = 0 ) W A = 8.5 J 5) conservazione dell energia meccanica E K + E P = E PF + E KF considerando che: a) v = 0 nel punto di massima altezza, b) ω F non varia lungo il piano inclinato (momento di mg nullo rispetto a ) E K = ( M + m) vf + ω F E KF = ω F E P = 0 E PF = (M+ m)gh ω + ( M + m) gh = F = ( M + m) vf + ω F E P = 0 h v F h = = 0.46m massima altezza g a sfera ritorna sul piano orizzontale: rotazione in verso orario traslazione verso sinistra il moto non è di puro rotolamento v F ω F N.5 Forze agenti: forza peso, forza elastica, reazione vincolare

5 equazioni del moto di puro rotolamento Δx compressione della molla KΔx mgsenα F A = ma y F A r = α = mr α mg F N = mgcosα A a = αr condizione di puro rotolamento a = 6.7 m/s F A = 3.5 N F A μ S N F A μ S mgcosα μ S 0.4 μ SMN = 0.4 conservazione dell energia meccanica Δx stato iniziale: EP = KΔx E K = 0 stato finale: E PF = mgh E KF mv + ω K Δ x = mv + ω + mgh h = Δx senα ω = v /r K Δ x = v mv + mr r + mgδx senα v =.44 m/s N.6 Ο )Teorema del momento dell impulso m r J = Δ O = 3 d = 0 F = O ω J d = O ω l' asta, per compiere un giro completo, deve ruotare di 80, giungendo nel punto più alto con ω F 0 l impulso minimo J MN deve determinare una velocità angolare ω MN tale che sia ω F = 0 a) Conservazione dell energia meccanica E K = OωMN E P = 0 E KF = 0 E PF = mg mg O ω 6g = MN ω MN = = 7.67rad/s J MN = O ω MN /d = 6.8 N s O J F E x h θ F J E P = 0

6 )l centro di massa descrive una circonferenza di raggio / v = ωmn = 3.83 m/s 3) J A impulso esercitato dall asse J + J A = ΔP P = 0 P F = mv J e v orizzontali J A orizzontale J + JA = mv = mω MN = 0.87N s 4) per determinare la reazione vincolare R si utilizza l equazione del moto del F E = R + mg = ma nella posizione in fig. a) (ω F = 0) R X componente orizzontale di R R Y componente verticale di R R Y + mg = ma Y = ma CENTR R X = ma X = ma T acentr = ωf = 0 R Y = mg E M a α O T = = O in a) M O E 0 = (mg ed R hanno momento nullo rispetto ad O) a T = 0 R X = 0 R = 9.6N N.7 ) posizione di rispetto ad O y mr = m + M O R ) conservazione dell energia meccanica h = y ( cosθ) momento d inerzia rispetto ad O = MR + mr + mr E K = 0, E P = (m + M)gh E KF = ω, E PF = 0 h O θ θ E P = 0

7 ( m + M) gy ( cosθ) = ω 4( m + M) gy ( cosθ) ω = mr + ( m + M) R v = ω y 3) T = π N.8 ( m + M) gy a) M E = 0 conservazione del momento angolare rispetto al centro dell asta urto elastico conservazione dell energia cinetica verso di v concorde col verso di v mv = ω + mv' mv = ω + mv' m ( v v' ) = ω ( v v' ) ω m = ω v v' = ω = 8 rad/s m ω v + v' = v = 3 m /s verso di v opposto a quello scelto b) ΔE K = W A 0 ω = M A θ ω = θ θ = 6.3 rad n = MA π N.9 )Teorema dell impulso e del momento dell impulso J = ΔP r J = Δ J = mv 0 J h = ω 0 J h = mr ω 0 = = 7rad/s 5 m v V

8 v 0 = 7m/s condizione di puro rotolamento v = ωr M E = 0 rispetto ad un qualsiasi punto A del piano orizzontale conservazione del momento angolare rispetto ad A: = F Applicando il teorema di Konig per il calcolo di ω 0 +Mv 0 R = ω+ Mv R ω = rad/s v c) J h = ω = 0 R h = R = 0.m 5 N.0 R E = 0 0 = J MR conservazione della quantità di moto M E = 0 conservazione del momento angolare urto elastico conservazione dell energia cinetica mv = Mv + m 0 mvd = ω mv = ω + Mv Risolvendo il sistema, si ha M m = = =.5Kg d + + M 36 N. a) m AB = 3m BC Y 3 mab + mbc + m = m x = m + m + mab + mbc 0.74 R E = 0 conservazione della quantità di moto asse z = asse passante per M Z = 0 conservazione di Z momento angolare assiale A B C v v m X

9 ZF = 0 Z = 0 m v + m v = (m + m + m AB + m BC ) v m v x m v ( x ) = 0 v = 7.09 m/s v = 3.8 m/s b) ΔE K = (m + m + m AB + m BC )v + m v m v = 5 J N. )Teorema del momento dell impulso r J = Δ J = ω 0 M J = ω 0 = = rad/s ) Teorema del lavoro e dell energia cinetica π ω ω 0 = MA M A =.6 N m 3) Sistema vincolato M Z = 0 conservazione di Z momento angolare assiale ZF = Z Supponiamo che la rotazione dell asta dopo l urto avvenga in verso orario mv ω = + m ωf ω F = 5 rad/s > 0 il verso orario assunto per ω è corretto N.3 α A a) forze agenti conservative conservazione dell energia meccanica E K = 0 E P = mg (R + Rcosα) + MgR E P = 0

10 E KF = ω E PF = MgR = MR + mr MR MR mgr (+ cosα ) = = + ω 3 ω =.0 rad/s a) periodo del pendolo composto T = π ( m + M) gl l = distanza del del sistema da O mr R l = = m + M 4 5 R T = π g M A = M PESO M A = mgr sen(π α) = mgrsenα M A = 0.94 N m N.4 = MR + M( +R) =.49Kg m T = π =.93s M + R g ( ) Μ = Ια d θ kθ Mgsenθ(+R) = dt per piccole oscillazioni Mg( + R) + k d θ + θ = 0 dt R Mg R k ω ( + ) + π = = 0 T'= ω 3 k 6 T'= T + = 4 Mg( + R) 9 k = 0.6 N m/ rad N.5 X

11 = mr nella posizione iniziale E P = k E K = 0 nella posizione di riposo della molla E PF = 0 E KF = mv0 + ω Per la conservazione dell energia k = mv0 + ω (v 0 = ωr) 3 mv 0 = k mv 0 = 0.65 J ω = k mv 0 = 0.3 J a = αr condizione di puro rotolamento kx F A = ma a F A R = α = mr R F A = kx 3 d x kx F A = m dt F A = kx 3 d x k k + x x = 0 dt m 3 m d x k 3m + x = 0 T = π dt 3 m k / N.6 W PESO = ΔE P = (3mgh + mgd) h = ( cosθ0 ) d = ( cosθ 0 ) / h v d θ 0 W PESO = [3mg ( cosθ0 ) + mg( cosθ 0 )]

12 θ θ 0 0 W EAST = Mdθ = kθ dθ = Kθ ΔE K = W PESO + W EAST Energia cinetica subito dopo l urto: E K = ω = M + m = m 3 Energia cinetica nella posizione θ 0 = π/3: E KF = 0 ω = [3mg ( cosθ0 ) + mg( cosθ 0 )] K θ0 ω = 4. rad/ s Durante l urto: M Z = 0 Z = ZF mv = ω mv = m ω v = ω v = 8.4 m/s ΔE K = ω mv =.77J N.7 m = m = M α = 30 m 3 = M Asse z Asse di rotazione, passante per O, al piano della figura Momento d inerzia del sistema rispetto all asse Z Z =Σ i m i = 4M =0.64 Kg m Coordinate di rispetto ad OXY: x = 0 y = miyi i mi i Msenα M = = 4M 4 = 0 m cm m v Y Ο m 3 α m X ) Perché il sistema compia un giro, m 3 deve giungere nel punto più alto con ω F = 0 m 3

13 Conservazione dell energia meccanica ω o = 4Mg = Mg 4 g ω = Urto elastico conservazione dell energia cinetica M Z = 0 Z = costante mv = mv + O ω mv = mv + O ω m (v v )= O ω m (v v )= O ω v v = O ω/ m v + v = ω v = 40.6 m / s 3) F E = 4M a R Y 4Mg = 4M a Y R + 4Mg = 4M a R X = 4M a X Nella posizione di equilibrio stabile a Y = ω accelerazione centripeta 4 a X = α 4 accelerazione tangenziale Essendo M Z = 0 ( momento assiale della forza peso ) M α = Z = 0 a X = 0 Z R X = 0 R = R Y = 4M(g + a Y ) = 49 N