Compito di Meccanica Razionale

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1 Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 30 Gennaio 207 (usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio Si fissi in un piano un sistema di riferimento Oxy. In tale piano si consideri il sistema meccanico formato da un disco di raggio r e da un asta di lunghezza l. Il disco può ruotare intorno al suo centro che è fissato nell origine O del riferimento. L estremo A dell asta è vincolato a scorrere sull asse Ox e l altro estremo B è incernierato in un punto del bordo del disco Usando come coordinata l angolo θ tra il segmento OB e l asse Ox, a) calcolare le coordinate del centro istantaneo di rotazione C 0 dell asta assumendo che l > r; b) trovare la polare fissa (base) e la polare mobile (rulletta) descritte da C 0 nel caso in cui l = r (assumiamo che l estremo A dell asta si trovi nell origine solo quando θ = π/2 + kπ, k Z). Secondo Esercizio In un piano verticale si fissi un sistema di riferimento Oxy, con asse Oy verticale ascendente. Si consideri il sistema meccanico formato da un asta omogenea di massa m e lunghezza l e da un disco omogeneo di massa M e raggio R. L asta è incernierata in O in modo che la distanza tra il suo estremo A ed il punto O sia l/4, il disco può rotolare senza strisciare lungo l asta. Una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla collega il punto A con l asse Ox rimanendo verticale durante il moto. Sul sistema agisce la forza di gravità, di accelerazione g. Si assuma che la cerniera in O sia un vincolo ideale. Chiamiamo P il punto di contatto tra il disco e l asta. Usando come coordinate l ascissa s di P lungo l asta e l angolo α tra l asta e la direzione verticale (vedi figura), a) scrivere la lagrangiana del sistema; b) scrivere la seconda equazione cardinale della dinamica per il disco rispetto al punto P ;

2 c) trovare la componente perpendicolare all asta della forza esercitata dall asta sul disco in funzione di α, α, α. Terzo Esercizio Si consideri il sistema meccanico formato da tre punti materiali P, P 2, P 3 di massa m vincolati a scorrere su una retta orizzontale r. Sui tre punti agiscono delle forze elastiche esercitate da quattro molle uguali, di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Queste molle sono disposte come in figura: due di esse collegano P i a P i+ con i =, 2, le altre due collegano P al punto O e P 3 al punto Q, dove O, Q sono punti fissati della retta r tali che Q O = l O P P2 P3 Q Usando come coordinate lagrangiane le ascisse s, s 2, s 3 dei punti P, P 2, P 3 lungo la retta r, misurate a partire da O,. trovare l unica configurazione di equilibrio del sistema e dimostrare che è stabile; 2. calcolare le frequenze proprie ed i modi normali delle piccole oscillazioni attorno a questa configurazione. 2

3 Soluzioni Primo Esercizio a) Introduciamo il sistema di riferimento Oê ê 2 ê 3, con le direzioni e i versi di ê ed ê 2 dati dagli assi Ox e Oy, rispettivamente, ed ê 3 = ê ê 2. Per il teorema di Chasles il centro di istantanea rotazione C 0 dell asta si trova nell intersezione della retta passante per A e perpendicolare all asse Ox con la retta passante per B ed O. Allora dalle relazioni B O = r cos θê + r sin θê 2, C 0 B = l 2 r 2 sin 2 θ(ê + tan θê 2 ), si ottiene C 0 O = (r cos θ + l 2 r 2 sin 2 θ)ê + (r sin θ + l 2 r 2 sin 2 θ tan θ)ê 2. b) Nel caso in cui l = r sempre dal teorema di Chasles si ha (C 0 O) = 2r cos θê + 2r sin θê 2. () Dette (x C0, y C0 ) le coordinate di C 0 in Oxy, dalla () segue subito che la polare fissa descritta da C 0 è una circonferenza con centro nel punto O e raggio 2r, infatti x 2 C 0 + y 2 C 0 = 4r 2. Per determinare la polare mobile descritta da C 0 introduciamo un sistema di riferimento Bê ê 2ê 3 solidale all asta, con ê 3 ê 3 ed ê parallelo e concorde al vettore A B. Associamo ad ê, ê 2 gli assi Bx, By, rispettivamente; si ha x C 0 y C 0 Queste coordinate soddisfano l equazione = r cos(2θ), = r sin(2θ). (x C 0 ) 2 + (y C 0 ) 2 = r 2. La polare mobile è una circonferenza con centro nel punto B e raggio r. Secondo Esercizio a) Introduciamo il sistema di riferimento Oê ê 2 ê 3, con le direzioni e i versi di ê ed ê 2 dati dagli assi Ox e Oy, rispettivamente, ed ê 3 = ê ê 2. Consideriamo inoltre il sistema di riferimento Oê ê 2ê 3, solidale all asta con ê parallelo e concorde a B O, ed ê 3 ê 3. Scriviamo le quantità seguenti in coordinate nella base {ê, ê 2, ê 3 }. La posizione e la velocità del centro di massa G a dell asta sono x Ga = l 4 e, v Ga = l 4 ω a e = l 4 αe 2, dove ω a = αe 3 è la velocità angolare dell asta. Per il centro di massa G d del disco si ha x Gd = se + Re 2, v Gd = (ṡ R α)e + s αe 2. 3

4 La velocità angolare del disco è la somma della velocità angolare dell asta e della velocità angolare del disco nel riferimento solidale all asta: ω d = ( α ṡ R )e 3. L energia cinetica del sistema meccanico è la somma di quella dell asta (T a ) e del disco (T d ) T = T a + T d, dove con T a = 2 mv2 G a + 2 I aω 2 a = 7 96 ml2 α 2, T d = 2 Mv2 G d + 2 I dω 2 d = 2 M(3 2ṡ R2 α 2 + s 2 α 2 3Rṡ α), I a = ml2 2, I d = MR2. 2 L energia potenziale risulta V = 2 ky2 A + mgy Ga + Mgy Gd La lagrangiana è la funzione = kl2 32 cos2 α mgl cos α + Mg(R sin α s cos α). 4 L(s, α, ṡ, α) = T (s, ṡ, α) V (s, α). b) Scriviamo la seconda equazione cardinale per il disco prendendo come polo il punto P : Ṁ P = N (e) P Mv P v Gd. (2) La posizione e la velocità di P sono Otteniamo dunque x P = se, Il momento delle forze esterne risulta v P = ṡe + s αe 2. v P v Gd = sr α 2 e 3. N (e) P = (x G d x P ) ( Mge 2 ) = MgR cos αe 3. Possiamo calcolare il momento angolare M P dalla formula M P = M Gd + (x Gd x P ) Mv Gd = 3 2 MR(R α ṡ)e 3, dove abbiamo usato la relazione M Gd = I d ω d. In definitiva proiettando l equazione (2) lungo e 3 si ottiene (dopo aver diviso per MR) 3 2 (R α s) = s α2 g cos α. (3) c) Chiamiamo Φ n = Φ n e 2 4

5 la forza esercitata dall asta sul disco nel punto P in direzione perpendicolare all asta. Scriviamo la seconda equazione cardinale per l asta prendendo come polo il punto fisso O: Ṁ O = N (e) O. (4) Il momento risultante delle forze esterne è N (e) O = x P ( Φ n ) + x Ga ( mge 2 ) + x A k(x Q x A ), dove Φ n è la forza esercitata in P dal disco sull asta in direzione perpendicolare all asta, e Si ottiene Inoltre si ha N (e) O x A = l 4 ( sin αe + cos αe 2 ), x Q = l 4 sin αe. = ( sφ n mgl 4 sin α + kl2 6 sin α cos α)e 3. M (e) O = (I a + mx 2 G a )ω a = 7 48 ml2 αe 3. Dopo aver proiettato l equazione (4) lungo e 3 ed esplicitato Φ n si ottiene Φ n = ( 7 ) 4s 2 ml2 α + mgl sin α kl2 4 sin α cos α. Terzo Esercizio a) L energia potenziale del sistema è V (s, s 2, s 3 ) = k 2 [s2 + (s 2 s ) 2 + (s 3 s 2 ) 2 + (l s 3 ) 2 ]. Le configurazioni di equilibrio corrispondono ai punti stazionari di V, cioè alle soluzioni di = = = 0, s s 2 s 3 (5) dove s = k(2s s 2 ), s 2 = k(2s 2 s s 3 ), s 3 = k(2s 3 s 2 l). La soluzione del sistema è ( s, s 2, s 3 ) con s = l 4, s 2 = l 2, s 3 = 3l 4. Per dimostrare che questa configurazione di equilibrio è stabile mostriamo che è un minimo stretto di V ; possiamo poi concludere usando il teorema di Lagrange- Dirichlet. La matrice hessiana di V è data da V = k

6 Si verifica che V è definita positiva (per ogni valore di (s, s 2, s 3 ) poichè V è costante) essendo i tre minori principali di guida di V maggiori di zero (stiamo usando il criterio di Sylvester). Si può fare tale verifica anche osservando che per ogni u = (u, u 2, u 3 ) R 3 vale la formula k u V u = 2(u 2 + u u 2 3) 2u u 2 2u 2 u 3 = u 2 + u (u u 2 ) 2 + (u 2 u 3 ) 2. b) Le frequenze proprie sono ω = λ, ω 2 = λ 2, ω 3 = λ 3, dove λ, λ 2, λ 3 sono le soluzioni dell equazione secolare det(v ( s, s 2, s 3 ) λa( s, s 2, s 3 )) = 0 ed A = m m m è la matrice cinetica. Abbiamo quindi det(v ( s, s 2, s 3 ) λa( s, s 2, s 3 )) = (2k λm)[(2k λm) 2 2k 2 ] = 0, le cui soluzioni sono λ = 2k m, λ 2 = (2 + 2) k m, λ 3 = (2 2) k m. I modi normali di oscillazione sono le tre famiglie di funzioni vettoriali c cos(ω t + φ )u, c 2 cos(ω 2 t + φ 2 )u 2, c 3 cos(ω 3 t + φ 3 )u 3, dove, per j =, 2, 3, c j R +, φ j S ed u j un autovettore di V ( s, s 2, s 3 ) λ j A( s, s 2, s 3 ). Una scelta possibile è u = 0, u 2 = 2, u 3 = 2. 6