PROBABILITA :GRUPPI SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (4/12)(3/11)

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1 PROBABILITA :GRUPPI ESERCIZIO 1: Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e Francesca, viene suddiviso a caso in tre gruppi ugualmente numerosi. Qual è la probabilità che: a) Paolo e Francesca facciano parte entrambi del primo gruppo? SOLUZIONE: CALCOLO COMBINATORIO:

2 PROBABILITA :GRUPPI SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (4/12)(3/11) b) Francesca finisca nel primo gruppo e Paolo no? SOLUZIONE UTILIZZANDO IL CALCOLO COMBINATORIO:

3 PROBABILITA : GRUPPI SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (4/12)(8/11) c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo? SOLUZIONE UTILIZZANDO IL CALCOLO COMBINATORIO:

4 PROBABILITA : GRUPPI c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo? SOLUZIONE UTILIZZANDO LA LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: (12/12)(3/11)

5 PROBABILITA : CROMOSOMI ESERCIZIO 2 Quando le cellule sono esposte a radiazioni, alcuni cromosomi si spezzano in due parti. La parte lunga è quella che contiene il centromero. Se due parti lunghe o due parti corte si riuniscono tra loro la cellula muore. Supponiamo che 10 cromosomi si siano spezzati e le parti così ottenute formino 10 nuove coppie a caso. Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. c) sapresti generalizzare il problema ad n cromosomi?

6 PROBABILITA : CROMOSOMI Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; SOLUZIONE: LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: Per la prima coppia la prima parte va bene comunque, la seconda solo se è quella accoppiata con essa in origine, questo può avvenire con probabilità 1/19; supponendo che per la prima coppia si sia formata la configurazione originale, per una nuova coppia si avrà che la prima parte va bene comunque mentre la seconda va bene solo se è quella accoppiata con essa in origine, essendo rimaste 17 pezzi, questo può avvenire con probabilità 1/17, e così via; poiché l evento richiesto è dato dalla congiunzione di tutti questi eventi, la probabilità cercata è data da (1/19)(1/17)(1/15) (1/5)(1/3)(1) In generale per n coppie: (1/(2n-1))(1/(2n-3))(1/(2n-5)).(1/5)(1/3)(1)

7 PROBABILITA :CROMOSOMI Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; SOLUZIONE:CALCOLO COMBINATORIO:I casi possibili sono 20! (pensando di disporre i 20 pezzi su 20 posti); i casi favorevoli sono: basta pensare, ad esempio, ai soli pezzi lunghi, affinché ce ne sia uno solo per ogni coppia, ci sono 10! Modi di sistemarli fra le 10 coppie e per ogni coppia due scelte (primo pezzo o secondo) quindi in tutto 2 10 casi favorevoli; dunque la probabilità richiesta è data da: ! 20! in generale 2 n n! (2n)!

8 PROBABILITA :CROMOSOMI Calcolare la probabilità che: b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. SOLUZIONE: LEGGE DELLE PROBABILITA COMPOSTE: Per la prima coppia la probabilità che si unisca un pezzo lungo con uno corto è 10/19, per la seconda coppia la probabilità è 9/17, così via per le altre; dunque l evento richiesto ha probabilità: 10! , in generale n! (2n-1) (2n-3) 5 3 1

9 PROBABILITA :CROMOSOMI Calcolare la probabilità che: b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. SOLUZIONE:CALCOLO COMBINATORIO: Come nel caso precedente i casi possibili sono 20! I casi favorevoli comprendono per ogni configurazione anche la permutazione dei pezzi corti (non si ha più il vincolo della coppia originale, basta mettere insieme un lungo e un corto) quindi sono !10! Dunque la probabilità è data da..

10 PROBABILITA :CROMOSOMI !10! 20! = , in generale 2 n n!n! (2n)! = 2 n 2n n

11 Paolo e Francesca: genotipi Francesca è aa, Paolo è AA oppure Aa con uguale probabilità; a) calcola la probabilità che abbiano un figlio Aa; b) se hanno un figlio Aa calcola la probabilità che Paolo sia AA. SOLUZIONE: Indichiamo con F Aa l evento il figlio è Aa e con P AA l evento il padre è AA. a) P(F Aa ) = 1/2 + (1/2) (1/2) = 3/4 b) P(P AA F Aa ) = (1/2) / (3/4) = 2/3

12 Genotipi e malattie Un gene recessivo è responsabile di una certa malattia, sia q la frequenza di questo allele. Calcola la probabilità che da genitori sani nasca un figlio malato. Indichiamo con M l evento figlio malato, indichiamo con GS l evento genitori sani, è richiesta P(M GS) = P(M GS)/P(GS) Calcoliamo P(M GS) = (2pq) 2 (1/4) = (pq) 2 Infatti affinchè il figlio risulti malato entrambi i genitori, essendo sani, devono avere un allele a e cederlo entrambi al figlio.

13 Genotipi e malattie Calcoliamo P(GS) I genitori risultano entrambi sani se: -sono entrambi AA, con probabilità (p 2 ) 2 -un genitore è AA e l altro Aa, con probabilità 2 p 2 2pq -entrambi sono Aa, con probabilità (2pq) 2 P(GS)= (p 2 ) 2 +2 p 2 2pq + (2pq) 2 = p 2 (1+q) 2

14 Genotipi e malattie Siamo ora in grado di calcolare P(M GS) = P(M GS)/P(GS) = (pq) 2 / p 2 (1+q) 2 =[q/(1+q)] 2 Se ad esempio l allele a è presente nella popolazione con probabilità 0.4, si ottiene che la probabilità di avere un figlio malato per la coppia di genitori sani è circa 8%.

15 Malattie e soggetti a rischio Una malattia colpisce una data popolazione in cui i soggetti a rischio sono il 15%. E noto che il tasso di incidenza della malattia sulla popolazione a rischio è 10%, mentre il tasso di incidenza sulla popolazione non a rischio è 0.5%. a) Calcolare l incidenza della malattia sull intera popolazione, vale a dire la probabilità che un individuo scelto a caso abbia tale malattia. b) Tra tutti i malati, qual è la frequenza dei soggetti a rischio? c) E tra i sani?

16 Malattie e soggetti a rischio a) Calcolare l incidenza della malattia sull intera popolazione, vale a dire la probabilità che un individuo scelto a caso abbia tale malattia. SOLUZIONE:Indichiamo con M essere affetti dalla malattia, con R appartenere alla categoria a rischio, si ha P(M)= = b) Tra tutti i malati, qual è la frequenza dei soggetti a rischio? SOLUZIONE: è richiesta P(R M), dunque P(R M)=( )/

17 Malattie e soggetti a rischio c) E tra i sani? SOLUZIONE: è richiesta P(R M), dunque P(R M)=( )/( ) 0.015

18 Esercizio: ratti Un ratto di sesso maschile può essere con uguale probabilità, o doppiamente dominante (AA) o eterozigote (Aa). Il ratto di sesso maschile è accoppiato con un ratto di sesso femminile doppiamente recessivo (aa). a) Supponiamo che tutti e tre i rappresentanti della prole presentino la caratteristica dominante. Qual è la probabilità che il ratto di sesso maschile sia doppiamente dominante? b) Se uno dei figli non avesse presentato la caratteristica dominante, quale sarebbe stata la probabilità che il ratto di sesso maschile fosse doppiamente dominante?

19 Esercizio: ratti SOLUZIONE: Indichiamo con 3FD l evento i tre figli presentano tutti la caratteristica dominante, si ha P(3FD ) = 1/2 + 1/2(1/2)3 = 9/16 Indichiamo con P AA l evento il padre è AA ; è richiesta la probabilità condizionale P(P AA 3FD) = (1/2) / (9/16) = 8/9 b) se uno dei figli non avesse presentato la caratteristica dominante, il padre sarebbe stato sicuramente Aa e quindi P(P AA )=0