LOGICA FUZZY, I LOGICA DI GÖDEL
|
|
- Eduardo Spinelli
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LOICA FUZZY, I LOICA DI ÖDEL SINTASSI, SEMANTICA POLIVALENTE, COMPLETEZZA VINCENZO MARRA 1. Sintassi Si consideri nuovamente l alfabeto A = {(, ), X,, $,,,,, } impiegato per la logica proposizionale classica, e sia A l insieme delle stringhe su A. L insieme delle formule (ben formate) della logica di ödel è definito esattamente come nel caso classico, e parimenti denotato Form. Come nel caso classico, si scrive come abbreviazione di ( β) (( β) (β )). Inoltre, si omettono spesso dalle formule le parentesi non necessarie: ad esempio, in luogo di ( β) si scrive β. A rigore, ciò richiede che si fissino appropriate convenzioni sulle priorità dei connettivi logici, che non enunceremo esplicitamente. Si ricordi che le stringhe che compaiono nella condizione (1) della definizione di Form, cioè quelle della forma X }{{} $ Form n volte per n N, sono dette variabili proposizionali, o formule atomiche, o semplicemente variabili. L insieme delle variabili è denotato da Var. Come si è visto, si usa abbreviare X }{{} $ n volte con X n, per n N. Evidentemente continua a valere la leggibilità univoca delle formule. Si continuerà a indicare con Var () l insieme delle variabili di una formula Form, e con (X 1,..., X n ), per n N, una formula le cui variabili siano un sottoinsieme di {X 1,..., X n }. 2. Semantica polivalente Nella logica proposizionale classica, l insieme dei valori di verità è {0, 1}. La semantica della logica di ödel, invece, si fonda sull insieme di valori di verità [0, 1] R, cioè sull intervallo dei numeri reali compresi fra 0 (detto il falso, o il falso assoluto) e 1 (detto il vero, o il vero assoluto) Date: 13 novembre
2 2 italianv. MARRA Definizione (Assegnamento). Un assegnamento atomico nella logica di ödel è una qualunque funzione µ 0 : Var [0, 1]. Un assegnamento (o una interpretazione) nella logica di ödel è una funzione µ: Form [0, 1] che estende un assegnamento atomico µ 0 : Form {0, 1}, e soddisfa le condizioni seguenti per ogni, β Form. (1) µ( ) = 0 e µ( ) = 1. (2) µ( ) = { 1, se µ() = 0; 0, se µ() > 0. (3) µ( β) = min (µ(), µ(β)). (4) µ( β) = max (µ(), µ(β)). (5) µ( β) = { 1, se µ() µ(β); µ(β), altrimenti. In questa definizione, min: [0, 1] 2 [0, 1] e max: [0, 1] 2 [0, 1] sono gli operatori di massimo e minimo, rispettivamente. Come nel caso classico, continua a valere la estendibilità di un qualunque assegnamento atomico a esattamente un assegnamento µ: Form [0, 1]. Anche la logica di ödel, dunque, soddisfa il principio di vero-funzionalità: il valore di µ((x 1,..., X n )) dipende solo da µ(x i ), i {1,..., n}. Più in generale, µ() dipende solo dal valore che µ assegna alle sottoformule di. Esercizio. Sia µ un assegnamento che attribuisce solo i valori 0 e 1 (cioè, valori booleani o classici o crisp) alle formule e β. Si dimostri che la semantica della logica di ödel data dalla definizione precedente coincide con la semantica classica per le formule,,, β, β, β. Esercizio. Siano e β due formule. (i) Si dimostri che µ( ) = µ( ) per qualunque assegnamento µ. Ne segue che nella logica di ödel (e, usando l esercizio precedente, anche nella logica classica) la negazione è (semanticamente) definibile dalla negazione e dal falsum. (ii) Si dimostri anche che µ( β) = 1 se e solo se µ() = µ(β). Se invece µ( β) < 1, vale necessariamente µ( β) = 0? Esercizio Facoltativo (Residuazione). Si dimostri che l identità µ( β) = max {z [0, 1] min (z, µ()) µ(β)} vale per tutte le formule, β. Nelle logiche fuzzy basate sull insieme di valori di verità [0, 1], quando la semantica della congiunzione e quella della implicazione soddisfano questa identità si dice che l implicazione è ottenuta dalla congiunzione per residuazione. (Nota bene: ciò non significa però che sia definibile da nello stesso senso in cui, nella logica di ödel, è definibile da e.) In questo corso
3 italianloica FUZZY, I 3 non tratteremo la residuazione nella sua generalità. Per una trattazione completa si veda il libro di testo di Hájek. È istruttivo confrontare la definizione seguente con la sua controparte classica. Definizione (Verità, Non verità e Falsità). Sia Form, e sia µ: Form [0, 1] un assegnamento. La terminologia che segue si riferisce alla logica di ödel. Si dice che è vera secondo µ, o anche vera nell interpretazione µ, o che µ è un modello di, se µ() = 1; altrimenti, si dice che è non vera secondo µ, o anche non vera nell interpretazione µ. In particolare, si dice che è falsa secondo µ, o anche falsa nell interpretazione µ, se µ() = 0. Si dice che è una tautologia se è vera secondo tutti i possibili assegnamenti µ: Form [0, 1]. Si dice che è una contraddizione se è falsa secondo tutti i possibili assegnamenti µ: Form [0, 1]. Si dice che è soddisfacibile se è vera secondo almeno un assegnamento µ: Form [0, 1], ossia se ha un modello. Infine, si dice che è refutabile, o che ha un contromodello, se è non vera secondo almeno un assegnamento µ: Form [0, 1] (nel qual caso µ è il contromodello di ). Notazione. Si usa la notazione seguente. µ = µ = = = µ è un modello di µ è un contromodello di è una tautologia è refutabile In questa tabella, la lettera indica che la logica coinvolta è la logica di ödel. Si noti che non introduciamo una terminologia o una notazione specifica per indicare che una certa formula è falsa in qualche modello, o in tutti i modelli. Le prime differenze fra la semantica della logica classica e quella della logica di ödel si possono apprezzare riesaminando le tradizionali leggi logiche viste nella prima dispensa alla luce della definizione precedente. Esercizio. Stabilire quali delle formule seguenti sono tautologie della logica di ödel per ogni scelta di, β Form. (1) (Terzo Escluso) (2) ( ) (Non Contraddizione) (3) (Legge della Doppia Negazione) (4) ( β) β (Leggi di De Morgan, I ) (5) ( β) β (Leggi di De Morgan, II ) (6) β (Ex Falso Quodlibet) (7) ( β) (β ) (Prelinearità) Suggerimento. Il Principio del Terzo Escluso e la Legge della Doppia Negazione non sono tautologie, le altre formule sì (per ogni e β). Si noti che la Legge della Doppia Negazione è la congiunzione di con : la prima formula è una tautologia della logica di ödel (per ogni ), la seconda no. Si è visto poc anzi che la semantica della logica di ödel si riduce a quella classica per valori booleani delle variabili. L esercizio precedente, d altronde, mostra che vi sono alcune tautologie della logica classica che non sono tautologie della logica di ödel. Riassumendo:
4 4 italianv. MARRA Proposizione. Se è una tautologia della logica di ödel, allora è una tautologia della logica classica, ma il viceversa non vale. 3. Assiomi e regole d inferenza Come nel caso classico, siamo interessati a un meccanismo puramente sintattico che permetta di isolare le tautologie della logica di ödel dalle altre formule ben formate. A tale scopo, diamo alcune definizioni. Definizione (Assiomi della logica di ödel). Date formule arbitrarie, β, γ Form, si considerino le formule seguenti. (A1) (β ) (A2) ( β) (( (β γ)) ( γ)) (A3) (β ( β)) (A4) ( β) (A5) ( β) β (A6) ( β) (A7) β ( β) (A8) ( γ) ((β γ) (( β) γ)) (A9) ( β) (( β) ) (A10) ( β) (A12). L insieme Axiom Form costituito dalle formule (A1) (A10) e (A12) al variare di, β, γ Form è detto insieme degli assiomi della logica di ödel. Il sistema di assiomi Axiom è ottenuto dal sistema di assiomi Axiom per la logica classica eliminando l assioma (A11):. Si è visto poc anzi in un esercizio che (A11) non è una tautologia della logica di ödel, e quindi non può certo essere incluso fra gli assiomi di questa logica: per ottenere il Teorema di Completezza, è infatti necessario (seppur non sufficiente) che tutti gli assiomi siano tautologie. L unica regola d inferenza della logica di ödel coincide con la regola d inferenza usata per la logica classica: Definizione (Modus Ponens). Siano, β Form. Si dice che la formula γ Form è deducibile da e β (tramite modus ponens) se = (β γ). Anche la definizione di formula dimostrabile ricalca il caso classico: Definizione (Dimostrabilità). Una formula Form è dimostrabile nella logica di ödel, o è deducibile nella logica di ödel, o è conseguenza sintattica degli assiomi della logica di ödel, se esiste una successione finita di formule 1,..., n, per un n N, tale che n =, e per ogni i {1,..., n} valga una delle condizioni seguenti. i Axiom. Esistono indici j, k {1,..., n} con j, k i tali che i sia deducibile da j e k per modus ponens. Una tale successione di formule è una dimostrazione (formale) di.
5 italianloica FUZZY, I 5 Notazione. Si usa la notazione seguente. è dimostrabile non è dimostrabile Come sopra: la lettera indica che la logica coinvolta è la logica di ödel. Proposizione. Ogni formula dimostrabile nella logica di ödel è anche dimostrabile nella logica proposizionale classica. Dimostrazione. Basta notare che Axiom Axiom, e applicare la definizione di formula deducibile. Commento. In analogia con la proposizione enunciata alla fine della sezione precedente, verrebbe da aggiungere all enunciato qui sopra che il viceversa non vale. Sebbene, in effetti, il viceversa non valga esiste una formula tale che ma dimostrarlo non è semplicissimo. Si noti che questo fatto è comunque una conseguenza immediata del Teorema di Completezza, che adesso enunceremo. Come nel caso classico, il fatto di massima importanza logica intorno alle nozioni introdotte sopra è il seguente. Teorema (Teorema di Completezza della logica di ödel). Per ogni Form si ha che se e solo se =. Detto in parole, nella logica di ödel le formule deducibili coincidono con le tautologie. Il Teorema di Completezza asserisce l equivalenza fra una nozione sintattica (la deducibilità) e una nozione semantica (la tautologicità). Non ne daremo la dimostrazione, che per risultare agevole richiede tecniche di algebra universale non trattate in questo corso. Esercizio. Dimostrare che tutti gli assiomi della logica di ödel sono tautologie. Dimostrare inoltre che se una formula γ è dedotta per modus ponens dalle formule e β, e se sia che β sono tautologie della logica di ödel, allora anche γ è una tautologia della logica di ödel. Concludere che, per ogni Form, implica =. Questa parte del Teorema di Completezza, che delle due è la più facile, è spesso enunciata come un risultato a sè, il Teorema di Correttezza (o di Validità). Esso ammonta semplicemente a dire che (i) li assiomi sono tautologie, e (ii) le regole di inferenza (nel nostro caso, il modus ponens) preservano la tautologicità delle formule. Riferimenti bibliografici [1] P. Hájek, The metamathematics of fuzzy logic, Kluwer, (V. Marra) Dipartimento di Informatica e Comunicazione, Università degli Studi di Milano, via Comelico, 39-41, I Milan, Italy address: marra@dico.unimi.it
LOGICA FUZZY, I LOGICA PROPOSIZIONALE CLASSICA VINCENZO MARRA
LOGICA FUZZY, I LOGICA PROPOSIZIONALE CLASSICA VINCENZO MARRA 1. Sintassi L insieme dei numeri naturali è N = 1, 2,...}. Si consideri l alfabeto A = (, ), X,, $,,,,, }, e sia A l insieme delle stringhe
DettagliLogica proposizionale
Logica proposizionale Proposizione: frase compiuta che è sempre o vera o falsa. Connettivi Posti in ordine di precedenza: not, and, or, implica, doppia implicazione Sintassi Le proposizioni sono costituite
DettagliLogica: materiale didattico
Logica: materiale didattico M. Cialdea Mayer. Logica (dispense): http://cialdea.dia.uniroma3.it/teaching/logica/materiale/dispense-logica.pdf Logica dei Predicati (Logica per l Informatica) 01: Logica
DettagliLogica proposizionale
Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 Logica proposizionale Stefano Ferrari UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI TECNOLOGIE DELL INFORMAZIONE Stefano Ferrari Università degli
DettagliFondamenti di Informatica 2
Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 Corso Fondamenti di Informatica 2 Marco Schaerf, 2009-2010 Linguaggi e Complessità : Lezione 1 1 Logica proposizionale Linguaggio matematico
DettagliLuca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1
Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale: calcolo simbolico
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale: calcolo simbolico Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - 1 Parte 2 Calcolo logico Assiomi Derivazioni Derivazioni e conseguenza logica Completezza Logica
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI LA SAPIENZA CORSO DI STUDI IN INFORMATICA ESERCITAZIONI AL CORSO DI LOGICA MATEMATICA LOGICA PROPOSIZIONALE TAVOLE DI VERITÀ, COLETEZZA VERO-FUNZIONALE Esercizio 1. Calcola le tavole
DettagliLOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)
LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 4 Sommario. Dimostriamo il Teorema di Completezza per il Calcolo dei Predicati del I ordine. 1. Teorema di Completezza Dimostriamo il Teorema
DettagliSistemi Deduttivi. Marco Piastra. Intelligenza Artificiale I. Intelligenza Artificiale I - A.A Sistemi Deduttivi[1]
Intelligenza Artificiale I Sistemi Deduttivi Marco Piastra Intelligenza Artificiale I - A.A. 2010- Sistemi Deduttivi[1] Calcolo simbolico? Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi
DettagliCALCOLO PROPOSIZIONALE
CALCOLO PROPOSIZIONALE UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA (da un test d ingresso) Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche
DettagliLogica per la Programmazione
Logica del Primo Ordine: Motivazioni, Sintassi e Interpretazioni Logica per la Programmazione Lezione 8 Modelli, Formule Valide, Conseguenza Logica Proof Systems Regole di inferenza per Calcolo Proposizionale
DettagliIntroduzione alla logica proposizionale
Introduzione alla logica proposizionale Francesco Paoli Dispense per gli studenti March 6, 2013 1 Linguaggi proposizionali Nel presente modulo studieremo la logica proposizionale classica. In generale,
DettagliIntelligenza Artificiale. Breve introduzione alla logica classica (Parte 2)
Intelligenza Artificiale Breve introduzione alla logica classica (Parte 2) Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - Introduzione alla logica formale Parte. Preambolo: algebra di Boole, proposizioni, conseguenza
DettagliLogica Proposizionale
Intelligenza rtificiale I Logica Proposizionale Introduzione Marco Piastra Intelligenza rtificiale I -.. 28-29 29 Introduzione al corso ] lgebre di Boole Definizione Una collezione di oggetti X su cui
DettagliRagionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali
Richiami di logica e deduzione proposizionale Ragionamento Automatico Richiami di tableaux proposizionali (L. Carlucci Aiello & F. Pirri: SLL, Cap. 5) La logica proposizionale I tableau proposizionali
DettagliIntroduzione ad alcuni sistemi di logica modale
Introduzione ad alcuni sistemi di logica modale Laura Porro 16 maggio 2008 1 Il calcolo proposizionale Prendiamo come primitivi i simboli del Calcolo Proposizionale (PC) tradizionale a due valori 1 : un
DettagliEsercitazioni per il corso di Logica Matematica
Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 02 marzo 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano risultare
DettagliLogica proposizionale
Definire un linguaggio formale Logica proposizionale Sandro Zucchi 2013-14 Definiamo un linguaggio formale LP (che appartiene a una classe di linguaggi detti linguaggi della logica proposizionale) Per
DettagliLOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)
LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 3 Sommario. Introduciamo il Calcolo dei Predicati del I ordine e ne dimostriamo le proprietà fondamentali. Discutiamo il trattamento dell identità
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 4 Dimostrazione di Implicazioni Tautologiche Principio di sostituzione per l implicazione Occorrenze positive e negative Altre tecniche di dimostrazione Forme Normali
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliP : gli iscritti all università di Bari sono più di 1000
BREVE CENNO DI LOGICA CLASSICA La logica può essere definita come la scienza che studia il ragionamento deduttivo, ovvero le condizioni in base alle quali un ragionamento risulta corretto e vero. Un ragionamento
DettagliEsercitazioni per il corso di Logica Matematica
Esercitazioni per il corso di Logica Matematica Luca Motto Ros 27 febbraio 2005 Nota importante. Queste pagine contengono appunti personali dell esercitatore e sono messe a disposizione nel caso possano
DettagliAgenti Basati su Logica
Agenti Basati su Logica Corso di Intelligenza Artificiale, a.a. 2017-2018 Prof. Francesco Trovò 09/04/2018 Agenti basati sulla logica Generico agente logico Il mondo del Wumpus Logica proposizionale Inferenza
DettagliNOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI.
NOZIONI DI LOGICA PROPOSIZIONI. Una proposizione è un affermazione che è vera o falsa, ma non può essere contemporaneamente vera e falsa. ESEMPI Sono proposizioni : 7 è maggiore di 2 Londra è la capitale
DettagliSemantica proposizionale. Unit 2, Lez 3 e 4 Corso di Logica
Semantica proposizionale Unit 2, Lez 3 e 4 Corso di Logica Sommario Semantica dei connettivi Costruzione delle tavole di verità Tautologie, contraddizioni e contingenze Semantica delle forme argomentative
DettagliLOGICA DEL PRIMO ORDINE: PROOF SYSTEM. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini
LOGICA DEL PRIMO ORDINE: PROOF SYSTEM Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini LOGICA DEL PRIMO ORDINE: RIASSUNTO Sintassi: grammatica libera da contesto (BNF), parametrica rispetto
DettagliLogica per la Programmazione
Logica del Primo Ordine: Motivazioni, Sintassi e Interpretazioni Logica per la Programmazione Lezione 7 Formule Valide, Conseguenza Logica Proof System per la Logica del Primo Ordine Leggi per i Quantificatori
DettagliLogica per la Programmazione
Logica del Primo Ordine: Motivazioni, Sintassi e Interpretazioni Logica per la Programmazione Lezione 1 Calcolo Proposizionale: sintassi e semantica Tautologie Esempi di Formalizzazione di Enunciati pag.
DettagliRELAZIONI TRA SINTASSI E SEMANTICA
RELAZIONI TRA SINTASSI E SEMANTICA INTERPRETAZIONI E MODELLI Sia Γ un insieme di enunciati dichiarativi (asserzioni che hanno valore T o F) Una intepretazione assegna un significato ad ogni componente
DettagliLogica: nozioni di base
Fondamenti di Informatica Sistemi di Elaborazione delle Informazioni Informatica Applicata Logica: nozioni di base Antonella Poggi Anno Accademico 2012-2013 DIPARTIMENTO DI SCIENZE DOCUMENTARIE LINGUISTICO
DettagliC1: L C1 C2: L C2 C: C1 C2
Abbiamo visto Gli agenti logici applicano inferenze a una base di conoscenza per derivare nuove informazioni. Concetti base della logica: sintassi: struttura formale delle sentenze semantica: verita` di
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 3 Dimostrazione di Tautologie e Sintassi del Calcolo osizionale Antonio, Corrado e Bruno... formalmente Tautologie: dimostrazioni e controesempi Sintassi del Calcolo
DettagliRELAZIONI TRA SINTASSI E SEMANTICA
RELAZIONI TRA SINTASSI E SEMANTICA INTERPRETAZIONI E MODELLI Sia un insieme di enunciati dichiarativi (asserzioni che hanno valore T o F) Una intepretazione assegna un significato ad ogni componente degli
DettagliLOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA
LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA A.A. 10/11, SETTIMANA N. 1 Sommario. Introduciamo il linguaggio e la sintassi e la semantica della Logica del I Ordine. Introduciamo i concetti di teoria, teoria completa,
DettagliCALCOLO PROPOSIZIONALE. Corso di Logica per la Programmazione Andrea Corradini
CALCOLO PROPOSIZIONALE Corso di Logica per la Programmazione Andrea Corradini andrea@di.unipi.it UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA (da un test d ingresso) Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti
DettagliErrata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico
Errata corrige del libro Introduzione alla logica e al linguaggio matematico 28 gennaio 2009 Capitolo 1 Pag. 7, Definizione 6. Il complemento di un sottoinsieme A di I è il sottoinsieme A = {x I : x /
DettagliProposizioni e verità
Proposizioni e verità Claudia Casadio Logica e Psicologia del Pensiero Laurea Triennale - Parte Istituzionale A.A. 2007-08 Contents 1 Proposizione.......................................... 3 2 Verità...............................................
DettagliMETODI MATEMATICI PER L INFORMATICA
METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA ANNO ACCADEMICO 2011/2012 Sommario. Sintassi e semantica della Logica dei predicati. Proprietà fondamentali dei quantificatori. Strutture, soddisfacibilità e verità
DettagliFondamenti di Informatica 2, Linguaggi e Complessità : Logica I Parte Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela
Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Logica I Parte Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela Fondamenti di Informatica 2: Logica Indice degli argomenti Introduzione: Motivazioni, Prove,
DettagliCenni di logica e calcolo proposizionale
Cenni di logica e calcolo proposizionale Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Bari (sede Brindisi) Analisi Matematica S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 1 / 10 Proposizioni
Dettagli1 Richiami di logica matematica
Geometria e Topologia I 2006-mar-05 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica proposizionale classica (Parte 2)
Intelligenza Artificiale Logica proposizionale classica (Parte 2) Marco Piastra Logica formale (Parte 2) - Introduzione alla logica formale Parte. Preambolo: algebra di Boole, proposizioni, conseguenza
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 2 Dimostrazione di Tautologie Tabelle di Verità Dimostrazioni per sostituzione Leggi del Calcolo Proposizionale A. Corradini e F.Levi Dip.to Informatica Logica per
DettagliIntelligenza Artificiale I
Intelligenza Artificiale I Logica formale Calcolo simbolico Marco Piastra Logica formale - Calcolo simbolico - 1 Conseguenza, decidibilità Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 6 Logica del Primo Ordine Motivazioni Sintassi Interpretazioni Formalizzazione pag. 1 Limiti del Calcolo Proposizionale Nella formalizzazione di enunciati dichiarativi,
DettagliCALCOLO PROPOSIZIONALE: CENNI
CALCOLO PROPOSIZIONALE: CENNI Francesca Levi Dipartimento di Informatica February 26, 2016 F.Levi Dip.to Informatica Informatica per le Scienze Umane a.a. 15/16 pag. 1 La Logica La logica è la disciplina
Dettagli1 Cenni di logica matematica
1 Cenni di logica matematica 1 1 Cenni di logica matematica Una delle discipline chiave della matematica (e non solo, visto che è fondamentale anche per comprendere la lingua parlata) è la logica matematica,
DettagliVerità, tautologia e implicazione logica
Condizioni di verità delle frasi di LP erità, tautologia e implicazione logica Sandro Zucchi Passiamo ora alla terza parte del compito di descrivere il linguaggio LP: Come vengono calcolate le condizioni
DettagliPrerequisiti Matematici
Prerequisiti Matematici Richiami di teoria degli insiemi Relazioni d ordine, d equivalenza Richiami di logica Logica proposizionale, tabelle di verità, calcolo dei predicati Importante: Principio di Induzione
DettagliRagionamenti e metodi di dimostrazione. Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Prof.re E. Modica
Ragionamenti e metodi di dimostrazione Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Prof.re E. Modica Proposizioni Si definisce proposizione una frase alla quale è possibile attribuire uno e un solo valore
DettagliLogica booleana. Bogdan Maris ( )
Logica booleana 1 Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) La struttura algebrica studiata dall'algebra booleana è finalizzata all'elaborazione di espressioni
DettagliCALCOLO DEL PRIMO ORDINE
CALCOLO DEL PRIMO ORDINE ANCORA SUL CONCETTO DI CALCOLO (PROOF SYSTEM) Un sistema di dimostrazione è un insieme di regole di inferenza Ciascuna regola di inferenza consente di derivare una formula ϕ (conseguenza)
DettagliLogica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati;
Logica degli enunciati; Operazioni con le proposizioni; Proprietà delle operazioni logiche; Tautologie; Regole di deduzione; Logica dei predicati; Implicazione logica. Equivalenza logica; Condizione necessaria,
DettagliNOZIONI DI LOGICA. Premessa
NOZIONI DI LOGICA Premessa Il compito principale della logica è quello di studiare il nesso di conseguenza logica tra proposizioni, predisponendo delle tecniche per determinare quando la verità di una
DettagliLo studioso di logica si chiede se la conclusione segue correttamente dalla premesse fornite e se premesse sono buone per accettare la conclusione.
Logica binaria La logica è la scienza del corretto ragionamento e consiste nello studio dei principi e dei metodi che consentono di individuare il corretto ragionamento. Lo studioso di logica si chiede
DettagliLOGICA a.a Esempio di domande 2 prof.ssa Giovanna Corsi
LOGICA a.a. 2014-2015 Esempio di domande 2 prof.ssa Giovanna Corsi January 4, 2015 1. (a) Cosa dice il cosiddetto Assioma di Aristotele? (b) Qual è la contraria di Tutti gli uomini sono mortali? (c) Qual
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 6 Logica del Primo Ordine Motivazioni Sintassi di Termini e Formule Formule aperte e chiuse A. Corradini e F.Levi Dip.to Informatica Logica per la Programmazione a.a.
DettagliEsercizi di Logica Matematica
Esercizi di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Esercizio 1.1. Eliminare le parentesi non necessarie nelle seguenti formule: 1. ((A B) ( C)) 2. (A (B ( C))) 3. ((A B) (C D)) 4.
DettagliLogica. Claudio Sacerdoti Coen 13-15/11/ : Semantica classica della logica proposizionale. Universitá di Bologna
Logica 6: Semantica classica della logica proposizionale Universitá di Bologna 13-15/11/2017 Outline Semantica classica della logica proposizionale 1 Semantica classica della logica
DettagliT1: Logica, discorso e conoscenza. Logica classica
T1: Logica, discorso e conoscenza Primo modulo: Logica classica ovvero Deduzione formale vs verità: un introduzione ai teoremi limitativi Simone Martini Dipartimento di Scienze dell Informazione Alma mater
Dettagli3. OPERAZIONI TRA CLASSI 2
INSIEMI 1. Elementi e Classi Lo scopo di questo primo capitolo è di introdurre in maniera rigorosa le nozioni di classe e insieme, e di studiarne le principali proprietà. Nel seguito useremo il termine
DettagliSesto modulo: Logica Obiettivi 1. individuare dei "calcoli logici" che consentano di meccanizzare l attività deduttiva
Sesto modulo: Logica Obiettivi 1. individuare dei "calcoli logici" che consentano di meccanizzare l attività deduttiva 2. stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no 3. distinguere tra condizione
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 2 Dimostrazione di tautologie Proof System pag. 1 Un Problema di Deduzione Logica [da un test di ingresso] Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare
DettagliTeoremi di Incompletezza di Gödel
Teoremi di Incompletezza di Gödel Pieri Lorenzo January 5, 2013 1 Introduzione Quello che segue è un breve riassunto della dimostrazione dei teoremi di Incompletezza di Gödel (e per il 2 è solo un accenno).
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 6 Logica del Primo Ordine Motivazioni Sintassi Interpretazioni Formalizzazione A. Corradini e F.Levi Dip.to Informatica Logica per la Programmazione a.a. 2015/16 pag.
DettagliLogica per la Programmazione Corso di Laurea in INFORMATICA a.a. 2016/17
Logica per la Programmazione Corso di Laurea in INFORMATICA a.a. 2016/17 Andrea Corradini e Francesca Levi Dipartimento di Informatica E-mail: andrea@di.unipi.it, francesca.levi@unipi.it A. Corradini e
Dettaglimarina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/ marina/did/mdis03/
Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica Elementi di logica formale 8 ottobre 2003 Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca
DettagliIntelligenza Artificiale I
Intelligenza rtificiale I Logica formale Primi elementi Marco Piastra Logica formale - Primi elementi - Sottoinsiemi e operatori Sottoinsiemi U Insieme di riferimento (insieme sostegno) {,, C, } Collezione
DettagliLogica per la Programmazione Corso di Laurea in INFORMATICA a.a. 2015/16
Logica per la Programmazione Corso di Laurea in INFORMATICA a.a. 2015/16 Andrea Corradini e Francesca Levi Dipartimento di Informatica E-mail: andrea@di.unipi.it, francesca.levi@unipi.it A. Corradini e
DettagliINSIEMI. DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti.
INSIEMI DEF. Un INSIEME è una qualsiasi collezione di oggetti. Esso è ben definito quando è chiaro se un oggetto appartiene o non appartiene all insieme stesso. Esempio. E possibile definire l insieme
DettagliIntelligenza Artificiale I
Intelligenza Artificiale I Logica formale Calcolo simbolico Marco Piastra Logica formale - Calcolo simbolico - 1 Calcolo simbolico? Una fbf è conseguenza logica di un insieme di fbf sse qualsiasi modello
Dettagli15. Nozione di modello e verità di un predicato
15. Nozione di modello e verità di un predicato Def. (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è dato
DettagliIntroduzione alla logica
Corso di Intelligenza Artificiale 2011/12 Introduzione alla logica iola Schiaffonati Dipartimento di Elettronica e Informazione Sommario 2 Logica proposizionale (logica di Boole) Logica del primo ordine
DettagliLogica per la Programmazione
Logica per la Programmazione Lezione 3 Dimostrazione di Tautologie e Sintassi del Calcolo osizionale Antonio, Corrado e Bruno... formalmente Tautologie: dimostrazioni e controesempi Sintassi del Calcolo
DettagliIntroduzione alla logica matematica
Introduzione alla logica matematica, Paolo Bison, A.A. 2004-05, 2004-10-26 p.1/29 Introduzione alla logica matematica Silvana Badaloni Paolo Bison Fondamenti di Informatica 1 A.A. 2004/05 Università di
DettagliMarta Capiluppi Dipartimento di Informatica Università di Verona
Marta Capiluppi marta.capiluppi@univr.it Dipartimento di Informatica Università di Verona Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) L'algebra booleana risulta
DettagliUn po di logica. Christian Ferrari. Laboratorio di matematica
Un po di logica Christian Ferrari Laboratorio di matematica 1 Introduzione La logica è la disciplina che studia le condizioni di correttezza del ragionamento. Il suo scopo è quindi quello di elaborare
DettagliAPI. Ripasso di logica. Davide Martinenghi. Politecnico di Milano. API Davide Martinenghi (1/30)
API Ripasso di logica Davide Martinenghi Politecnico di Milano API Davide Martinenghi (1/30) Logica proposizionale - sintassi L è un linguaggio della logica proposizionale L alfabeto di L è composto da
DettagliPrima lezione. Dipartimento di Matematica Università di Salerno
Algebra della Logica Prima lezione Dipartimento di Matematica Università di Salerno http://logica.dmi.unisa.it/lucaspada Scuola AILA 2017 Palazzo Feltrinelli, Gargnano, 20 26 agosto 2017. Logica proposizionale,
DettagliBREVE CENNO DI LOGICA CLASSICA La logica può essere definita come la scienza che studia le condizioni in base alle quali un ragionamento risulta
BREVE CENNO DI LOGICA CLASSICA La logica può essere definita come la scienza che studia le condizioni in base alle quali un ragionamento risulta corretto e vero. Un ragionamento è corretto se segue uno
DettagliDIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI. Corso di Logica per la Programmazione
DIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI Corso di Logica per la Programmazione SULLE LEGGI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Abbiamo visto le leggi per l'equivalenza ( ),
DettagliMaiuscole e minuscole
Maiuscole e minuscole Abilità interessate Distinguere tra processi induttivi e processi deduttivi. Comprendere il ruolo e le caratteristiche di un sistema assiomatico. Riconoscere aspetti sintattici e
DettagliLinguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 13/12/ : I connettivi della logica proposizionale classica. Universitá di Bologna
Linguaggi 8: I connettivi della logica proposizionale classica Universitá di Bologna 13/12/2017 Outline I connettivi della logica proposizionale classica 1 I connettivi della logica
Dettagli15. Nozione di modello e verità di un predicato
15. Nozione di modello e verità di un predicato Def. 0.1 (modello di un linguaggio predicativo) Dato linguaggio predicativo L con costanti c j e predicati atomici P k (x 1,..., x n ) un modello per L è
DettagliIntelligenza Artificiale. Logica Prime definizioni
Intelligenza rtificiale Logica Prime definizioni Marco Piastra Logica formale (Parte ) - Parte Sottoinsiemi lgebra di oole Linguaggio proposizionale Soddisfacibilità Conseguenza logica Logica formale (Parte
DettagliDI CHE COSA SI OCCUPA LA LOGICA
Di Emily Rinaldi DI CHE COSA SI OCCUPA LA LOGICA La logica si occupa dell esattezza dei ragionamenti Nei tempi antichi solo verbale. Nell epoca moderna la logica viene applicata per l ordinamento sistemazione
DettagliLogica proposizionale classica. Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or )
Logica proposizionale classica Studia il comportamento dei connettivi proposizionali quali ( And ) e ( Or ) Parte da una famiglia di enunciati atomici di cui non analizziamo la struttura interna, che rappresentiamo
DettagliDIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI. Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini
DIMOSTRAZIONI DI EQUIVALENZE, SUI CONNETTIVI E SULL'AMBIGUITA' DELLA SINTASSI Corso di Logica per la Programmazione A.A. 2013/14 Andrea Corradini SULLE LEGGI DEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Abbiamo visto le
DettagliUna Breve Introduzione alla Logica
Una Breve Introduzione alla Logica LOGICA La LOGICA è la disciplina che studia le condizioni di correttezza del ragionamento Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spetti
Dettagli9 Calcolo dei sequenti LC p
9 Calcolo dei sequenti LC p In questa sezione mostriamo un metodo più elegante, semplice e soprattutto AUTOMATICO per mostrare se una proposizione è valida o meno e soddisfacibile o meno. Tale metodo è
DettagliSistemi di inferenza Consentono di derivare formule da altre formule: formalizzazione del ragionamento. Un sistema di inferenza è costituito da: un
Sistemi di inferenza Consentono di derivare formule da altre formule: formalizzazione del ragionamento. Un sistema di inferenza è costituito da: un insieme di assiomi un insieme di regole di inferenza,
DettagliLinguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 29,?/10/ : La struttura dei numeri naturali. Universitá di Bologna
Linguaggi 5: La struttura dei numeri naturali Universitá di Bologna 29,?/10/2014 Outline La struttura dei numeri naturali 1 La struttura dei numeri naturali I numeri naturali La
DettagliLA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA
LA NOZIONE DI INSIEME, PRIME OPERAZIONI TRA INSIEMI, ELEMENTI BASILARI DI LOGICA L impostazione logico-deduttiva propria della matematica affida un importanza basilare alle definizioni. La ricerca, poi,
Dettagli