Compito di matematica Classe III ASA 12 febbraio 2015
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- Alberto Repetto
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1 Compito di matematica Classe III ASA 1 febbraio Scrivere l equazione delle funzioni il cui grafico è rappresentato nella seguente figura: [Un quadretto = 1] Prima funzione Per x 4 l arco di parabola si può ottenere traslando verso destra di 4 unità la parabola di equazione x = y e considerandone la sola metà appartenente al semipiano delle y positive. La relativa equazione è dunque y = x che dopo la traslazione diventa y = (x 4) = 4 x. Per x > 4 la semiretta si può ottenere traslando verso destra di 4 unità la retta di equazione y = x e considerando la sola semiretta appartenente al semipiano delle y positive; il coefficiente angolare m = si può ricavare graficamente considerando che tra i due punti evidenziati si ha y x = 4 =. L equazione della funzione rappresentata nel grafico è dunque data da: 4 x se x 4 y = (x 4) se x > 4 Seconda funzione Il grafico della seconda funzione di può ottenere. mediante opportuna traslazione, a partire dal grafico della parabola di equazione y = 1 x. In questo caso, il coefficiente a = 1 (apertura della parabola) si ricava graficamente osservando che ad uno spostamento di unità lungo l asse x rispetto all asse di simmetria corrisponde un incremento di = 1 unità lungo l asse y. Operando infine la traslazione che porta il vertice dall origine al punto V (3; ) si ottiene l equazione y = 1 (x 3) ovvero y = 1 x 3x + 5 ovvero ancora y = 1 (x 6x + 5); in quest ultima forma si evidenziano meglio i punti d intersezione con l asse x in x = 1 e x = 5. 1
2 . Tracciare il grafico delle seguenti funzioni: 4 x se x y = x 4x + 4 se x > y = x x 4 Prima funzione Per x la funzione descrive un arco di parabola situato nel semipiano delle y negative, con asse coincidente con l asse x e vertice in (; 0). Per x > l equazione si può scrivere nella forma y = (x ) e rappresenta quindi un arco di parabola con asse x = ottenuta traslando di unità verso destra la parabola di equazione y = x. Seconda funzione L equazione si può riscrivere nel modo seguente: x (x 4) = 4 se x 4 0 ovvero se x x y = x (4 x ) = x 4 se x 4 < 0 ovvero se < x < e il grafico risulta immediato, considerando che y = x 4 rappresenta una parabola con asse coincidente con l asse y e vertice in (0; 4).
3 3. Discutere al variare di k il numero delle soluzioni del seguente sistema parametrico: y = (x 1) kx y + k 5 = 0 x 0, y 9 La prima equazione rappresenta una parabola ottenuta traslando di un unità verso destra la parabola fondamentale di equazione y = x ; si ottiene dunque una parabola con asse verticale di equazione x = 1, tangente all asse x nel vertice V (1; 0). I vincoli del problema impongono di considerare, di tale parabola, il solo arco compreso tra i punti A(0; 1) e B( ; 9). Riscrivendo l equazione del fascio di rette nella forma y + 5 = k(x + 1), si riconosce immediatamente che il centro del fascio è il punto C( 1; 5). Tra tutte le rette del fascio, occorre mettere in evidenza (cercando il relativo valore del parametro k): a) la retta r 1 passante per il punto A(0; 1): = k(0 + 1) = k = 6 b) la retta r passante per il punto B( ; 9): = k( + 1) = k = 14 c) la retta r 3 tangente alla parabola in un punto del secondo quadrante (dalla figura si evince infatti che esiste anche una seconda retta del fascio che risulta tangente alla parabola in un punto del primo quadrante): y = (x 1) x (k + )x + 6 k = 0 = 0 = k + 8k 0 = 0 y + 5 = k(x + 1) Da quest ultima equazione si ricavano le soluzioni k 1 = (non accettabile in quanto corrisponde alla retta tangente in un punto del primo quadrante) e k = 10. Occorre a questo punto osservare che la retta corrispondente a k, ossia la retta di equazione x = 1, attraversa la parabola e pertanto l intervallo di valori di k utili ai fini del problema è quello esterno ai valori che corrispondono a r 1 e r. Da ciò segue che la retta tangente r 3 in realtà tocca la parabola esternamente all arco che interessa il problema, e pertanto non interviene nella discussione del problema stesso. In conclusione il sistema avrà: - una soluzione reale per k 14 k 6 - nessuna soluzione reale per 14 < k < 6. 3
4 Osservazione In seguito a un banale errore di trascrizione del testo, il vincolo che inizialmente era stato pensato x 0 è poi diventato x 0. Ecco la soluzione dello stesso problema nella versione originale: L arco di parabola è quello compreso tra i punti A(0; 1) e B(4; 9). Tra tutte le rette del fascio, occorre mettere in evidenza (cercando il relativo valore del parametro k): a) la retta r 1 passante per il punto A(0; 1): = k(0 + 1) = k = 6 b) la retta r passante per il punto B(4; 9): = k(4 + 1) = k = 14 5 c) la retta r 3 tangente alla parabola in un punto del primo quadrante (dalla figura si evince infatti che esiste anche una seconda retta del fascio che risulta tangente alla parabola in un punto del secondo quadrante): y = (x 1) x (k + )x + 6 k = 0 = 0 = k + 8k 0 = 0 y + 5 = k(x + 1) Da quest ultima equazione si ricavano le soluzioni k 1 = e k = 10 (non accettabile in quanto corrisponde alla retta tangente in un punto del secondo quadrante). In conclusione il sistema avrà: - due soluzioni reali coincidenti per k = - due soluzioni reali distinte per < k una soluzione reale per 14 5 < k 6 - nessuna soluzione reale per k < k > Dato il fascio di parabole di equazione y = kx + (1 k)x 3k: a) studiare le caratteristiche del fascio e determinare gli eventuali punti base; b) determinare l equazione della retta r contenuta nel fascio; c) determinare la parabola γ del fascio avente come asse di simmetria la retta di equazione x = 3 4 ; 4
5 d) determinare l area del segmento parabolico limitato dalla parabola γ e dalla retta r trovata al punto (b); e) Facoltativo: determinare il luogo dei vertici della parabola al variare di k. Riscrivendo l equazione del fascio nella forma y x + = k(x x 3) si ottengono immediatamente le equazioni delle parabole degeneri y = x (retta r appartenente al fascio - risposta al punto (b) - ottenuta in corrispondenza del valore k = 0) e la coppia di rette x = 1 e x = 3 (soluzioni dell equazione x x 3 = 0) che non corrispondono ad alcun valore di k (o, in una descrizione più formale, corrispondono a k ). Per determinare i punti base si risolve il sistema y x + = 0 = x x 3 = 0 x = 1 x = 3 y = 3 y = 1 Le parabole del fascio (e anche la retta r, come si vede facilmente) passano quindi tutte per i punti base A( 1; 3) e B(3; 1). Le parabole non sono tra loro congruenti (l apertura dipende da k); il luogo dei vertici sarà determinato successivamente (punto (e) facoltativo del problema). L equazione dell asse della generica parabola del fascio è x = b a = k 1. Per rispondere k al punto (c) basta quindi risolvere l equazione k 1 k = 3 4 = 8k 4 = 6k = k = e pertanto la parabola γ cercata ha equazione y = x 3x 8 (ottenuta sostituendo k = nell equazione del fascio). Per determinare l area del segmento parabolico occorre innanzitutto determinare l equazione della retta t parallela a r e tangente alla parabola: y = x 3x 8 x 4x 8 q = 0 = 0 = q = 0 q = 10 y = x + q 5
6 e l equazione della retta t risulta pertanto y = x 10. L area del segmento parabolico è uguale ai dell area del rettangolo ABMN ottenuto proiettando i punti A e B sulla tangente t; tale rettangolo (che nel caso particolare del problema 3 in esame risulta essere in realtà un quadrato) è equivalente al parallelogramma ABN P per la evidente congruenza dei triangoli AN P e BM N. Questa considerazione facilita il calcolo in quanto evita di dover calcolare esplicitamente la distanza tra le rette r e t. Si ha infatti: A segm = 3 AP AR = 3 (q r q t )(x B x A ) = 64 ( + 10)(3 + 1) = 3 3 Per determinare il luogo dei vertici delle parabole del fascio occorre riprendere l equazione del fascio stesso y = kx + (1 k)x 3k e calcolare innanzitutto le coordinate del vertice in funzione del parametro k: x V = b a = k 1 k y V = 4a = 1 + 4k 4k 8k 1k 4k Per eliminare k e trovare l equazione del luogo cercato conviene riscrivere le due equazioni nel modo seguente (in cui per semplicità si è omesso il pedice V ): x = k 1 k y = 16k + 4k + 1 4k e infine, sostituendo 1 k y = x = 1 1 k 1 k = 1 x y = 4k 1 1 4k = 1 x, si ottiene: 1 x 1 1 (1 x) = x x 1 = 16k + 4k + 1 4k y = k 1 1 = x 3 1 k + x 1 = x 4x + 7 (x 1) Come si vedrà in seguito, si tratta di un iperbole con asintoti x = 1 e y = x 3. 6
7 5. Dopo aver scritto le equazioni delle parabole γ 1 e γ passanti per P (0; ) e per Q( 4; 18) e tangenti all asse x: a) deteminare le equazioni delle rette t 1 e t tangenti in P rispettivamente a γ 1 e γ ; b) condotta la retta r di equazione y = k (con k > 0), siano A e B le intersezioni di r con γ 1, C e D le intersezioni di r con γ ; determinare al variare di k il rapporto tra le corde AB e CD; c) Facoltativo: indicate con E ed F le intersezioni di r con t 1 e t, determinare per quale valore di k risulta AB + CD = 4EF. Una parabola tangente all asse x ha equazione del tipo y = a(x x V ). Imponendo la condizione di appartenenza dei due punti P e Q otteniamo il sistema: (4 + x V ) a(0 x V ) = 4 + x V = 9 = ±3 x V a( 4 x V ) = 18 = x V a = x V = a = x V da cui γ 1 : xv = 1 a = y = (x + 1) xv = γ : a = 1 y = 1 (x ) Per determinare le equazioni delle tangenti t 1 e t basta mettere a sistema l equazione della retta generica passante per P con l equazione della parabola e porre la condizione di tangenza = 0. y = (x + 1) t 1 : x + (4 m)x = 0 = 0 = m = 4 t 1 : y = 4x + y = mx + 7
8 t : y = 1 (x ) y = mx + 1 x (+m)x = 0 = 0 = m = t : y = x+ Per trovare le coordinate di A e B basta porre a sistema l equazione della parabola γ 1 con quella della retta y = k e si ottiene: y = (x + 1) A, B : x + 4x + k = 0 = x A,B = ± k y = k da cui AB = x B x A = k Analogamente, sulla parabola γ si ha: y = 1 (x ) C, D : y = k 1 x x + k = 0 = x C,D = ± k da cui AB = x D x C = k e infine AB CD = 1, ossia il rapporto richiesto è costante al variare di k. Per determinare le coordinate dei punti E ed F basta sostituire y = k rispettivamente nelle equazioni di t 1 e t. Si ottiene: x E = k 4 x F = k e quindi EF = 3 k 4 Dal punto precedente si ha immediatamente AB + CD = 3 k e quindi AB +CD = 4EF = 3 k = 4 3 k = k 6k +4 = 0 = k = 3± 5 4 [Si noti che per k = la retta y = k interseca le parabole al di sopra del punto P e quindi mutano le posizioni relative dei 6 punti rispetto alla figura sopra riportata, ma la cosa è del tutto ininfluente ai fini della soluzione del problema.] 8
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