Compito di gennaio 2001

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1 Compito di gennaio 001 Un asta omogenea A di massa m e lunghezza l è libera di ruotare attorno al proprio estremo mantenendosi in un piano verticale All estremità A dell asta è saldato il baricentro di un asta omogenea BC di lunghezza l e massa m, in modo che questa si mantenga ortogonale ad A Un anello P di massa M scorre senza attrito lungo l asta A ed è collegato tramite una molla di costante elastica all origine delle coordinate Inoltre agisce su di esso una forza costante di modulo F parallela all asse delle ordinate Scegliendo le coordinate libere s e θ come in figura, si chiede di: 1) determinare la matrice d inerzia rispetto al polo del sistema formato dalle due aste; ) scrivere le equazioni del moto; 3) determinare le configurazioni di equilibrio del sistema e discuterne la stabilità; 4) date le condizioni iniziali s(0) = l, θ(0) = 0, ṡ(0) = 0, θ(0) = ω, determinare il valore degli integrali primi del moto; 5) scrivere le equazioni che determinano la reazione vincolare esercitata nell estremo dell asta y x 1 θ F s P C A B B A C 1

2 1) Matrice d inerzia del sistema rispetto al polo La matrice d inerzia dell asta A rispetto al suo baricentro e alla base solidale { 1,, 3 } è: I (A) 1 = m(l) diag, 0, 1 = 1 3 ml diag(1, 0, 1) Si osservi che la componente nulla della diagonale principale di I (A) è quella corrispondente al versore della base solidale diretto lungo l asta, cioè il versore La matrice d inerzia I (A) rispetto al polo può essere ottenuta dalla matrice d inerzia dell asta A rispetto al baricentro mediante la seguente legge di trasformazione: I (A), jh = I(A), jh + m(d δ jh d j d h ) (j, h = 1,, 3), dove d = = l è il vettore posizione di rispetto a Posto d 1 = d 3 = 0 e d = l, si ottiene facilmente: I (A) = I (A) + m diag(l, 0, l ) = 1 3 ml diag(1, 0, 1) + ml diag(1, 0, 1) = 4 ( 4 3 ml diag(1, 0, 1) = ml diag 3, 0, 4 ) 3 La matrice d inerzia dell asta BC rispetto al suo baricentro A e alla base solidale { 1,, 3 } è: ) I (BC) A = diag (0, ml, ml = ml 1 diag 0,, 1 Mediante la legge di trasformazione della matrice d inerzia possiamo ricavare la matrice d inerzia I (BC) dell asta BC rispetto al polo : I (BC), jh = I(BC) A, jh + m(d δ jh d j d h ) (j, h = 1,, 3), dove d = A = l è il vettore posizione di A rispetto a

3 Posto d 1 = d 3 = 0 e d = l, si ottiene facilmente: I (BC) = I (BC) A + m diag(4l, 0, 4l ) = ml 1 diag 0,, 1 + ml diag(4, 0, 4) ( = ml 1 diag 4,, 49 ) La matrice d inerzia, rispetto al polo, del sistema formato dalle due aste è quindi: ( 16 I = I (A) + I (BC) = ml diag 3, 1, 65 ) ) Equazioni del moto L energia cinetica totale T è la somma dell energia cinetica T P del punto materiale P e dell energia cinetica T aste del sistema formato dalle due aste A e BC: T = T P + T aste = 1 Mv P ω j I, jh ω h, j,h=1 dove v P è la velocità di P, ω = θ 3 è la velocità angolare e I è la matrice d inerzia del sistema delle due aste rispetto al polo e alla base solidale { 1,, 3 } Per calcolare v P scriviamo innanzitutto il vettore posizione di P rispetto all origine del sistema di riferimento cartesiano considerato: Derivando rispetto al tempo si ha: x P = P = s sin θ e 1 s cosθ e v P = x P = (ṡsin θ + s θ cos θ) e 1 (ṡ cosθ s θ sin θ) e Il quadrato della velocità di P è la somma dei quadrati delle componenti di v P : v P = (ṡ sin θ + s θ cosθ) + (ṡcos θ s θ sin θ) = ṡ sin θ + sṡ θ sin θ cosθ + s θ cos θ + ṡ cos θ sṡ θ sin θ cosθ + s θ sin θ 3

4 Semplificando i termini opposti e ricordando che sin θ+cos θ = 1, si ottiene: v P = ṡ + s θ Sostituendo tale risultato nell espressione dell energia cinetica e sapendo che I,33 = 65 ml, si ha infine T = 1 M(ṡ + s θ ) ml θ L energia potenziale del sistema è data dalla somma di tre termini: il primo corrispondente alla forza elastica f el = (P ), il secondo associato alla forza peso f peso = (M + m) g e il terzo dovuto alla forza costante F: Posto V = (P ) + Mgy P + mgy + mgy A F x P (P ) = s, y P = s cosθ, y = l cosθ, y A = l cos θ, F x P = F e (s sin θ e 1 s cosθ e ) = Fs cosθ, si ottiene V = s Mgs cosθ mgl cosθ mgl cosθ + Fs cosθ, da cui segue V = s + (F Mg)s cosθ 3mgl cos θ La lagrangiana del sistema è L = T V = 1 M(ṡ +s θ ) ml θ s (F Mg)s cos θ+3mgl cosθ Calcoliamo ora le derivate parziali di L rispetto a θ, θ, s e ṡ: ( L θ = Ms + 65 ) L ml θ, = (F Mg)s sin θ 3mgl sin θ, θ L ṡ = Mṡ, L s = Ms θ s (F Mg) cosθ 4

5 Le derivate totali rispetto al tempo contenute nelle equazioni di Lagrange sono: ( d L dt θ = Ms + 65 ) ml θ + Msṡ θ, d L = M s dt ṡ Sostituiamo i risultati ottenuti nelle equazioni del moto d L dt θ L θ = 0 d L L dt ṡ s = 0, trovando infine ( Ms + 65 ) ml θ + Msṡ θ (F Mg)s sin θ + 3mgl sin θ = 0 M s Ms θ + s + (F Mg) cosθ = 0 3) Configurazioni di equilibrio e stabilità Le posizioni d equilibrio sono le soluzioni del sistema di equazioni ottenuto uguagliando a zero le derivate parziali dell energia potenziale V = s 3mgl cosθ + (F Mg)s cosθ, rispetto alle coordinate libere θ e s: V = sin θ3mgl (F Mg)s] = 0 θ V = s + (F Mg) cosθ = 0 s La prima equazione è verificata se è nullo uno dei due fattori che vi compaiono: sin θ = 0 oppure s = 3mgl F Mg 5

6 La condizione sin θ = 0 implica θ = 0 o θ = π Sostituendo tali valori nella seconda equazione, si hanno i seguenti punti stazionari (θ, s): I) θ = 0 II) θ = π s + (F Mg) cos 0 = 0 = s = F Mg s + (F Mg) cosπ = 0 = s = F Mg Consideriamo ora la soluzione s = 3mgl ottenuta dalla prima equazione del F Mg sistema che individua i punti stazionari Sostituendo tale valore nella seconda equazione si ha: 3mgl + (F Mg) cosθ = 0, F Mg da cui segue cos θ = 3mgl = θ = ± arccos 3mgl ] = ±θ (F Mg) (F Mg) 0 Si hanno pertanto i seguenti punti stazionari (θ, s): III) s = 3mgl, θ = θ F Mg 0 = arccos ] 3mgl (F Mg) IV) s = 3mgl, θ = θ F Mg 0 = arccos ] 3mgl (F Mg) Per studiare la stabilità delle posizioni d equilibrio trovate, scriviamo la matrice hessiana H dell energia potenziale V, cioè la matrice formata dalle derivate seconde parziali di V : V θ = 3mgl (F Mg)s] cos θ, V s =, V s θ = V θ s La matrice hessiana è quindi 3mgl (F Mg)s] cosθ (Mg F) sin θ H =, (Mg F) sin θ Il determinante di H è det H = 3mgl (F Mg)s] cosθ (Mg F) sin θ Si possono presentare i seguenti casi: 6 = (Mg F) sin θ

7 Se det H > 0 e V θ,θ > 0, l equilibrio è stabile Se det H > 0 e V θ,θ < 0, l equilibrio è instabile Se det H < 0, l equilibrio è sempre instabile, indipendentemente dal segno di V θ,θ Per ciascuno dei quattro punti stazionari trovati calcoliamo il segno del determinante di H e della derivata V θθ, in modo da studiare la stabilità dei punti d equilibrio I) θ = 0, s = F Mg L equilibrio è stabile II) θ = π, s = F Mg det H = 3mgl + ] (F Mg) det H = 3mgl > 0 per (F Mg) ] (F Mg) > 0, V θθ > 0 (F Mg) > 3mgl Nell ipotesi > 3mgl, si ha anche V θθ > 0, pertanto l equilibrio, sotto tale condizione, è stabile III) s = 3mgl, θ = θ F Mg 0 = arccos ] 3mgl (F Mg) L equilibrio è instabile IV) s = 3mgl F Mg, θ = θ 0 = arccos L equilibrio è instabile det H = (Mg F) sin θ 0 < 0 3mgl (F Mg) ] det H = (Mg F) sin θ 0 < 0, 4) Integrali primi del moto La lagrangiana del sistema dato non dipende esplicitamente dal tempo t, pertanto l hamiltoniana H = T + V è un integrale primo del moto La sua espressione in un generico istante t è: H = T +V = 1 M(ṡ +s θ ) ml θ + s +(F Mg)s cosθ 3mgl cosθ 7

8 Per ipotesi, all istante iniziale t = 0 risulta s(0) = l, θ(0) = 0, ṡ(0) = 0, θ(0) = ω Sostituendo tali valori nell espressione di H e semplificando si ha: H(0) = 1 ( M + 65 ) m l ω + l + (F Mg)l 3mgl In qualunque istante di tempo t il valore dell hamiltoniana H(t) coincide con quello all istante iniziale H(0) Si osservi che la lagrangiana del sistema dipende esplicitamente sia da θ sia da s, pertanto non ammette coordinate libere cicliche, che darebbero luogo ad ulteriori integrali primi del moto (i momenti generalizzati L/ θ e L/ ṡ) 5) Equazioni che determinano la reazione vincolare in Per determinare la reazione vincolare Φ nell estremo dell asta, scriviamo l equazione di bilancio della quantità di moto: P = R (a) + Φ Ricordando che la quantità di moto totale di un sistema di N punti materiali è P = N i=1 m i v i, risulta P = N i=1 m i a i Separando il termine relativo al punto P da quelli corrispondenti ai punti delle aste A e BC, si ha: P = M a P + asta A m i a i + = M a P + m a + m a A, asta BC m i a i dove a e a A sono le accelerazioni dei baricentri e A delle aste A e BC, rispettivamente Il risultante delle forze attive R (a) è la somma della forza elastica f el = (P ), della forza peso f peso = (M+m) g e della forza costante f cost = F L equazione di bilancio della quantità di moto è quindi M a P + m a + m a A = (P ) + (M + m) g + F + Φ, da cui è possibile ricavare la reazione vincolare Φ 8