P = mg; F N = mg cosα; F A = µ d F N = µ d mg cosα.

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1 Esercizio 1 a) Fissiamo un asse di riferimento x parallelo al piano inclinato, diretto verso l alto e con origine nella posizione iniziale del corpo alla base del piano. Sia m la massa del corpo, P la forza peso agente sul corpo, F N la reazione vincolare del piano inclinato perpendicolare al piano stesso, F A la forza d attrito radente (si veda figura a lato). Valgono le seguenti relazioni fra i moduli delle forze sopra elencate: x m P F N F A α P = mg; F N = mg cosα; F A = µ d F N = µ d mg cosα. Nelle equazioni precedenti g è il modulo dell accelerazione di gravità, g = 9.81 m s -. La componente F x lungo l asse x della forza totale che agisce sul corpo è pari a F x = F A P senα = mg(µ d cosα + senα). La componente lungo x dell accelerazione si ottiene dalla seconda equazione della dinamica: F x = ma x a x = g(µ d cosα + senα). L accelerazione è costante, quindi il moto del corpo sul piano inclinato è uniformemente accelerato. Per questo motivo, nel sistema di riferimento scelto la velocità del corpo varia nel tempo secondo l equazione v x (t) = a x t + v 0. Il corpo si ferma dopo un intervallo di tempo dalla durata pari a t = v 0 /a x = v 0 /[g(µ d cosα + senα)] 0.4 s.

2 b) Dopo essersi fermato, il corpo rimane in quiete se la forza d attrito radente statico è sufficiente a bilanciare la componente della forza peso parallela all asse x. Il modulo della forza d attrito statico soddisfa la seguente disuguaglianza: F A µ s F N = µ s mg cosα. Il corpo rimane quindi in quiete se µ s mg cosα P senα = mg senα, ovvero se µ s tanα. Sostituendo i valori numerici, si ottiene che la disuguaglianza precedente è verificata e quindi il corpo rimane effettivamente in quiete.

3 Esercizio a) Applicando il secondo principio della dinamica, si ricava che, nel punto B, l accelerazione centripeta a cp soddisfa la seguente relazione: (m + M)a cp = (m + M)g + T. Nel moto circolare (anche non uniforme), l accelerazione centripeta dipende dal raggio della traiettoria (ovvero, in questo caso, dalla lunghezza del filo) e dal modulo della velocità istantanea: v a cp = B. L Dalle due precedenti relazioni si ricava v B = g + L T m + M. Affinché il filo rimanga teso deve essere T 0, perciò la velocità v B min è data da v B min = gl. b) Nota la velocità in B del sistema blocco + proiettile, si può ricavare la velocità v A del sistema nel punto A utilizzando il principio di conservazione dell energia meccanica. L unica forza che compie lavoro sul sistema blocco + proiettile è infatti la forza peso, che è conservativa. B A 1 1 Etot Etot = 0 E k + E p = ( m + M ) vb ( m + M ) va + ( m + M )gl = 0 v A = v B + 4gl. Il valore di v 0 si può ricavare imponendo la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto del sistema blocco + proiettile. Infatti durante l urto (supposto istantaneo) non agisce sul sistema blocco + proiettile alcuna forza orizzontale. Perciò ) v A mv 0 = ( m + M = ( m M ) v B + 4gl m + M m + v 0 = ( ) v + gl B 4.

4 c) Dai punti (a) e (b) si ricava che la minima velocità del proiettile necessaria affinché il sistema compia un giro completo attorno al punto deve essere: m + M m v 0 min = ( ) 5gl.

5 Esercizio 3 a) Il teorema dell energia cinetica per un sistema di corpi stabilisce che: E k = L, N 1 dove E k = mv i i= 1 è l energia cinetica totale e L è il lavoro delle forze esterne ed interne che agiscono sul sistema. Se le forze che agiscono sul sistema sono conservative, allora si può definire una energia potenziale E p tale che L = E p. L energia meccanica totale E tot = E k + E p quindi rimane costante, ovvero si conserva. b) Il teorema delle forze vive afferma che l energia cinetica totale del sistema di corpi si conserva quando L = L interne + L esterne = 0, cioè quando il lavoro totale delle forze agenti sul sistema, sia interne (L interne ) che esterne (L esterne ) è nullo. c) La prima equazione cardinale del moto per i sistemi, F esterne = dp, dt richiede che, affinché la quantità di moto totale del sistema P = mv i sia costante (e quindi sia nulla la sua derivata), la risultante di tutte le forze esterne F esterne agenti sul sistema sia nulla. Le forze interne non influenzano P poiché la loro risultante è sempre nulla per il III Principio delle Dinamica (ad ogni forza interna ne corrisponde sempre una uguale e contraria). La condizione F esterne = 0 è senz altro soddisfatta se il sistema è isolato. N i= 1

6 d) La seconda equazione cardinale del moto per i sistemi, esterne M = dl, dt richiede che, affinché il momento angolare totale del sistema rispetto ad un generico polo N L = r mv sia costante (e quindi sia nulla la sua derivata), il momento i= 1 ì, i esterne M risultante da tutte le forze esterne agenti sul sistema sia nullo. Le forze interne non influenzano L poiché il momento risultante da ciascuna coppia di forze esercitate reciprocamente tra due corpi appartenenti al sistema è sempre nullo per il III Principio della Dinamica (ad ogni forza interna ne corrisponde sempre una uguale e contraria, agente lungo la esterne congiungente i due corpi). La condizione M 0 è sempre verificata per ogni polo se il = sistema è isolato, ma è soddisfatta anche quando le forze esterne sono centrali, ovvero sempre dirette verso lo stesso punto, scelto come polo per il calcolo dei momenti.

7 Esercizio 4 Le equazioni vettoriali del moto che esprimono il II Principio della Dinamica per i due corpi, una volta proiettate sulle due rette lungo cui si muovono i due corpi, si riducono alle seguenti due equazioni scalari: x y T mg = ma m T = Ma M dove sono incognite le tre quantità T (tensione del filo), a m e a M (rispettivamente accelerazioni del corpo di massa m e M). Le tre incognite sono determinabili se si tiene conto della inestensibilità del filo che rende identiche in modulo le accelerazioni dei due corpi: a a m = a M. a) Dalle equazioni precedenti si ottiene a = mg/(m + M). L accelerazione è costante nel tempo e produce un moto uniformemente accelerato. b) Si scelga l origine dell asse x in coincidenza con la posizione del carrello al momento della partenza. Il moto del carrello di massa M, così come quello del peso di massa m, è uniformemente accelerato. Prendendo l istante della partenza come origine dei tempi, la legge oraria è la seguente: x(t) = 1 at = 1 mg/(m + M)t. Il grafico è una parabola passante per l origine con concavità rivolta verso il verso positivo dell asse x nel piano t-x. Utilizzando i dati di cui al punto (c) dell esercizio, si ottiene il grafico a lato.

8 c) La condizione x(t = 0.5 s) = 0.1 m permette di determinare l accelerazione a = x(t)/t = 0.8 m/s. La distanza x(t) percorsa dopo t = 1.5 s è quindi pari a x(t = 1.5 s) = 1 at = 0.9 m.