INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

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1 INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente e l funzione f() si dice integrbile in senso improprio su [, b). Se tle ite esiste m non è finito, l integrle improprio si dice divergente. Anlogmente, dt un funzione f() continu in (, b], ponimo f() = f() ε + +ε qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente e l funzione f() si dice integrbile in senso improprio su (, b]. Se tle ite esiste m non è finito, l integrle improprio si dice divergente. Infine, un funzione f() continu in (, b) si dice integrbile in senso improprio su (, b) se risult integrbile in senso improprio (, c] e su [c, b) per qulche c (, b). In tl cso ponimo f() = c f() + c f() In prticolre l integrle improprio srà convergente se convergono entrmbi gli integrli in cui è stto decomposto. π sin Vedimo un esempio. Clcolre. ( cos ) 3 Osservimo che l funzione integrnd f() = sin ( cos ) 3 +. Per clcolre l integrle pplichimo l definizione: π sin ( cos ) 3 π = ε + ε sin ( cos ) 3 [ = 3( cos ) 3 ε + ] π ε è continu in (, π ] e che f() = + = ε + 3 3( cos ε) 3 = 3 Quindi f() è integrbile in senso improprio in (, π]. Vedimo or dei criteri che ci permetternno di stbilire l convergenz di un integrle improprio nche nei csi in cui non è possibile determinre un primitiv esplicit delle funzione integrnd. Nei seguenti risultti si considerno funzioni continue nell intervllo [, b) m nloghi risultti vlgono per funzioni continue nell intervllo (, b].

2 Teorem (Criterio del Confronto) Sino f() e g() funzioni continue nell intervllo [, b) tli che f() g() per ogni [, b). Se g() è convergente llor f() è convergente. Se f() è divergente llor g() è divergente. Dim. Le funzioni integrli F () = f(t) dt e G() = g(t) dt risultno definite e continue in [, b). Inoltre, essendo f() g() per ogni [, b), F () e G() risultno monotone crescenti in [, b) con F () G() per ogni [, b). teorem sul ite delle funzioni monotone, risult llor che esistono i iti F () = + sup F () e G() = sup G() ed inoltre (,b] + (,b] F () G() + + L tesi segue osservndo che se g() converge, llor F () R e quindi f() converge. + D ltr prte, se f() diverge, llor d cui segue che g() diverge. G() R. Dunque + Dl F () = + e quindi G() = +, + + Si osservi che se f() è funzione continu e di segno costnte in [, b), llor l funzione integrle F () = f(t) dt è funzione monoton e quindi esiste F (), ovvero l integrle b improprio f() risult convergente o divergente. Se invece f() è funzione continu in [, b) m non h segno costnte, potremo usre il seguente risultto. Corollrio Si f() funzione continu in [, b). Se f() è convergente llor convergente. f() è Dim. Per ogni [, b), considerimo le funzioni f + () = m{f(); } e f () = m{ f(); }. Osservimo che tli funzioni risultno non negtive e che f() = f + () + f () per ogni [, b), quindi f () f() e f + () f() [, b) Essendo f() convergente, dl criterio del confronto si ottiene che f +() e f () sono convergenti. Allor, essendo f() = f + () f () per ogni [, b), dll definizione si ottiene che nche f() converge.

3 Se l integrle f() converge, l integrle f() si dice ssolutmente convergente. Il precedente corollrio fferm che l convergenz ssolut implic l convergenz, m non vle in generle il vicevers. Si osservi che dl precedente corollrio segue che se f() è funzione continu e itt in [, b), in prticolre se f() R, llor f() è convergente. b In genere l integrle di confronto usto per stbilire se un dto integrle improprio converge o meno è l integrle delle potenze con p >. p Considerimo l funzione f() = nell intervllo (, ]. Allor p Quindi Dunque l integrle improprio ε prticolre, l funzione f() = p p <. ε p se p = p p log ε se p =. se p < = p p + se p. p è convergente se p < ed è divergente se p. In è integrbile in senso improprio su (, ] se e solo se Medinte un semplice sostituzione, dl precedente esempio si deduce che gli integrli b b ( ) e convergono se e solo se p <. p (b ) p Qulche esempio (log ) 3 ( ) (log ) 3. L funzione f() = ( ) è funzione continu e positiv in (, ] e + f() = +. Osservto che log ( ) per ogni >, per > ottenimo f() = (log ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) = ( ) 3 < ( ) 3 (, ]. Essendo convergente, dl criterio del confronto si deduce che nche ( ) 3 l integrle dto è convergente. 3

4 tn. L funzione f() = tn è continu in (, ] e f() = Ricordndo che tn > per ogni (, π ), ottenimo ed essendo dto diverge. f() = tn 3 > 3 = (, ] divergente, dl criterio del confronto si deduce che nche l integrle Dl criterio del confronto e dll definizione di ite si ottiene Corollrio (Criterio del confronto sintotico) Sino f() e g() funzioni continue e di segno costnte in [, b). f() Se + g() = e se g() è convergente llor f() è convergente. f() Se + g() = e se g() è divergente llor f() è divergente. f() Se + g() = l R \ {} (in prticolre, se f() g() per +) llor e g() hnno il medesimo crttere. Dl precedente criterio bbimo che se f() è funzione continu in [, b) e se f() con p <, llor f() converge b = con p, llor f() diverge (b ) p l R \ {}, llor f() converge se e solo se p < Utilizzndo il concetto di ordine di infinito per b, possimo ffermre che se Ord(f()) p < llor f() converge; se Ord(f()) p llor f() diverge. f() Anloghi criteri vlgono nel cso di integrli di funzioni continue in intervlli del tipo (, b]. Qulche Esempio log. L funzione f() = log è continu in (, ] e f() =. Ricor- + dndo che + α log = per ogni α >, ottenimo che se p > llor f() + = p p + 4 log =.

5 Quindi, se < p <, il criterio del confronto sintotico ci permette di concludere che l integrle dto è convergente. Si osservi che dl precedente confronto bbimo che Ord(f()) <. e. L funzione f() = e ite notevole y + è continu in (, ] con f() = +. Dl + e y = + per ogni α R, si ottiene che per ogni p > risult yα f() + p e + p = = +. Scegliendo p, il criterio del confronto sintotico ci permette di concludere che l integrle dto diverge. Si osservi che dl precedente confronto ottenimo che Ord(f()) > p per ogni p > ed in prticolre che Ord(f()) >. rctn 3 sin +. L funzione f() = rctn 3 sin + è continu in (, ]. Per + bbimo rctn = +o() e sin = +o(), quindi sin + = + +o() = + o( ) e rctn( 3 ) = 3 + o( 3 ). Allor per + ottenimo f() = 3 + o( 3 ) + o( ) 3 = 6 Ne segue che f() = + e che Ord(f()) =. Dl criterio del confronto + 6 sintotico ne deducimo che l integrle dto converge. log( + ) Determinre per quli vlori di α > converge l integrle. sin( α ) L funzione f() = log(+) è continu in (, ]. Ricordndo che log( + ) = sin( α ) + o() e sin = + o() per, ottenimo che log( + ) e che sin( α ) α per. Allor f() = per. α α Ne segue che f() = + se α > e che in tl cso Ord(f()) = α. Dl criterio del confronto sintotico deducimo inoltre che l integrle risult convergente se e solo se α < ovvero se α < 3. 5

6 Esercizi Clcolre i seguenti integrli impropri: log [log 4] [ ] 3 [ π 3 ] log( + ) [Integrre per prti. ] Stbilire se i seguenti integrli impropri sono convergenti π 3 5 π sin 4 3 e ( + ) 3 cos ( + ) [Diverge] sin [Diverge] 9.. π/ sin log( + ) [Diverge] Stbilire per quli vlori di α R risultno convergenti i seguenti integrli π rctn( α ) sin + log α [Converge per ogni α] [Converge se e solo se α < ] sin ( cos ) α [Converge se e solo se α < ] α log [Converge se e solo se α < ] log (( )) α+ [Converge se e solo se α < ] tn π ( ) α [Converge se e solo se α < 3 ] π/ π/3 sin tn 3 log(cos ) [Diverge] cos e ( + 3 ) α [Converge se e solo se α < 6] α [Converge se e solo se α > ] 6

7 . Integrli impropri su intervlli ilitti Dt un funzione continu f: [, + ) R, ponimo f() = b + f() qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente e l funzione f() si dice integrbile in senso improprio su [, + ). Se tle ite esiste m non è finito, l integrle improprio si dice divergente. Anlogmente, dt un funzione continu f: (, b] R, ponimo f() = f() qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente e l funzione f si dice integrbile in senso improprio su (, b]. Se tle ite esiste m non è finito, l integrle improprio si dice divergente. Infine, un funzione continu f: (, + ) R si dice integrbile in senso improprio su (, + ) se lo è su (, b] e su [b, + ) per qulche b >. In tl cso ponimo f() = f() + b f() Anloghe definizioni nei csi in cui l intervllo di integrzione è dell form (, b). Infine, un funzione f() continu in R si dice integrbile in senso improprio su R se risult integrbile in senso improprio su (, c] e su [c, + ) per qulche c R. In tl cso ponimo f() = c f() + c f() In prticolre l integrle improprio srà convergente se convergono entrmbi gli integrli in cui è stto decomposto. Vedimo un esempio. Clcolre e. L funzione f() = e è continu in [, + ) e f() =. Dll definizione bbimo + e e = b + Quindi f() è integrbile in senso improprio in [, + ). [ ] b = e = e b e = e b + b + 7

8 Come nel cso di integrli impropri su intervlli itti si possono provre i seguenti risultti. Teorem (Criterio del Confronto) Sino f() e g() funzioni continue nell intervllo [, + ) tli che f() g() per ogni [, + ). Se g() è convergente llor lo è nche f(). Se f() è divergente llor lo è nche g(). Corollrio (Condizione necessri ll convergenz) Si f() funzione continu in [, + ). Se l integrle f() converge ed esiste il ite f(), llor tle ite è nullo. + Corollrio Se f() è convergente llor lo è nche f(). Se l integrle f() converge, l integrle f() si dice ssolutmente convergente. Il precedente corollrio fferm che l convergenz ssolut implic l convergenz. Come nel cso di integrli impropri su intervlli itti, l integrle di confronto è in genere l integrle delle potenze con p >. p Considerimo l funzione f() = p nell intervllo [, + ). Allor se p Quindi p = b p p log b se p =. se p > = p p + se p. Dunque l integrle improprio è convergente se p > ed è divergente se p. p In prticolre, l funzione f() = è integrbile in senso improprio su [, + ) se e p solo se p >. Medinte semplice sostituzione si ottiene che per ogni >, l integrle + converge se e solo se p >. + ( ) p Si osservi che per qunto provto, per ogni p > l funzione f() = non è integrbile p in senso improprio in (, + ). 8

9 Qulche esempio cos cos. Si osservi innnzitutto che = essendo cos funzione π itt, quindi l condizione necessri ll convergenz è soddisftt. Abbimo poi che cos 4 4 π. Essendo convergente, dl criterio del confronto segue che cos π 4 π 4 risult convergente e dunque, dl Teorem sull convergenz ssolut, che nche l integrle proposto converge. (log ) 3 ( ). Osservimo che, essendo log funzione concv in (, + ), risult log per ogni > essendo y = l equzione dell rett tngente l grfico di log in =. Ne segue che (log ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) = ( ) 3 < ( ) 4 3 essendo > per ogni R. Poichè converge, dl criterio ( ) 4 3 del confronto deducimo che nche l integrle proposto converge. essendo log. L funzione f() = log è funzione continu su ([, + ) e log + α + f() = = per ogni α >. Abbimo inoltre che per ogni > e risult log > ed essendo e divergente, dl criterio del confronto si ottiene che log e diverge e quindi nche l integrle proposto essendo log e + log = + e Come ultimo esempio, considerimo l integrle per prti ottenimo π sin [ = cos 9 π ] b π sin π. Per ogni b > π, integrndo cos

10 Allor π sin sin = b + π = b + π +cos b b cos = π π cos π e l integrle dto risult convergente essendo tle π cos. Inftti risult cos π con π convergente. Quindi dl criterio del confronto cos converge π ssolutmente. sin D ltr prte, provimo che diverge. Inftti, per ogni k N si h π (k+)π kπ sin (k+)π sin = (k + )π kπ (k + )π Ricordndo che < log( + ) per ogni n N, ottenimo n n (k+)π kπ sin π log( + k + ) = π log ( ) k + k + Allor nπ π sin n = k= (k+)π kπ sin n log π k= ( ) k + = (log(n + ) log ) k + π Considerimo or l funzione integrle F () = crescente e quindi π sin = F () = + Per qunto provto sopr F (nπ) = nπ π π sin t t sup [π,+ ) sin t t dt. Tle funzione è monoton F () sup F (nπ) n N dt (log(n + ) log ) e quindi π diverge. F (nπ) + per n +. Ne segue che sin π Il precedente esempio prov che un integrle improprio può convergere m non convergere ssolutmente.

11 Dl criterio del confronto bbimo Corollrio (Criterio del confronto sintotico) Sino f() e g() funzioni continue e di segno costnte in [, + ). f() Se + g() = e se g() è convergente llor lo è nche f(). f() Se + g() = e se g() è divergente llor lo è nche f(). f() Se = l R \ {} (in prticolre, se f() g() per + ) llor g() + f() e g() hnno il medesimo crttere. Dl precedente criterio si ottiene in prticolre che se f() è funzione continu in [, + ) e se f() + = p con p >, llor f() converge con p, llor f() diverge l R \ {}, llor f() converge se e solo se p > Utilizzndo il concetto di ordine di infinitesimo per +, possimo ffermre che se ord(f()) p > llor f() converge; se ord(f()) p llor f() diverge. Anloghi criteri vlgono nel cso di un intervllo del tipo (, b]. Qulche Esempio e. L funzione f() = e è funzione continu in [, + ) e f() = + essendo α + = per ogni α R. Dl medesimo ite notevole deducimo e che f() + = p + p+ e = per ogni p R e quindi in prticolre per p >. Dl criterio del confronto sintotico deducimo llor che l integrle dto converge. Si osservi che dl precedente confronto bbimo ord(f()) > p per ogni p > e quindi che ord(f()) >.

12 + α log con α >. L funzione f α() = α log f() = per ogni α >. Abbimo { f() p α + se p > α + = p + log = se p α è continu in [, + ) e Se α <, scegliendo α < p nel primo ite, ottenimo dl criterio del confronto sintotico che l integrle diverge. Se α >, scegliendo < p α nel secondo ite ottenimo dl criterio del confronto sintotico che l integrle converge. Se α = i confronti sopr non ci permettono di concludere m in tl cso l integrle si può clcolre medinte l definizione log = b + log = [log log b + ]b = log log b log log = + b + Segue llor che l integrle dto converge se e solo se α >. essendo ( ) (. L funzione f() = ) f() = ( ) = e log( ) è continu in [, + ). Inoltre dllo sviluppo log( + y) = y y + o(y ) per y ponendo y = ottenimo d cui L integrle log( ) = ( + o( )) = + o() f() = e +o() = e e e o() e e per + per + e risult convergente (lo si può clcolre utilizzndo l definizione), quindi dl criterio del confronto sintotico nche l integrle dto risult convergente. Osservimo che dl confronto precedente ottenimo che ord(f()) = ord(e ) < p per ogni p >.

13 Esercizi Clcolre i seguenti integrli impropri: [ π ] log 3 log( + ) [ log ] [Integrre per prti. π] rctn [ π 4 log ] e [] Stbilire se i seguenti integrli impropri sono convergenti.. + [Diverge] e e sin 3 log( + ) log cos [Diverge] [Diverge] [Integrre per prti. Converge] e sin e π sin(π) + tn 4 + cos [Diverge] ( + )( + ) Stbilire se i seguenti integrli impropri sono convergenti l vrire di α R. ( 3)( + 4). log α [Converge se e solo se α > ] ( 3)( + 4) [Diverge] rctn 3 e n+ ( ) 3, n N [Converge se e solo se n ] log( + α ) [Converge se e solo se α > ] 3