ESERCIZI DA ESAMI ( ) Spinta delle terre
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- Bartolomeo Spina
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1 ESERCIZI A ESAMI ( ) Spinta delle terre Esercizio 1 Calcolare le pressioni a lungo e a breve termine esercitate dal terreno sul paramento verticale di un muro di sostegno, nell'ipotesi di assenza di attrito e di flusso. q O A sabbia 1 zw1 zw2 z argilla 1 B dati: z A (m) = 1.5 sabbia 2 z B (m) = 4 C z C (m) = 6 z (m) = 8 argilla 2 z w1 (m) =.5 z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 5 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) sabbia argilla sabbia argilla ati: z A (m) = 1.5 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) z B (m) = 4 sabbia z C (m) = 6 argilla z (m) = 8 sabbia z w1 (m) =.5 argilla z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 5 condizioni a lungo termine punto strato z(m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' ha (kpa) σ ha (kpa) K A O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla argilla
2 condizioni a breve termine punto strato z(m) σ v (kpa) σ ha (kpa) O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla argilla tensioni (kpa) condizione a lungo termine Z (m) tensioni tensioni (kpa) (kpa) condizione a breve termine Z (m) Esercizio 2 Calcolare e disegnare la distribuzione della pressione attiva sulla superficie verticale di figura. Calcolare la spinta totale (attiva + idrostatica) sulla parete e determinarne la quota di applicazione. Si assuma δ =, γ w = 9.81 kn/m 3. f.f. H 1a H 1 H 1b H 2 H 3 ati: H 1a (m) = 3 γ 1a (kn/m 3 ) = 16 H 1b (m) = 2 γ 1b (kn/m 3 ) = 19 c' 1 (kpa) = φ' 1 ( ) = 35 H 2 (m) = 3 γ 2 (kn/m 3 ) = 2 c' 2 (kpa) = 17 φ' 2 ( ) = 27 H 3 (m) = 4 γ 3 (kn/m 3 ) = 21 c' 3 (kpa) = φ' 3 ( ) = 42 2
3 I coefficienti di spinta attiva per i tre tipi di terreno valgono: K a1 = tan 2 (45 - φ' 1 /2) =.271 K a2 = tan 2 (45 - φ' 2 /2) =.376 K.5 a2 =.613 K a3 = tan 2 (45 - φ' 3 /2) =.198 istribuzione di pressione: prof. terreno σ v u σ' v K a σ' ha σ ha (m) tipo (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) σ' ha (kpa) u (kpa) z (m) z (m) area forma base altezza forza braccio momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (knm/m) 1 triang rettang triang rettang triang rettang triang triang Spinta attiva del terreno, Sa = kn/m Quota di applicazione di Sa, ha = 7.58 m Spinta idrostatica, Sw = kn/m Quota di applicazione di Sw, hw = 9. m Spinta totale: S = kn/m Quota di applicazione di S, h = 8.57 m Esercizio 3 eterminare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione. 3
4 H β i ati: H = 6 m β = 2 i = 15 terreno sostenuto: γ = 18 kn/m 3 φ' = 3 δ = 2/3 φ' coefficienti sismici: k H =.1 k V = θ = arctan(k H / (1 - k V )) =.997 rad i =.2618 rad φ' =.5236 rad δ = 2/3 φ' =.3491 rad β =.3491 rad K A =.6291 E A =,5 γ H 2 K A = kn/m Spinta attiva in condizioni statiche H A = H / 3 = 2. m Quota di applicazione di E A K AE =.82 E AE =,5 γ H 2 (1-k V ) K AE = kn/m Spinta attiva in condizioni sismiche E E = E AE - E A = 56.2 kn/m Incremento sismico della spinta H E = 2H / 3 = 4. m Quota di applicazione di E E H AE = (E A H A + E E H E ) / E AE = 2.43 m Quota di applicazione di E AE Esercizio 4 E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 1 kn/m 3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2,. Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresentata da una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, determinare: b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico, d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma. 4
5 H s A B z w a q sabbia fine limo sabbioso ati: H (m) = 5 (m) = 7 s (m) =.8 q (kpa) = 1 z w (m) = 2 a (m) = 4 δ = φ' / 2 angolo d'attrito terra-m strato 1) sabbia fine: γ 1 (kn/m 3 ) = 19 φ' 1 ( ) = 38 k 1 (m/s) =.4 C2 C1 strato 2) limo sabbioso: γ 2 (kn/m 3 ) = 2 φ' 2 ( ) = 34 coefficiente di permeabilità in direzione verticale k 2v (m/s) = 5.E-6 coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k 2h (m/s) = 1.5E-5 a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2,. coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) h i (m) 1 A-B 2 4.E B-C1 8 5.E C1-C E C2-7 5.E Σ i = k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-6 m/s carico idraulico in A: h A (m) = 1 h i = v d i /k i carico idraulico in : h (m) = 7 perdita di carico tra A e : h = (h A - h ) = 3m lunghezza di filtrazione tra A e : L = Σd i = 17.8 m gradiente idraulico tra A e : i = h/l = velocità di filtrazione tra A e : v = k m i = 9.82E-7 m/s h = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kpa) h = carico idraulico A z = altezza geometrica B u/γ w = altezza di pressione C C b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u φ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' v strato a monte K = K A strato a valle K = K P / F punto z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ' hp (kpa) 5
6 O A B (str. 1) B (str. 2) C C O A B z w a H C2 C1 3 4 pressioni neutre z pressioni orizzontali efficaci R Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 triang rettang triang triang rettang triang rettang triang rettang triang triang /F /F /F Forza R R Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: /F = da cui: F = 1.57 Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 11 triang ΣM = Equilibrio alla traslazione orizzontale: R = da cui: R = kn/m ΣH = c) le pressioni orizzontali sul diaframma punto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kpa) t (kn/m) m (knm/m) O A B (str. 1) B (str. 2) C
7 z (m) p h (kpa) d) i valori massimi di taglio e momento flettente. il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero: 1) in prossimità del piede del diaframma: z (m) = t = R (kn/m) = ) nel tratto infisso C- alla quota: z (m) = 5.64 t (kn/m) = il momento massimo è alla sezione di taglio zero: z si determina risolvendo l'equazione: a z 2 + b z + c = a = b = c = da cui: z (m) = 2.91 t (kn/m) = p h (kpa) = m = knm/m Esercizio 5 Si consideri un terrapieno costituito da argilla satura caratterizzata da un peso di volume γ = 21 kn/m 3, da un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 25 e da una coesione c' = 1 kpa. Il terrapieno e' sostenuto per la sua intera altezza, H = 6 m, da una parte verticale scabra dotata di un attrito δ = 3/4 ϕ'. Nell'ipotesi che sul terrapieno agisca un sovraccarico uniformemente distribuito q = 1 kpa e che il livello di falda sia a 3 m dal piano di campagna, determinare la forza risultante che il terrapieno esercita sulla parete ed il suo punto di applicazione. ati: γ (kn/m 3 ) = 21 ϕ' ( ) = (rad) c' (kpa) = 1 H (m) = 6 δ ( ) = (rad) q (kpa) = 1 z w (m) = 3 γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Si determina la tensione efficace verticale alla estremità superiore, A, ed inferiore della parete, C. e in corrispondenza della falda, B, assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. σ' va (kpa) =. σ' vb (kpa) = 63. σ' vc (kpa) = 96.6 Si determina il coefficiente di spinta attiva ad esempio adottando la soluzione di Coulomb: (superficie di rottura piana) K a =.36 e quindi la distribuzione delle pressioni limite attive, comprensive del contributo del sovraccarico K a q σ' aa (kpa) = -8.4 σ' ab (kpa) =
8 σ' ac (kpa) = 26.2 da cui si ricava la profondità z del punto O di annullamento delle pressioni limite attive: z (m) = 1.11 Si trascura a favore di sicurezza il contributo negativo delle pressioni limite attive e si calcola la risultante delle pressioni limite attive tra O e B è pari a: S a1 (kpa) = 1/2 σ' ab (z w -z ) = ed il braccio del punto di applicazione rispetto al piede della parete: x 1 (m) = H-z w +(z w -z )/3= 3.63 Invece tra i punti B e C agsicono le forze: S a2 (kpa) = σ' ab (H-z w ) = S a3 (kpa) = (σ' ac σ' ab ) (H-z w )/2 = 18.5 con i relativi bracci: x 2 (m) = (H-z w )\2 = 1.5 x 3 (m) = (H-z w )\3 = 1. Si calcola la spinta idrostatica ed il relativo braccio: S w (kpa) = 1/2 γ w (H-z w ) 2 = x w (m) = (H-z w )\3 = 1. Quindi si determina la risultante delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete e il relativo punto di applicazione: P (kpa) = S a1 + S a2 + S a3 + S w = x P (m) = (S a1 x 1 + S a2 x 2 + S a3 x 3 + S w x w )/P=
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