Capitolo 6. Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico

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1 Capitolo 6 Soluzione degli esercizi a cura di Rosa Falotico Esercizio 6.1 Dopo aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la formula per il calcolo della media si semplifica, otteniamo il prezzo medio praticato dai rivenditori italiani: x IT A = 1 x i f i = = 4.39e. Per effettuare un confronto con la media inglese sarebbe necessario convertire tutti i prezzi in euro e poi farne la media, invece è possibile applicare la proprietà di omogeneità della media aritmetica che ci assicura che se Y = ax allora ȳ = a x. Poiché i prezzi in euro altro non sono che i prezzi in sterline per il tasso di cambio, si può ottenere la media dei prezzi inglesi in euro, moltiplicando la media in sterline: ȳ UK = 1 y i f i = = per il tasso di cambio fornito nella traccia 1.18: x UK = y UK 1.18 = = 4.02e. Il prezzo medio inglese della chiavetta USB cercata è di poco inferiore a quello italiano. Esercizio 6.2 Dopo aver calcolato la numerosità di ogni sottogruppo di ulivi: i Cannellina 5 Maiatica 10 Ogliarola 5 Totale 20 1

2 2 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi e aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la formula per il calcolo della media si semplifica, otteniamo la resa media per ogni varietà di ulivo: x C = x Ci f i = = 2 C 5 x M = x Mi f i = = 2.71 M 10 x O = x Oi f i = = 2.67 O 5 mentre la resa totale è: x = x i f i = = La proprietà associativa della media aritmetica ci assicura che la media (generale) di X (su U) è sempre raggiungibile dai dati aggregati (sulle sottopopolazioni U j ), basta calcolare la media delle medie delle sottopopolazioni, quindi: x = 1 h x j j = j=1 La proprietà risulta verificata = Esercizio 6.3 Dopo aver notato che quando le modalità si presentano con frequenze unitarie, la formula per il calcolo della media si semplifica, otteniamo la borsa di studio media: x V = x i f i = = Dopo l aumento delle borse di studio, gli studenti percepirebbero queste somme: e la media delle borse diventerebbe: x = x i f i = = Per la proprietà di linearità della media aritmetica, se X e Y sono due fenomeni diversi ma legati dalla formula: Y = a + bx con a e b numeri reali qualunque e b diverso da 0, si dice che Y è una trasformazione lineare di X. La media aritmetica di Y si ottiene dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione cioè: ȳ = a + b x.

3 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi 3 Poiché le nuove borse di studio sono trasformazioni lineari delle vecchie, infatti: X = X V X V + 50 = 1.25X V + 50 possiamo ottenere la nuova borse media senza aggiornare tutti i valori ma applicando la trasformazione lineare direttamente alla vecchia borsa, infatti: x = 1.25 x V + 50 = = Esercizio 6.4 La proprietà da utilizzare è la proprietà di mantenimento ed equidistribuzione del totale: x i f i = x = k x f i ovvero: 1. Se ai valori x i osservati sostituiamo la media aritmetica x che li sintetizza tutti, il totale di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il totale. 2. Se il totale di X fosse diviso in parti uguali fra le unità di U, a ciascuna unità toccherebbe una quota di totale pari a x. Allora la media aritmetica equidistribuisce il totale di X sulle unità di U. Verifichiamo che: T otale X = x = k x f i = = x = 12 = Esercizio 6.5 La proprietà da utilizzare è la proprietà di mantenimento ed equidistribuzione del totale: x i f i = x = k x f i ovvero: 1. Se ai valori x i osservati sostituiamo la media aritmetica x che li sintetizza tutti, il totale di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il totale. 2. Se il totale di X fosse diviso in parti uguali fra le unità di U, a ciascuna unità toccherebbe una quota di totale pari a x. Allora la media aritmetica equidistribuisce il totale di X sulle unità di U.

4 4 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi Avendo constatato che i giorni lavorativi sono stati 22 e che la produzione totale è stata di 60 kg di offelle, verifichiamo che: Esercizio 6.6 Variabile statistica X = Kg di formaggio: T otale X = x = k x f i = 2.73 = x = = x i f i p i Φ i Kg di formaggio Moda 48 Media 49 Mediana 48 La modalità più frequente è 48 kg, circa il 34% delle aziende produce in questa quantità, inoltre almeno il 50% delle aziende produce non più di 48kg che è un valore molto vicino alla produzione media (49 kg): tutto ciò indica una certa simmetria nella distribuzione. Funzione basata sugli scarti quadratici: (x i valor medio) 2 f i Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza: (x i x 0.5 ) 2 f i = (48 48) (48 48) 2 = 87 (x i moda) 2 f i = (48 48) (48 48) 2 = 87 (x i x) 2 f i = (48 49) (48 49) 2 = 73.56

5 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi 5 è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la media aritmetica è il valore medio che minimizza la funzione di perdita basata sugli scarti quadratici. Esercizio 6.7 Variabile statistica X = Ore passate giocando all aperto: x i f i p i Φ i Ore di gioco all aperto Moda 4 Media 2.75 Mediana 3 La modalità più frequente è 4 ore di gioco, circa il 33% bambini ne usufruisce, inoltre almeno il 50% esce a giocare non più di 3 ore che è un valore non molto lontano dal tempo medio trascorso all aperto a giiocare: tutto ciò indica che non c è una forte simmetria nella distribuzione. Funzione basata sugli scarti assoluti: x i valor medio f i Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza: x i moda f i = = 15 x i x 0.5 f i = = 11 x i x f i = = 11.5 è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la mediana è il valore medio che minimizza la funzione di perdita basata sugli scarti assoluti. Esercizio 6.8 Variabile statistica X = umero uova di struzzo:

6 6 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi x i f i p i Φ i umero uova di struzzo Moda 4 Media 3.7 Mediana 4 La modalità più frequente è 4 uova, circa il 40% degli struzzi ne produce in questa quantità, inoltre almeno il 50% degli animali produce non più di 4 uova che è un valore molto vicino alla produzione media (3.7 uova): tutto ciò indica una certa simmetria nella distribuzione. Funzione di perdita drastica : lim x i valor medio s f i Sostituendo i valori medi calcolati in precedenza: x i lim x i x 0 s lim x i x s lim x i x 0.5 s è possibile verificare i risultati teorici che dimostrano che la moda è il valore medio che minimizza la funzione di perdita drastica. Ovviamente, in questo caso, la mediana minimizza a sua volta la funzione di perdita ma solo perché il suo valore coincide con quello della moda.

7 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi 7 Esercizio 6.9 Il valore medio che sostituito ai valori osservati non altera il totale di una distribuzione è la media aritmetica. Per calcolarla si possono utilizzare direttamente i dati grezzi attribuendo a ciascuno frequenza unitaria: x = k x i f i = = 3.65 Il numero totale di parole, dato dalla somma dei dati grezzi: x i f i = = 73 resta invariato se sostituiamo a ciascuno di essi la media aritmetica: x f i = = = 73 Esercizio 6.10 Variabile statistica X = Giorni necessari per il confezionamento di un abito da sposa: x i f i da cui ricaviamo la variabile statistica Y = Velocità di confezionamento ( in vestiti al giorno) delle sarte: y i f i Per calcolare il valore medio della velocità di produzione che lasci inalterato il numero di giorni impiegati in totale per terminare i nove vestiti devo utilizzare la media armonica:

8 8 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi f i y i = = me tre la media aritmetica della velocità è pari a: x = k x i f i = = Se ora si procede con il calcolo del tempo impiegato per produrre i nove abiti: 9 = 585, 06 media armonica= media aritmetica= = si può notare che, al contrario della media aritmetica, la media armonica riproduce il valore iniziale dei giorni impiegati in totale per il confezionamento dei 9 abiti (essendo la piccola discrepanza esistente interamente dovuta ai limiti delle varie approssimazioni successive). Esercizio 6.11 Esercizio 6.12 Scegli la risposta (più) corretta V F V F F V V V V V 1. La moda x 0 di un fenomeno quantitativo rende minima la seguente funzione dei dati: lim k x i x 0 s f i 2. La funzione di perdita è una funzione dei dati che: formalizza la perdita di informazioni in cui si incorre sintetizzando l intera v.s. con un unico valor medio 3. La mediana x 0.5 di un fenomeno quantitativo minimizza la seguente funzione di perdita: k x i x 0.5 f i 4. La definizione di media armonica è:

9 Capitolo 6 - Soluzioni degli esercizi 9 k f i x i 5. La media aritmetica é anche media alla Chisini con invariante: Il totale: k x if i