Soluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 17/10/2013

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1 Istituto Superiore XXV aprile Pontedera - Prof Francesco Daddi Soluzioni verifica di Matematica 5 a E Liceo Scientifico - 7/0/03 Esercizio Si consideri la funzione e x+ se x < f(x) = 0 se x = x x x se x > Dire se la funzione è continua in x = ; in caso negativo individuare il tipo di discontinuità e stabilire se f è continua a destra o a sinistra Soluzione Calcoliamo il limite sinistro: lim x f(x) x e x+ = e = 0 si osserva ce, essendo f( ) = 0, la funzione è continua a sinistra; calcoliamo il limite destro: lim x +f(x) x x (x + )(x ) x + x x + ( + x)( x) (x + )(x ) x + ( + x)( x) = 3 il limite destro e quello sinistro sono finiti e distinti, quindi in x = si a una discontinuità di prima specie, con salto pari a ( lim x f(x) lim x +f(x) = 0 3 ) = 3 Esercizio Calcolare, in base alla definizione, la derivata della funzione f(x) = x + x nel suo punto di ascissa Soluzione In base alla definizione abbiamo f f(x 0 + ) f(x 0 ) ( + ) + ( + ) () = ( + 4) ( ) = 4 = ( ) = Esercizio 3 Calcola la derivata delle funzioni f(x) = ln(x ) x + Soluzione e g(x) = xe sin(4 x + x) f (x) = x x (x + ) ln(x ) x (x + ) = x(x + ) x(x )ln(x ) x (x + ) = = x x + (x )ln(x ) (x )(x + ) g (x) = e sin(4 x + x) + xe sin(4 x + x) cos(4 x + x) (8 x + ) = = e sin(4 x + x) + (8 x + x) cos(4 x + x)

2 Esercizio 4 Si consideri la curva y = 3 x x + a) Determinare le due rette tangenti al grafico parallele alla retta di equazione x+4 y 5 = 0 ; qual è la distanza tra le tangenti trovate? b) Determinare le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P(, 5) alla curva e si scriva l ampiezza in gradi e primi sessagesimali dell angolo acuto da esse formato Soluzione a) La derivata è y 7 =, quindi basta uguagliare al coefficiente angolare della retta assegnata: ( x + ) 7 ( x + ) = 7 x = 4 ; x = 3 i punti di tangenza sono T ( 4, ) e T (3, ) e le rispettive rette tangenti anno equazione y = x e y = x 7 4 La distanza tra queste rette può essere determinata scegliendo un punto qualsiasi della prima, ad 7 esempio T, e calcolando la sua distanza dalla seconda retta; svolgendo i calcoli si trova d = 7 ( 5 b) Preso il generico punto della curva A x 0, 3 x ) 0 la retta tangente a equazione x 0 + y 3 x 0 x 0 + = 7 ( x 0 + ) (x x 0); imponendo il passaggio per il punto P(, 5) si a l equazione in x x 0 x 0 + = 7 ( x 0 + ) ( x 0) ce è risolta per x 0 = 0 oppure per x 0 = Le rispettive rette tangenti anno equazioni y = 7 x + e y = 7 x 38 Per quanto riguarda l angolo acuto α da esse formato si a 7 tan α = ( 7) ( + 7 ) = 8 8 α = arctan ( 7) = Esercizio 5 Determinare la parabola γ passante per P(, 0) e tangente nel suo punto di intersezione con l asse delle ordinate alla retta y = x + 5 Si consideri la curva y = a x3 + b x + c x + d x + e x + f Determinare il valore dei parametri in modo ce la curva sia tangente alla parabola γ nel punto P(, 0) ed abbia come asintoti le rette y = x +, x = e x = Quali sono le ulteriori intersezioni della curva con la parabola γ? Soluzione La parabola a equazione del tipo y = a x x+ 5 ; imponendo il passaggio per P si trova a = ; l equazione della parabola γ, pertanto, è γ : y = x x + 5 ed essendo y = x, la sua retta tangente in P a pendenza uguale a y () = 3 Per quanto riguarda la curva da determinare, conviene subito imporre ce il denominatore abbia come radici x = e x =, trovando e =, f = Con la divisione polinomiale possiamo riscrivere l equazione della curva nel modo seguente: (3 a + b + c)x + a + b + d y = a x + a + b + x ; x poicé l asintoto obliquo deve avere equazione y = x +, deve risultare { a = a + b = { a = b =

3 L equazione della curva, per il momento, a la seguente forma: ed a derivata y = x3 x + c x + d x x y = x4 4 x 3 + ( c )x + (4 d)x + d c (x x ) I parametri restanti c, d sono determinati con le ultime due condizioni: passaggio per P(, 0) e derivata uguale a 3 in x = : 0 = + c + d 3 = 4 + ( c ) + (4 d) + d c ( ) Risolvendo il sistema si ricava c =, d = 3; in definitiva la curva a equazione y = x3 x + x 3 x x Intersecando la curva ottenuta con la parabola γ si a y = x3 x + x 3 x x y = x x + 5 x x + 5 = x3 x + x 3 x x y = x x + 5 x 4 37 x x + x 4 x x y = x x + 5 Sappiamo ce le due curve sono tangenti in P(, 0), quindi il polinomio x 4 37 x x + x 4 a x = come radice almeno doppia; tenendo conto di ciò possiamo fattorizzarlo nella forma ( x x 4)(x ) = 0 e risolvere l equazione di secondo grado nella seconda parentesi, trovando così x = 3, x = 8 ( Le ulteriori intersezioni tra le due curve, pertanto, sono i punti di coordinate (3, ) e 8, 3 ) 8 Esercizio 6 Determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti ad entrambe le curve y = lnx e y = lnx Soluzione Presi i punti T (x, lnx ) e T (x, lnx ) sulle due curve, scriviamo le equazioni delle rispettive rette tangenti: = 0 y = x (x x ) + lnx y = x x + lnx y = x (x x ) + lnx y = x x + lnx poicé le due rette devono coincidere, si a = x x lnx = lnx risolviamo la seconda equazione: x = x lnx + = ln( x ) lnx + = ln( x ) lnx + = ln + ln(x ) lnx + = ln + ln(x ) lnx = ln x = e ln x = e ln 4 = e 4, da cui x = e Esiste pertanto una sola retta tangente ad entrambe le curve assegnate, di equazione y = 4 e x ln 3

4 Esercizio 7 Determinare le derivate delle funzioni f(x) = cosx sin x e g(x) = x sin( x) 4 Si verifici ce le due curve anno, in punti di uguale ascissa, rette tangenti tra loro perpendicolari Soluzione Basta verificare ce il prodotto delle derivate è uguale a Si a il loro prodotto è f (x) = sin x, cos( x) g (x) = = ( sin x) = sin x; f (x) g (x) = sin x sin x = Esercizio 8 Si consideri la curva y = e x + e sia P un suo punto La retta tangente in P al grafico e la retta passante per P e parallela all asse y intersecano l asse x rispettivamente nei punti A e B a) Si dimostri ce, qualsiasi sia P, il segmento AB a lungezza costante b) Si trovi il punto P per cui la lungezza del segmento AP sia uguale a 5 Soluzione a) L equazione della retta tangente alla curva nel punto P(x 0, e x 0 + ) è y e x 0 + = e x 0 + (x x 0 ) L intersezione con l asse delle ascisse si trova risolvendo il sistema y e x 0 + = e x 0 + (x x 0 ) e x 0 + = e x 0 + (x x 0 ) y = 0 y = 0 la prima equazione si risolve così: ( ) e x 0 + x x0 + = 0 x = x 0 La curva assegnata interseca l asse x nel punto A(x 0, 0); il segmento AB a lungezza uguale a per ogni x 0 b) Si a ( ) (x 0 (x 0 )) + e x 0 ( ) + 0 = e x 0 ( ) + = e x 0 + = e ( x 0 +) = e x 0+ = 5 e x0+ = x 0 + = 0 x 0 = ; il punto P riciesto, pertanto, a coordinate P(, ) Esercizio Assegnata la curva y = a x 3 + b x + c x + d, determinare il valore dei parametri in modo ce passi per Q(0, ), abbia nel punto di ascissa 3 tangente parallela all asse delle ascisse e risulti tangente alla circonferenza x + y 0 x 4 y + = 0 nel punto P(, ) Soluzione Il centro della circonferenza è C(5, ) Per prima cosa osserviamo ce la tangente alla circonferenza nel punto P, essendo perpendicolare al raggio CP di pendenza 4, a pendenza uguale a 4 Dobbiamo imporre ce la curva passi per i punti Q(0, ) e P(, ), abbia derivata nulla in x = 3 ed abbia derivata uguale a 4 in x = Essendo la derivata y = 3 ax + bx + c, il sistema ce riassume tutte le condizioni descritte è il seguente: = d a = = a + b + c + d b = 5 0 = 7 a + 6 b + c c = 3 4 = 3 a + b + c d = la curva a pertanto equazione y = x 3 5 x + 3 x + 4

5 Esercizio 0 Determinare l equazione della retta tangente alla curva y = (x ) cos(x π) nel suo punto di ascissa x = π Si verifici ce la stessa retta è tangente alla curva ance nei punti di ascissa x = ( k + 3)π dove k è intero e 0 Soluzione Riscriviamo per prima cosa la funzione nel modo seguente: y = e ln(x )cos(x π) = e cos(x π)ln(x ) derivando si ottiene y = e cos(x π)ln(x ) sin(x π)ln(x ) + cos(x π) x ossia y = (x ) cos(x π) sin(x π)ln(x ) + cos(x π) x Poicé vogliamo determinare l equazione della retta tangente nel punto di ascissa π, basta sostituire x = π: = y cos(π π) (π) = (π ) sin(π π) }{{} =0 ln(π ) + cos(π π) = (π ) }{{} π = π = ; dal momento ce l ordinata del punto è π, la retta tangente a equazione y = x Per verificare ce la retta trovata è tangente alla curva ance nei punti indicati, è sufficiente verificare, sostituendo i valori delle ascisse, ce la curva e la retta anno la stessa ordinata e la stessa derivata (= ) Le ordinate sulla curva dei punti di ascissa x = ( k + 3) π sono = cos(( k + 3)π π) y(( k + 3)π) = (( k + 3)π ) = ( k + 3)π e coincidono, per ogni k, con le ordinate sulla retta y = x La derivata nei punti di ascissa x = ( k + 3)π è uguale a = (( k + 3) π ) cos(( k + 3) π π) sin(( k + 3) π π) ln(( k + 3) π ) + cos(( k + 3) π π) = }{{} ( k + 3) π =0 = = (( k + 3)π ) ( k + 3)π = ; ciò conclude positivamente la nostra verifica: la retta y = x, nei punti indicati, è tangente alla curva assegnata 5