Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio

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1 Appunti tratti dal videocorso di Elettrotecnica 1 del prof. Graglia By ALeXio Parte b Bipoli elettrici - potenza entrante Tensione e corrente su di un bipolo si possono misurare secondo la convenzione 1. degli utilizzatori 2. dei generatori Bipoli elettrici passività L energia w(t) fornita ad un bipolo è l integrale della potenza entrante; secondo la convenzione degli utilizzatori si ha: Il bipolo viene definito passivo se, qualunque sia la tensione o la corrente su di esso, per qualsiasi istante di tempo t l energia fornita al bipolo non è mai negativa Bipoli elettrici relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 3. memoria od assenza di memoria 4. tempo invarianza (dispositivo autonomo oppure no)

2 Tipo di comando a, b, c funzioni note del tempo: Linearità a, b, c funzioni note del tempo: Memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo Il bipolo ha memoria quando la relazione costitutiva riguarda anche valori di tensione o di corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t Invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende dal tempo Bipolo variabile nel tempo quando la relazione costitutiva è funzione del tempo

3 Resistore ideale Relazione costitutiva (convenzione degli utilizzatori): v(t)=+r i(t) Relazione costitutiva (convenzione dei generatori): v(t)=-r i(t) Bipolo passivo se la resistenza R > 0 La resistenza R ha dimensioni di Volt/Ampere e si misura in Ohm [Ω] Bipolo corto circuito quando la resistenza vale 0 ohm Se la resistenza è non nulla la relazione costitutiva può essere scritta con comando in tensione (convenzione dei generatori): i(t)=g v(t) dove G è la conduttanza (dimensioni Siemens). Il caso G =0 definisce il bipolo circuito aperto Il cortocircuito ed il circuito aperto consentono di definire il bipolo (tempo-variante) interruttore a sinistra: interruttore che si apre al tempo t - a destra: interruttore che si chiude al tempo t

4 Generatore ideale di tensione È il bipolo con tensione tra i suoi morsetti nota, qualunque sia la corrente che lo attraversa Relazione costitutiva: di solito si applica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra Un generatore ideale di tensione nulla, cioè un generatore ideale di tensione SPENTO, è equivalente ad un cortocircuito Relazione costitutiva: Generatore ideale di corrente È il bipolo con corrente che lo attraversa nota, qualunque sia la tensione tra i suoi morsetti Relazione costitutiva: di solito si applica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra Un generatore ideale di corrente nulla, cioè un generatore ideale di corrente SPENTO, è equivalente ad un circuito aperto Relazione costitutiva:

5 Principio di Equivalenza In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente Induttore ideale Relazione costitutiva: L è l induttanza, si misura in H [Henry] con convenzione utilizzatori L>0 Questo dispositivo ha memoria: L induttore ideale è un dispositivo reattivo

6 Condensatore ideale Relazione costitutiva: C è la capacità, si misura in F [Farad] con convenzione utilizzatori C>0 Questo dispositivo ha memoria: Il condensatore ideale è un dispositivo reattivo

7 Multipoli e multiporta Un multipolo è un dispositivo elettromagnetico accessibile dall esterno da più morsetti n+1 morsetti (n+1)-polo. Di solito si sceglie un morsetto di riferimento (morsetto zero in figura) e si definiscono le n tensioni rispetto al riferimento. Misurando positive le correnti entranti nei morsetti, KCL porge i0+i1+ +in=0 Multipoli La potenza elettromagnetica p entrante in un multipolo vale

8 L energia w(t) fornita al multipolo da - all istante t vale: Un multipolo si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasi valore del tempo t, l energia a lui fornita (quindi assorbita dal multipolo) non è mai negativa, cioè si ha sempre: Nel caso di multipoli lineari e privi di memoria la relazione costitutiva assume forma vettoriale: Esempio Per la rete di figura, calcolare la potenza che transita attraverso la sezione S-S Risposta: la potenza è quella entrante nel tripolo di morsetti 0, 1, e 2 che in figura si trova a destra della sezione S-S. Si ha p=v1 i1+v2 i2 con v1 = e1, v2 = e2, da cui p = e1 i1+e2 i2 KCL i1=ia+ic, i2=ib-ic ; KVL vc=e1-e2 costitutive ia=e1/r1, ib=e2/r2, ic=(e1-e2)/r3 Da cui la potenza p è conservativa in quanto p uguaglia la potenza assorbita dai tre resistori

9 Multiporta Un multiporta è un multipolo con un numero PARI di morsetti tutti organizzati a coppie Coppia la corrente entrante in un morsetto è uguale a quella uscente dall altro morsetto della coppia. Si dice PORTA ogni coppia di morsetti per cui vale la proprietà detta sopra. Un n -porte è anche un multipolo con 2n morsetti. Su ogni porta si definisce una corrente ed una tensione di porta, con KCL implicitamente soddisfatta. La corrente i e la tensione v dell n-porte sono vettori ad n componenti Le tensioni di porta non consentono di valutare la tensione fra un morsetto di una porta ed un morsetto di una porta diversa. La potenza elettromagnetica p entrante in un multiporta vale: L energia w(t) fornita al multiporta da - all istante t vale: Un multiporta si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasi valore del tempo t, l energia a lui fornita (quindi assorbita dal multiporta) non è mai negativa. Cioè si ha sempre: Una rete si dice passiva se, a prescindere dai generatori di tensione e di corrente in essa presenti, tutti gli altri elementi della rete sono passivi. Anche per i multiporta, se lineari e privi di memoria, vale la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva:

10 Conviene inoltre distinguere fra Multiporta NON Intrinseci i 2n morsetti del dispositivo risultano organizzati in n porte in conseguenza dei collegamenti esterni Multiporta Intrinseci le porte del multiporta sono a priori fisse e non variano anche se i collegamenti esterni variano conseguenza quando un multiporta intrinseco viene collegato ad altri dispositivi occorre prestare molta attenzione a non contrastare (violare) la KCL di porta Il multiporta topologicamente più semplice è l uni-porta, cioè il bipolo Un due-porte viene comunemente detto doppiobipolo (in figura si utilizza, porta per porta, la convenzione degli utilizzatori). Il doppio bipolo ha un numero di equazioni costitutive pari a quello del tripolo, cioè 2 equazioni scalari che legano tra loro le due tensioni di porta alle due correnti di porta Nella stragrande maggioranza dei casi il doppio bipolo viene realizzato da quadripoli con morsetti chiusi a coppie su bipoli (questi doppi bipoli sono, in generale, non intrinseci)

11 Principio di sostituzione Se in una determinata rete si sostituisce ad un elemento un secondo elemento avente le stesse relazioni costitutive del primo, tutte le grandezze elettriche definite sui vari morsetti dei multipoli della rete non cambiano. PRECISAZIONE: il secondo elemento si collega alla rete con lo stesso numero di morsetti del primo e le relazioni costitutive dei due elementi così considerati sono identiche rispetto alle stesse convenzioni di misura In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente Circuiti elementari Calcolare una rete significa calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi Il caso più semplice è quello dei due circuiti elementari di figura 2 equazioni Kirchhoff + 2 equazioni costitutive

12 Rete indeterminata e rete impossibile Rete indeterminata: quando non è possibile calcolare tutte le tensionie tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi. Si ottiene una rete indeterminata applicando in modo inappropriato il principio di sostituzione oppure per semplificazione eccessiva del modello circuitale Rete impossibile: quando una delle leggi di Kirchhoff viene violata Resistenza equivalente Si iniziano a considerare metodi per trattare reti contenenti un solo generatore supponiamo di voler calcolare la potenza erogata dal generatore nella rete in figura Il problema viene ricondotto al problema elementare in basso, in quanto il bipolo su cui è chiuso il generatore è in tutti e due i casi un bipolo RESISTIVO = lineare, privo di memoria, tempo invariante e comandato in tensione. Il problema è qui ricondotto a quello di calcolare la cosiddetta resistenza equivalente, Re misurabile tra i due morsetti a cui viene collegato il generatore

13 Connessione in serie di resistori Due (o più) resistori sono collegati in serie quando: 1. hanno a coppie un morsetto in comune 2. sono tutti attraversati dalla stessa corrente Tipicamente resistori in serie si presentano collegati come indicato in figura a sinistra Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in corrente si ricava che: la resistenza equivalente della serie di più resistori è la somma delle resistenze dei singoli resistori La serie di un resistore ed un circuito aperto è un circuito aperto infatti la conduttanza (G2) del circuito aperto è nulla

14 La serie del resistore R con un corto-circuito è equivalente al resistore di resistenza R infatti la resistenza del corto-circuito è nulla La resistenza equivalente alla serie di n resistori uguali di resistenza R vale Req=n R

15 Connessione in parallelo di resistori Due (o più) resistori sono collegati in parallelo quando: 1. tutti hanno uno stesso morsetto in comune 2. sono tutti sottoposti alla stessa tensione Tipicamente, più resistori in parallelo si presentano collegati come indicato in figura Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in tensione si ricava che: la conduttanza equivalente del parallelo di più resistori è la somma delle conduttanze dei singoli resistori A volte si preferisce esprimere il risultato del parallelo di più resistori in termini di resistenze Nel caso di due resistori in parallelo si ottiene: Il simbolo // introdotto per indicare l operazione di parallelo tra due grandezze scalari gode delle seguenti proprietà:

16 Il parallelo di un resistore R con un circuito aperto è equivalente al resistore di resistenza R infatti la conduttanza del circuito aperto è nulla Il parallelo di un resistore con un corto-circuito è equivalente ad un corto-circuito infatti la resistenza R2 del corto-circuito è nulla La resistenza equivalente al parallelo di n resistori uguali di resistenza R vale Req= R/n

17 Esempio Valutare la resistenza equivalente ai morsetti A-B Conviene per prima cosa dare un nome a tutti i nodi - punti in comune a DUE o più dispositivi (bipoli/multipoli). Evitando di etichettare il medesimo nodo con nomi diversi. Seguendo i cortocircuiti si riconosce che vi sono due punti che corrispondono al nodo A e due che corrispondono al nodo B Il circuito che rappresenta il bipolo di morsetti A-B può quindi essere ridisegnato come indicato in figura. E quindi si vede subito che RAB=R/3 Esempio Per acquisire dimestichezza, almeno nei primi esercizi, si consiglia anche di disegnare il generatore di prova. Ad esempio, per calcolare la resistenza RAB del bipolo di figura a sinistra conviene ragionare sul circuito come riportato in figura a destra, dove si è chiamato C il terzo nodo presente nella rete La resistenza del bipolo assegnato di morsetti A-B è quella osservata dal generatore di prova nello schema di destra. Tale resistenza vale 4 ohm

18 Esempio Ancora considerando il bipolo dell esempio precedente, cambiamo i morsetti di osservazione del bipolo da A-B A-C. E valutiamo la resistenza equivalente ai morsetti A-C Si noti come, rispetto all esempio precedente, si ottenga un valore di resistenza equivalente differente Si noti anche come convenga (a volte) disegnare il generatore di misura per comprendere quali resistori lavorano in serie e quali lavorano in parallelo

19 Le connessioni serie e parallelo sono le più comuni Se un bipolo è costituito da una rete di bipoli in cui le connessioni sono serie e parallelo, si dice che il bipolo è costituito da una rete a scala Viceversa, una rete è a scala se le connessioni tra i bipoli sono di tipo serie e parallelo Le reti con un solo generatore ed a scala sono tra le reti più semplici Reti non a scala Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo costituito dal triangolo di resistori con poli A, B, C. È possibile dimostrare che si ha l equivalenza con il tripolo a stella purchè i resistori del lati della stella abbiano resistenze di valore opportuno Trasformazione triangolo stella Trasformazione stella triangolo Un triangolo di resistenze uguali con resitenza di lato di valore R equivale ad una stella di resistenze uguali, con resistenza di ramo di valore r=r/3

20 Esempio Calcolare i(t) per e(t)=300 cos(t ) V - Soluzione: i(t) =e(t)/30=10 cos(t ) A Ma come trovo RAB=10 Ω? 1a Possibilità: Triangolo ACD in stella, con

21 2a Possibilità: Triangolo BCD in stella, con 3a Possibilità: Stella di centro C in triangolo, con

22 4a Possibilità: Stella di centro D in triangolo, con