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1 Es.: una moneta viene lanciata 3 volte. X = n. di T nei primi 2 lanci Y = n. di T negli ultimi 2 lanci X\Y /8 1/8 0 1/4 1 1/8 1/4 1/8 1/ /8 1/8 1/4 1/4 1/2 1/4 1 X e Y non sono indip. Se avessimo le due marginali date nella tabella, come dovrebbe essere la congiunta per avere X e Y indip.? X\Y /16 1/8 1/16 1/4 1 1/8 1/4 1/8 1/2 2 1/16 1/8 1/16 1/4 1/4 1/2 1/4 1 Sapendo che negli ultimi 2 lanci sono uscite 2 T, qual è la distrib. di probabilità del n. di T nei primi 2 lanci? P(X = 0 Y = 2) = 0 P(X = 1 Y = 2) = 1/8 1/4 = 1 2 P(X = 2 Y = 2) = 1/8 1/4 =

2 Es.: Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con funzione di ripartizione F(x, y) = { 0 x < 0 o y < 0 1 e x e y + e x y x 0 e y 0 Mostrare che X e Y sono indipendenti. F X (x) = lim F(x, y) = y + F Y (y) = lim F(x, y) = x + X, Y exp(1) { { 0 x < 0 1 e x x 0 0 y < 0 1 e y y 0 F X (x)f Y (y) = F(x, y) x, y IR X e Y indipendenti Es.: si lanciano 3 monete regolari. { 1 se T all i-mo lancio X i = 0 se C all i-mo lancio Calcolare la probabilità che X 1 +X 2 +X 3 = 2 X i Bernoulli( 2 1 ) indip. X 1+ X 2 + X 3 B(3, 2 1 ) P(X 1 +X 2 +X 3 = 2) = ( 3 2) ( 12 ) 2 12 = 3 18 =

3 Valor medio e momenti X v.a. a valori in IR: E(X) = xr p r X discreta IR xf(x)dx X ass. cont. media o valor medio o valore atteso o speranza matematica della v.a. X (se X discreta numerabile deve essere x r p r <, se X ass. cont. x f(x)dx < ) La media costuisce il baricentro della distribuzione, è la media pesata dei valori che la X può assumere se Y = g(x): E(Y ) = yf Y (y)dy = g(x)f X (x)dx = E(g(X)) E(Y ) = i y i f Y (y i ) = i g(x i )f X (x i ) = E(g(X)) Es.: X v.a. che assume i valori 0,1,2, con P(X = 0) = 1 4 ; P(X = 1) = 1 2 ; P(X = 2) = 1 4 E(X) = = 1 E(X 2 ) = =

4 Proprietà della media E(C) = C per ogni costante C E( i c i X i ) = i c i E(X i ), c i costanti X i, i = 1,2,... n v.a. indipendenti E( i X i ) = i E(X i ) E( XY ) 2 E(X 2 )E(Y 2 ) (disuguaglianza di Schwartz) E( X ) 2 E(X 2 ) Momento k-esimo: µ k = E(X k ) = i x k i p i IR xk f(x)dx X discreta X continua µ 0 = E(X 0 ) = 1 µ 1 = E(X 1 ) = µ se la distribuzione di X è simmetrica (cioè f X (x) = f X ( x) nel caso X ass. cont.) µ k = 0 per k dispari 99

5 Momenti rispetto alla media (o momenti centrali): µ k = E ( (X µ 1 ) k) = E ( (X E(X)) k) µ 1 = E(X E(X)) = E(X) E(X) = 0 µ 2 = E ( (X E(X)) 2) si chiama varianza e si indica con σx 2, σ2 (X), V ar(x), var(x) ; è una misura di dipersione σ X = σx 2 si dice deviazione standard o scarto quadratico medio Proprietà della varianza var(c) = 0 per ogni costante C var(ax+b) = a 2 var(x) per ogni a, b costanti X i, i = 1,2,..., n v.a. indipendenti var( i X i ) = i var(x i ) var(x) = E ( (X E(X)) 2) = E(X 2 ) 2E(X)E(X) + (E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 100

6 Se X e Y sono indipendenti var(x + Y ) = E ( [X + Y E(X + Y )] 2) = E ( [X E(X) + Y E(Y )] 2) = var(x)+var(y )+2E ([X E(X)][Y E(Y )]) = var(x) + var(y ) La quantità E ([X E(X)][Y E(Y )]) di dice covarianza: Cov(X, Y ) o cov(x, Y ). cov(x, Y ) = E ([X E(X)][Y E(Y )]) = E(XY ) E(X)E(Y ) E(X)E(Y )+E(X)E(Y ) Se cov(x, Y ) = 0 X e Y si dicono non correlate, altrimenti correlate. Se due v.a. sono indipendenti, allora sono non correlate. Non vale il viceversa. Esistono v.a. non correlate che non sono indipendenti. Es.: (X, Y ) v.a. doppia con X\Y /4 0 1/4 0 1/4 0 1/4 1/ /4 0 1/4 1/4 1/2 1/

7 X e Y non sono indipendenti E(XY ) = 1 0 1/4 + 0 ( 1) 1/ / /4 = 0 E(X) = 1 1/ /4 = 0 E(Y ) = 1 1/ /4 = 0 cov(x, Y ) = 0 (X e Y non correlate) var(x) = 0 sse X assume con probabilità 1 un solo valore e cioè la sua media, infatti E (X E(X)) 2 = 0 sse X E(X) = 0 con probabilità 1. X v.a. con media µ e deviazione standard σ, Y = X µ σ ha media 0 e varianza 1. Y si dice v.a. standardizzata. X Bernoulli(p) E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 0 (1 p) + 1 p p 2 = p(1 p) = pq 102

8 X B(n, p) X = n i=1 X i dove gli X i sono v.a. di Bernoulli indip. con la stessa p E(X) = n i=1 E(X i ) = np var(x) = n i=1 var(x i ) = npq Es.: si lancia una moneta regolare 10 volte. Qual è il n. atteso di T? X = n. di T X B(10,1/2) E(X) = = 5, var(x) = = 2.5 X Geo(p) E(X) = kpq k 1 = pq k 1 + (k 1)pq k 1 = 1+q (k 1)pq k 2 = 1+q j=1 jpq j 1 E(X) = 1 + qe(x) E(X) = 1/p E(X 2 ) = k 2 pq k 1 = (k 1+1) 2 pq k 1 = [(k 1) 2 + 2k 1]pq k 1 = (k 1) 2 pq k 1 + 2E(X) 1 = q j=1 j 2 pq j 1 + 2/p 1 = qe(x 2 ) + 2/p 1 E(X 2 ) = (2/p 1)/p = (2 p)/p 2 var(x) = (2 p)/p 2 1/p 2 = q/p 2 (var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 ) 103

9 Es.: valore atteso del numero di anni per una vincita alla lotteria nazionale se p = probabilità di vincita annuale: 1/p = anni! X P(λ) E(X) = k=0 ke λ λ k /k! = λe λ λ k 1 /(k 1)! = λe λ e λ = λ E(X 2 ) = k=0 k 2 e λ λ k /k! = ke λ λ k /(k 1)! = λ [(k 1) + 1]e λ λ k 1 /(k 1)! = λ [ j=0 je λ λ j /j! + j=0 e λ λ j /j! ] = λ 2 + λ var(x) = λ 2 + λ λ 2 = λ anche passando al limite della B(n, p), np = λ si ottiene E(X) = lim n np = λ e var(x) = lim n np(1 p) = lim n λ(1 λ/n) = λ Se il numero di arrivi in un intervallo di tempo è P(λ), λ è il valore atteso del numero di arrivi. 104

10 X U(a, b) (uniforme in [a, b]) E(X) = b 1 a b a xdx = b2 a 2 = (a + b)/2 2(b a) E(X 2 ) = b x 2 a b a dx = b3 a 3 3(b a) = a2 +b 2 +ab 2 var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (b a) 2 /12 X gamma(λ, ν) E(X) = ν/λ e var(x) = ν/λ 2 (con integrazione per parti) se ν = 1 (variabile esponenziale) E(X) = 1/λ e var(x) = 1/λ 2 X N(0,1) E(X) = 0 per la simmetria var(x) = 1 (integrando per parti) Y N(µ, σ 2 ) E(X) = µ, var(x) = σ 2 Es.: X = n. uscito nel lancio di un dado Qual è il valore atteso di X? E(X) = = 21 6 = 3.5 E(X 2 ) = = var(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = (3.5) 2 =

11 Es.: qual è il n. atteso di 6 nel lancio di 3 dadi? X = n. di 6 X B(3, 1 6 ) E(X) = 3 16 = 1 2 Es.: il tempo di attesa in minuti di un certo autobus è una v.a. continua con densità f(x) = 1/2 0 < x < 1 1/4 2 < x < 4 0 altrove Qual è il valore atteso del tempo di attesa? E(X) = 1 0 = = xdx xdx = [ ] x = e 45 + [ ] x Es.: da un casello autostradale passano in media 200 veicoli all ora. L 1% sono TIR. Calcolare il n. atteso di TIR in un ora. X = n. di TIR X B(200, ) E(X) = = 2 106

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