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1 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In un azienda produttrice di wafer di silicio viene monitorato lo spessore dei wafer prodotti, che secondo le specifiche di produzione deve essere di 0,5mm. Lo spessore varia secondo una distribuzione gaussiana, con deviazione standard pari a Viene effettuato un campionamento di 12 pezzi in un certo lotto, e si sono registrati i seguenti valori: ) Stimare la media, evidenziando la differenza tra parametro, stimatore e stima. 1.2) Calcolare un IdC per la media, di livello 92%. Si tratta di un IdC esatto o approssimato? Motivare la risposta. 1.3) Costruire un test bilaterale per la media, con α=8%, indicando la statistica test e la regione di rifiuto. 1.4) Calcolare il test ed il p-value. Commentare. 2) In un azienda produttrice di automobili si vogliono studiare i guasti più frequenti, che vengono pertanto monitorati nell arco del primo anno di vita delle automobili su un campione di 2000 vetture, risultando i seguenti: Motore Freni Impianto Lampadine Frizione Centralina Altro elettrico ) Riportare i dati su un opportuno grafico, evidenziando anche le quantità cumulate. Commentare. 2.2) Calcolare un IdC di livello 80% per la probabilità di guasti al motore nel primo anno. 2.3) Ipotizzando che le probabilità di guasto durante gli anni successivi al primo aumenti secondo il modello p (t) = p (1) x e (t-1) x 0.05, ove t rappresenta il tempo in anni, fornire un intervallo di confidenza del numero di guasti al motore attesi al quinto anno sul totale del parco macchine circolanti, pari a

2 Continua sul retro 3 ) In un controllo in corso di produzione si sono osservati, in 6 istanti temporali, i seguenti campioni di numerosità 3 di una certa variabile Y rappresentante il peso delle confezioni di un dato prodotto. T1 T2 T3 T4 T5 T ) Calcolare le stime della media e del range per i 6 istanti temporali, riportarli su un grafico e commentare. 3.2) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma per media e range. 3.3) Tracciare le CCM e CCR, riportando la linea centrale (CL) e i valori osservati. 3.4) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

3 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In un PP viene prodotto, in media, un pezzo difettoso ogni 40 pezzi. Il massimo tasso di difettosi ammesso, che definisce il limite di specifica superiore - USL, è di 1 pezzo difettoso ogni 30, ed il tasso minimo di difettosi imposto dalle leggi fisiche di produzione è di 1 su 100, e definisce il LSL. 1.1) Calcolare la percentuale di pezzi fuori dai limiti di specifica. 1.2) Calcolare il Process Capability Ratio. 1.3) Considerando che il tasso di difettosi possa salire oltre 1/30, costruire un test che provi l uscita di controllo del PP rispetto al USL, con errore di prima specie del 10%. 1.4) Assumendo ora che il tasso di difettosi sia salito a 2/40, calcolare quanto deve essere numeroso il campione affinché il test precedente abbia potenza del 80%. 2) In un azienda produttrice di conserve ittiche viene monitorato il peso netto delle confezioni di acciughe sotto sale, che secondo le specifiche di produzione deve essere di 350gr. Il peso varia secondo una distribuzione che si assume gaussiana. Viene effettuato un campionamento di 10 pezzi in un certo lotto, e si sono registrati i seguenti valori: ) Costruire il boxplot dei dati e commentare rispetto alle specifiche di produzione. 2.2) Calcolare un IdC per la media, di livello 90%. Si tratta di un IdC esatto o approssimato? Motivare la risposta. 2.3) Costruire un test bilaterale per la media, con α=5%, indicando la statistica test e la regione di rifiuto. 2.4) Calcolare il test e, almeno approsimativamente, il p-value. Commentare.

4 CONTINUA SUL RETRO 3) Si vuole monitorare il tasso dei pezzi difettosi in un PP che fornisce carte SIM per telefonini. Le specifiche di produzione impongono che tale tasso non si discosti dal 8%. Si controllano quindi in 10 istanti successivi dei campioni di numerosità 50, che hanno fornito i seguenti totali di pezzi difettosi: istanti i # (X_ij=1) j= ) Calcolare le stime della frequenza dei pezzi difettosi per i 10 istanti temporali. 3.2) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma considerando le specifiche di progetto. 3.3) Tracciare la CC riportando la linea centrale (CL), i limiti di controllo e le frequenze osservate. 3.4) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti. 3.5) Quali sarebbero state le ipotesi statistiche dei test nei diversi istanti se non si fosse tenuta in considerazione la specifica di progetto del 8%?

5 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) Il peso effettivo del contenuto di una confezione di pasta (X) si distribuisce in modo gaussiano, con media 250 e varianza pari a 25. Per un controllo di produzione si effettua un campionamento di 5 scatole e si calcola la media dei 5 pesi effettivi. 1.1) Calcolare la probabilità che X sia maggiore di 256 o minore di ) Calcolare la probabilità che la media campionaria sia maggiore di 256 o minore di ) Calcolare la numerosità campionaria che consente di alla media campionaria di essere compresa tra 246 e 254 con probabilità del 99%. 2) Durante un CQ in corso di produzione viene campionato un lotto di 6 pacchi di farina, il cui peso netto nominale del contenuto è pari a 1kg. I pesi, in kg, sono riportati sotto ) Produrre un grafico che fornisca una prima indicazione rispetto alle specifiche di produzione e commentare. 2.2) Supponendo che la dev.st. sia pari a 0,1kg, calcolare un IdC per la media di livello di confidenza 95%, dopo aver opportunamente definito le formule. 2.3) Ripetere il punto precedente senza assunzioni sul valore della dev.st., ossia sulla base della stima della stessa. 2.4) Commentare i due risultati rispetto alle specifiche di produzione. 2.5) Se, a parità di stime osservate, il campione fosse stato di 10 pacchi, come sarebbe cambiato l IdC di cui al punto 2.2)? Commentare. CONTINUA SUL RETRO

6 3) Si vuole monitorare il tasso dei pezzi difettosi in un PP che fornisce schermi tattili per telefonini. Le specifiche di produzione impongono che tale tasso non si discosti dal 5%. Si controllano quindi in 8 istanti successivi dei campioni di numerosità 50, che hanno fornito i seguenti totali di pezzi difettosi: istanti i # (X_ij=1) j= ) Calcolare la stima del tasso globale di difettosi del PP, effettuare un test con errore alfa 10% ponendo come ipotesi nulla la specifica di progetto; calcolare il p-value e commentare il risultato. 3.2) Calcolare le stime della frequenza dei pezzi difettosi per gli 8 istanti temporali e riportare l informazione in un opportuno grafico. 3.3) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma considerando le specifiche di progetto. 3.4) Tracciare la CC riportando la linea centrale (CL), i limiti di controllo e le frequenze osservate. 3.5) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

7 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In una linea di produzione di automobili si vogliono studiare le cause di arresto, che risultano, in un dato arco temporale, 1926 e la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente: Carro 1 Carro 2 Carro 3 Tavola Carro Pick-up Operazioni basculante trasporto precotto errate tessuto ) Riportare i dati su un opportuno grafico, con il fine di evidenziare la cause di arresto più frequenti. Mostrare anche le quantità cumulate. Commentare. 1.2) Calcolare un IdC di livello 90% per il tasso di causa di arresto più frequente tra quelli osservati. 1.3) Si tratta di un IdC esatto o approssimato? Motivare la risposta. 1.4) Ipotizzando che la più frequente causa di arresto abbia una probabilità di manifestarsi pari al 40%, calcolare la probabilità che su 10 arresti (tra di loro indipendenti) almeno 3 siano dovuti a tale causa. 2) In un azienda produttrice di conserve alimentari viene monitorato il peso del contenuto delle lattine di un dato prodotto, che secondo le specifiche di produzione deve essere, mediamente, non inferiore a 0.35kg. Il peso varia secondo una distribuzione gaussiana, con deviazione standard pari a Viene effettuato un campionamento di 10 pezzi in un certo lotto, e si sono registrati i seguenti valori: CONTINUA SUL RETRO

8 2.1) Stimare la media del peso del contenuto, evidenziando la differenza tra parametro, stimatore e stima. 2.2) Costruire un test per la media, con α=5%, indicando la statistica test e la regione di rifiuto. 2.3) Calcolare il test ed il p-value. Commentare, anche in relazione alle specifiche di produzione. 2.4) Assumendo che la media di popolazione (ossia la media del peso del PP) coincida con la stima osservata, calcolare quanto deve essere numeroso il campione (con passo 5) affinché il test precedente abbia potenza pari a 80%, almeno approssimativamente. 3) In un certo PP è di interesse tenere sotto controllo esclusivamente la varianza, che le specifiche di produzione vorrebbero uguale a 4,1209. Le specifiche prevedono altresì che la media sia pari a 5,02. Per questo viene effettuato un campionamento in 7 istanti temporali, con campioni di numerosità 6 ad ogni istante. I dati seguono. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 Somma Somma quadrati ) Produrre un grafico a dispersione della stima della varianza nel tempo, ed uno della stima della media nel tempo. Effettuare un primo commento in relazione alle specifiche di produzione. 3.2) Al fine di costruire una CC per la varianza, calcolare i limiti di controllo con alfa = 10%; esplicitare inoltre il valore di riferimento della varianza (central line CL). 3.3) Tracciare la CC per la varianza, riportando le linee di riferimento (LCL, CL, UCL) ed i valori delle stime. 3.4) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti e commentare, anche in relazione al commento effettuato al punto 3.1).

9 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) Un processo produttivo fornisce parti della scocca di un automobile, lo spessore delle quali, purtroppo, varia. La distribuzione di probabilità dello spessore è gaussiana, con media µ e sigma pari a 0.05mm. 1.1) Calcolare la probabilità che lo spessore di un singolo pezzo prodotto si allontani dalla media di più di 0.07mm. 1.2) Facendo un campionamento di 12 pezzi, calcolare la probabilità che la media campionaria commetta un errore di più di 0.07mm. Commentare il risultato. 1.3) Rappresentare graficamente le gaussiane che riguardano: a) la distribuzione dello spessore del singolo dato estratto; b) la distribuzione dello spessore della media campionaria con n=12; si assuma la media pari 22micron. 1.4) Il campione di 12 dati ha fornito i seguenti valori, raggruppati in classi: classe Freq Costruire l istogramma basato sui dati di cui sopra e sovrapporlo alle gaussiane precedenti, in modo che le aree delle gaussiane e dell istogramma siano confrontabili. Commentare il grafico finale in relazione all assunzione di gaussianità ed a quella sul valore della media.

10 CONTINUA SUL RETRO 2) In un PP il massimo tasso di difettosi ammesso dalle specifiche di produzione è di 1 pezzo difettoso ogni 30 pezzi prodotti. 2.1) Supponendo di effettuare un campionamento di 50 pezzi, costruire un opportuno test statistico con probabilità dell errore di I specie pari al 5%, indicando statistica test, regione di accettazione e di rifiuto. 2.2) Il campionamento viene quindi effettuato, e si registrano 4 pezzi difettosi su 50. Calcolare la stima del tasso di difettosi e fornire un primo commento rispetto alle specifiche di produzione. 2.3) Calcolare il test, il p-value e commentare. 2.4) Assumendo che il tasso di difettosi sia di 3/50, calcolare quanto deve essere numeroso il campione affinché il test precedente abbia potenza del 80%. 3 ) In un controllo in corso di produzione si sono osservati, in 6 istanti temporali, i seguenti campioni di numerosità 3 di una certa variabile Y. La specifica di produzione richiede che la media sia pari a 7. T1 T2 T3 T4 T5 T6 7,1 6,7 7,1 7,0 6,7 7,0 6,5 7,0 6,8 7,1 6,9 7,1 7,2 7,1 7,0 7,0 7,2 6,8 3.1) Calcolare le stime della media per i 6 istanti temporali, riportarle su un grafico e commentare rispetto alle specifiche di produzione. 3.2) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma per media e deviazione std. 3.3) Tracciare le CCM e CCS, riportando la linea centrale (CL) e i valori osservati. 3.4) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

11 Statistica per l azienda Prova parziale del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In un azienda produttrice di wafer di silicio viene monitorato lo spessore dei wafer prodotti, che secondo le specifiche (ossia quando il processo è sotto controllo) deve essere di media pari a 0,5mm e deviazione standard pari a 0.025mm. Vengono considerati difettosi i pezzi che si allontanano dalla media di più di 0.04mm. 1.1) Assumendo cha la distribuzione dello spessore sia gaussiana, calcolare la percentuale di pezzi difettosi quando il PP è sotto controllo. Calcolare inoltre la quantità di difettosi attesa su 50 pezzi prodotti. 1.2) Viene effettuato un campionamento di 50 pezzi, da cui ne risultano 11 difettosi. Calcolare una stima della reale percentuale di difettosi (p) ed effettuare un primo commento. 1.3) Costruire un test per p, con α=10%, indicando le ipotesi, la statistica test e la regione di rifiuto. 1.4) Calcolare il test ed il p-value. Commentare.

12 2) Due PP lavorano in parallelo, fornendo conserve alimentari del peso netto nominale di 400g. In realtà il peso dei due PP varia, in entrambi i casi con distribuzione gaussiana. Viene effettuato un campionamento di numerosità 19 da ogni linea, e si sono ottenuti i seguenti dati: PP1 PP , ,4 378, ,1 378, ,6 385, ,1 387, ,1 387, , ,2 392, ,8 397, ,9 400, ,1 402, , ,9 404, ,3 406, , ,8 411, ,5 424, ,4 431,9 Somma 7591,2 Somma^ ) Riportare i dati su un grafico utilizzando i boxplot. Commentare rispetto alle specifiche di produzione e rispetto alle differenze tra linee di produzione. 2.2) Calcolare un IdC di livello 95% per media di PP2. Commentare rispetto alle specifiche di produzione. Trattandosi di un IdC esatto, fornisce sempre risultati giusti? 2.3) Le specifiche impongono che la dev.st. dei PP sia al massimo di 14g. Costruire un test per la varianza di PP2, con α=5%, indicando le ipotesi, la statistica test e la regione di rifiuto. 2.4) Calcolare il test ed il p-value approssimato. Commentare.

13 Statistica per l azienda COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In un PP si suppone venga prodotto un pezzo difettoso ogni 40 pezzi. Da un campione di 200 pezzi ne risultano difettosi ) Calcolare il numero atteso di pezzi difettosi nel campione e commentare rispetto al campione osservato. 1.2) A partire dal campione di cui si dispone, costruire un IdC per il vero tasso di difettosi, con probabilità di errore del 5%, e calcolarne una realizzazione. Commentare. 1.3) Considerando che il tasso di difettosi possa andare fuori controllo e salire oltre 1/40, costruire (ma non calcolare) un test che provi l eventuale uscita di controllo del PP, con errore di prima specie del 10% e sulla base di un campione analogo a quello osservato, ossia con medesima numerosità campionaria. 1.4) Calcolare quanto deve essere numeroso il campione affinché il test precedente abbia potenza del 80%, avendo assunto che il tasso di difettosi sia salito a 2/40. 2) Durante un CQ in corso di produzione viene campionato un lotto di 6 pacchi di farina da ognuna delle due linee di produzione. Il peso netto nominale del contenuto è pari a 1kg. I pesi della prima linea di produzione, in kg, sono riportati nella prima riga della tabella, mentre nella seconda sono riportate le statistiche riassuntive della seconda linea di produzione. I linea II linea Media: Q1: 0.97 Q2: 1.01 Q3: 1.05 Min: 0.96 Max: 1.08

14 2.1 ) Produrre un grafico che fornisca una prima indicazione del comportamento delle distribuzioni delle due linee di produzione rispetto alle specifiche di produzione e commentare. 2.2) Supponendo che la dev.st. di entrambe le linee sia pari a 0,06kg, costruire un test per valutare se vi è differenza tra le medie, con errore di I specie del 10%. 2.3) Calcolare l esito del test, il p-value e commentare, anche rispetto alle specifiche di produzione. 2.4) Se, a parità di stime osservate, il campione fosse stato di 50 pacchi, sarebbe cambiato l esito del test? Commentare. 3 ) In un controllo in corso di produzione si vuole monitorare la lunghezza X dei bulloni prodotti, che deve essere di media 10cm. Si sono osservati, in 7 istanti temporali, i seguenti campioni di numerosità 3: T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 10,00 10,00 10,04 10,04 10,00 10,00 10,01 10,03 9,94 10,02 10,07 9,99 10,05 9,91 9,94 9,96 9,91 10,00 9,99 9,98 9,94 Somme 29,97 29,90 29,98 30,12 29,98 30,03 29,85 Somme dei quadrati 299,37 298,09 299,57 302,39 299,60 300,67 297, ) Calcolare le stime della media e della deviazione standard per i 7 istanti temporali, riportarli su opportuni grafici e commentare. 3.2) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma per la deviazione standard. 3.3) Tracciare la CCS, riportando la linea centrale (CL) e i valori osservati. 3.4) Verificare se la variabilità del PP è sotto controllo a tutti gli istanti. 3.5) Considerando che i limiti di specifica sono dati da 10 ± 0,15, calcolare un opportuno indice di capacità di processo, che sia basato sui dati rilevati nel PP e considerando che lo stesso PP può essere non centrato. Commentare il risultato, eventualmente fornendo un grafico esplicativo.

15 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Teoria 1) Grafici di Pareto e Boxplot: descriverli brevemente ed evidenziarne i differenti contesti applicativi. 2) CC per la deviazione standard (CCS): fondamenti teorici e costruzione della stessa. Esercizi 1) Il peso effettivo del contenuto di una confezione di riso (X) si distribuisce in modo gaussiano, con media 1Kg e deviazione standard pari a 0,035Kg. Per un controllo di produzione si effettua un campionamento di 4 scatole e si calcola la media dei 4 pesi effettivi. 1.1) Calcolare la probabilità che X sia maggiore di 1,05 o minore di 0, ) Calcolare la probabilità che la media campionaria sia maggiore di 1,05 o minore di 0, ) Calcolare la numerosità campionaria che consente alla media campionaria di essere compresa tra 0,95 e 1,05 con probabilità del 99,5%. 2) Durante un CQ in corso di produzione viene campionato un lotto di 8 sacchi di patate da ognuna delle due linee di produzione. Il peso netto nominale del contenuto è pari a 2kg. I pesi della prima linea di produzione, in kg, sono riportati nella prima riga della tabella, mentre nella seconda sono riportate le statistiche riassuntive della seconda linea di produzione I linea II linea Media: 2.02 Q1: Q2: 2.01 Q3: 2.06 Min: 1.96 Max: 2.09 a. Produrre un grafico che fornisca una prima indicazione del comportamento delle distribuzioni delle due linee di produzione rispetto alle specifiche di produzione e commentare. b. Supponendo che la dev.st. di entrambe le linee sia pari a 0,06kg, costruire un test per valutare se vi è differenza tra le medie, con errore di I specie del 8%. c. Calcolare l esito del test, il p-value e commentare. d. Se, a parità di stime osservate, il campione fosse stato di 50 pacchi, sarebbe cambiato l esito del test? Commentare. CONTINUA SUL RETRO

16 3) Si vuole monitorare il tasso dei pezzi difettosi in un PP che fornisce interruttori per telefonini. Le specifiche di produzione impongono che tale tasso non si discosti dal 4%. Si controllano quindi in 8 istanti successivi dei campioni di numerosità 40, che hanno fornito i seguenti totali di pezzi difettosi: # (X_ij=1) j= ) Calcolare la stima del tasso globale di difettosi del PP, effettuare un test con errore alfa 10% ponendo come ipotesi nulla la specifica di progetto; calcolare il p-value e commentare il risultato. 3.2) Calcolare le stime della frequenza dei pezzi difettosi per gli 8 istanti temporali e riportare l informazione in un opportuno grafico. 3.3) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma considerando le specifiche di progetto. 3.4) Tracciare la CC riportando la linea centrale (CL), i limiti di controllo e le frequenze osservate. 3.5) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

17 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) La frequenza dei pezzi difettosi prodotti in una fabbrica di telefoni cellulari è incognita. Per questo motivo in un controllo di produzione si effettua un campionamento di 40 pezzi e si calcola la frequenza osservata, X. Assumiamo che la frequenza incognita sia del 15%. 1.1) Calcolare la probabilità che X sia maggiore di 17% o minore di 13%. 1.2) Se si raddoppia la numerosità campionaria, la probabilità di cui al punto precedente aumenta anch essa? Raddoppia? Motivare la risposta. 1.3) Calcolare la numerosità campionaria che consente alla frequenza campionaria di essere compresa tra 13% e 17% con probabilità del 98%. 2) La seguente tabella riporta le cause di guasto registrate in 5 anni in una linea di produzione di aeromobili: Carrello 1 Carrello 2 Cristalli Struttura Ali e flaps Elettronica Operazioni errate ) Riportare i dati su un opportuno grafico, con il fine di evidenziare la cause di guasto più frequenti. Mostrare anche le quantità cumulate. Commentare. 2.2) Calcolare un IdC al 90% per la probabilità di causa di guasto più frequente tra quelli osservati. 2.3) Si tratta di un IdC esatto o approssimato? Motivare la risposta. 2.4) Effettuando un opportuno test statistico, con probabilità dell errore di I specie fissata al 10%, si può ipotizzare che la più frequente causa di guasto abbia una probabilità di manifestarsi, rispetto alle altre tipologie di guasto, non superiore al 40%? CONTINUA SUL RETRO

18 3) In un CQ in corso di produzione sul peso netto del contenuto di capsule medicinali (la cui specifica di produzione è di 5 grammi per capsula) si sono osservati, in 8 istanti temporali, le seguenti stime campionarie di media e dev.std, sulla base di campioni di numerosità 12: Media Dev.std ) Calcolare le stime della media e della deviazione standard globali, commentare rispetto alle specifiche di produzione. 3.2) Calcolare i limiti (UCL, LCL) delle CC a 3-sigma per la media e per la deviazione standard. 3.3) Tracciare le CCM e CCS, riportando le linee centrali (CL) ed i valori osservati. 3.4) Verificare se il PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

19 Statistica per l azienda Esame del COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato immediatamente alla consegna. Deve inoltre essere riconsegnato alla fine dell esame. Lo studente deve fornire i diversi passaggi dei calcoli eseguiti e i commenti richiesti. E' vietato l'uso di calcolatrici programmabili o con funzione di agenda elettronica. Esercizi 1) In un azienda produttrice di biscotti viene monitorato il tasso di difettosi, che secondo le specifiche (ossia quando il processo è sotto controllo) deve essere non superiore al 10%. 1.1) Viene effettuato un campionamento di 500 pezzi, da cui ne risultano 112 difettosi. Calcolare una stima della reale percentuale di difettosi (p) e commentare rispetto al massimo numero di difettosi atteso quando il PP è sotto controllo. 1.2) Costruire un test per p, con α=10%, indicando le ipotesi, la statistica test e la regione di rifiuto. 1.3) Calcolare il test ed il p-value. Commentare. 2) In un controllo in corso di produzione si vuole monitorare la lunghezza X dei bulloni prodotti, che deve essere di media 10cm. Si sono osservati, in 7 istanti temporali, i seguenti campioni di numerosità 3: T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 10,00 10,00 10,04 10,04 10,00 10,00 10,01 10,03 9,94 10,02 10,07 9,99 10,05 9,91 9,94 9,96 9,91 10,00 9,99 9,98 9,94 Somme 29,97 29,90 29,98 30,12 29,98 30,03 29,85 Somme dei quadrati 299,37 298,09 299,57 302,39 299,60 300,67 297,02 2.1) Calcolare le stime della media e della deviazione standard per i 7 istanti temporali, riportarli su opportuni grafici e commentare. 2.2) Calcolare i limiti della CC a 3-sigma per la deviazione standard. 2.3) Tracciare la CCS, riportando la linea centrale (CL) e i valori osservati. 2.4) Verificare se la variabilità del PP è sotto controllo a tutti gli istanti.

20 3) Due PP lavorano in parallelo, fornendo pacchi di pasta del peso netto nominale di 500g. In realtà il peso dei due PP varia, in entrambi i casi con distribuzione gaussiana. Viene effettuato un campionamento di numerosità 19 da ogni linea, e si sono ottenuti i seguenti dati: PP1 PP , ,4 478, ,1 478, ,6 485, ,1 487, ,1 487, , ,2 492, ,8 497, ,9 500, ,1 502, , ,9 504, ,3 506, , ,8 511, ,5 524, ,4 531,9 Somma 9491,2 Somma Dei quad ) Riportare i dati su un opportuno grafico, al fine di commentare rispetto alle specifiche di produzione e rispetto alle differenze tra linee di produzione. 3.2) Calcolare un IdC di livello 92% per la media di PP2. Commentare rispetto alle specifiche di produzione. Trattandosi di un IdC esatto, fornisce sempre risultati giusti? 3.3) Le specifiche impongono che la dev.st. dei PP sia al massimo di 16g. Costruire un test per la varianza di PP2, con α=10%, indicando le ipotesi, la statistica test e la regione di rifiuto. 3.4) Calcolare il test ed il p-value approssimato. Commentare.