Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/ : Semantica della logica del prim ordine. Universitá di Bologna
|
|
- Aloisia Carmela Pieri
- 9 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Linguaggi 18: Semantica della logica del prim ordine Universitá di Bologna 11/04/2011
2 Outline Semantica della logica del prim ordine 1 Semantica della logica del prim ordine
3 Semantica Wikipedia:...
4 Semantica classica della logica del prim ordine Al fine di definire la semantica classica di un linguaggio del prim ordine è necessario prima individuare la forma appropriata per le descrizioni dei mondi. La semantica classica associa: A ogni connotazione proposizionale un valore di verità {0, 1} A ogni connotazione che è un termine un elemento del dominio delle denotazioni per i termini Inoltre, come nel caso proposizionale, un mondo deve fissare esclusivamente la semantica delle formule atomiche (costanti, funzioni, predicati) che verrà estesa a ogni formula possibile assegnando una semantica invariabile ai connettivi e ai quantificatori.
5 Semantica classica della logica del prim ordine Definizione: un mondo o interpretazione per la logica del prim ordine è una coppia (A, I) dove A è un insieme non vuoto di denotazioni per i termini e I è una funzione di interpretazione che associa a ogni funzione f n una funzione il cui dominio è A n = A... A (n volte) e il cui codominio è A Caso particolare: per ogni costante c, I(c) A a ogni predicato P n una funzione il cui dominio è A n e il cui codominio è {0, 1} o, equivalentemente, un sottoinsieme di A n Caso particolare: per ogni predicato 0-ario P, I(P) {0, 1} come nel caso della logica proposizionale Nota: un mondo non è più rappresentabile come una sequenza di booleani e non è più possibile usare tabelle di verità.
6 Semantica classica della logica del prim ordine Siamo già in grado di interpretare in un mondo (A, I) termini e proposizioni in cui non occorrano variabili. (La definizione formale verrà data in seguito). Esempio: Sia A = N, I(D) l insieme dei numeri pari, I(f 1 )(n) = n + 1 I(c) = 2. Allora [[D(f (c))]] (A,I) = 0. Ma che semantica diamo a x.p e a x.p? Intuitivamente, x.p è vera quando P è sempre vera al variare di x mentre x.p è vera quando P è vera almeno una volta al variare di x. La variazione è implicita essere sul dominio A del nostro mondo.
7 Semantica classica della logica del prim ordine Come catturare la nozione di variazione di x sul dominio A? Vediamo prima un paio di modi non corretti: 1 [[ x.p]] (A,I) = min{[[p[α/x] α A]] (A,I) } Errata in quanto α è una denotazione e non una connotazione! Pertanto P[α/x] non è ammesso dalla sintassi. 2 [[ x.p]] (A,I) = min{[[p[t/x] t Term]] (A,I) } dove Ter è l insieme di tutte le connotazioni per termini nel nostro linguaggio. Errata in quanto il mio mondo potrebbe avere molte più denotazioni per termini di quelle rappresentabili sintatticamente tramite connotazioni. Esempio: A = R poichè l insieme delle connotazioni è sempre enumerabile.
8 Semantica classica della logica del prim ordine Come catturare la nozione di variazione di x sul dominio A? Definizione: dato un mondo (A, I) un ambiente ξ è una funzione il cui dominio è l insieme di tutte le variabili e il cui codominio è A. Useremo gli ambienti per interpretare le variabili nello stesso modo in cui usiamo I per interpretare le costanti. Esempio: [[f 2 (c, x)]] (A,I),ξ = I(f 2 )(I(c), ξ(x)) I quantificatori universale ed esistenziale fanno variare gli ambienti per assegnare a una variabile x tutti i possibili valori di A.
9 Semantica classica della logica del prim ordine Definizione di semantica classica della logica del prim ordine. Sia (A, I) un mondo e ξ un ambiente sul mondo. Definiamo per induzione strutturale [[x]] (A,I),ξ = ξ(x) [[f n (t 1,..., t n )]] (A,I),ξ = I(f n )([[t 1 ]] (A,I),ξ,..., [[t n ]] (A,I),ξ ) [[P n (t 1,..., t n )]] (A,I),ξ = I(P n )([[t 1 ]] (A,I),ξ,..., [[t n ]] (A,I),ξ ) [[ ]] (A,I),ξ = 0 [[ ]] (A,I),ξ = 1 [[ P]] (A,I),ξ = 1 [[P]] (A,I),ξ [[P 1 P 2 ]] (A,I),ξ = min{[[p 1 ]] (A,I),ξ, [[P 2 ]] (A,I),ξ } [[P 1 P 2 ]] (A,I),ξ = max{[[p 1 ]] (A,I),ξ, [[P 2 ]] (A,I),ξ } [[P 1 P 2 ]] (A,I),ξ = max{1 [[P 1 ]] (A,I),ξ, [[P 2 ]] (A,I),ξ } [[ x.p]] (A,I),ξ = min{[[p]] (A,I),ξ[x α] α A} [[ x.p]] (A,I),ξ = max{[[p]] (A,I),ξ[x α] α A} dove ξ[x α] associa α a x e ξ(y) a y.
10 Soddisfacibilità, insoddisfacibilità,... Tutte le definizioni viste per la logica proposizionale classica che facevano riferimento alle nozioni di mondo e semantica rimangono identiche per la logica del prim ordine classica con le nuove definizioni di mondo (e ambiente) e semantica. Esempio: Γ G quando in ogni mondo (A, I) e ambiente ξ si ha che se [[F]] (A,I),ξ = 1 per ogni F Γ allora [[G]] (A,I),ξ = 1.
11 Semantica intuizionista della logica del prim ordine Accenniamo qui alla semantica intuizionista della logica del prim ordine dando le denotazioni per le proposizioni (ma non per i termini in quanto tali): [[ x.p(x)]]={f f è una funzione che a ogni x associa un programma f (x) [[P(x)]]} Il quantificatore universale corrisponde a una forma di polimorfismo: per esempio, f [[ x.(p(x) Q(x)) quando per ogni x si ha che f (x) è una funzione che associa a ogni input i [[P(x)]] un output o [[Q(x)]], ovvero f è una funzione polimorfa.
12 Semantica intuizionista della logica del prim ordine Accenniamo qui alla semantica intuizionista della logica del prim ordine dando le denotazioni per le proposizioni (ma non per i termini in quanto tali): [[ x.p(x)]]={ t, q q [[P(t)]]} La semantica del quantificatore esistenziale è l insieme degli elementi t (chiamati testimoni) per i quali la proprietà vale assieme a un evidenza (programma) per il fatto che la proprietà valga. In altre parole: una tautologia intuizionista x. y.p(x, y) ha come semantica programmi che associano a ogni input x un output y con la prova che la coppia input/output soddisfa la specifica data per il programma.
13 Semantica intuizionista della logica del prim ordine Esempio di specifica per un algoritmo di ordinamento: l.(lista(l) l.(lista(l ) Ordinata(l ) z.(z l z l ))) Ogni prova intuizionista del precedente enunciato ha come semantica a essa associata una funzione che data una lista l restituisce una lista l assieme a un programma che mostra che l e l hanno gli stessi elementi e che l è ordinata. Una dimostrazione intuizionista corrisponde a dare contemporaneamente un implementazione e la dimostrazione di correttezza dell implementazione stessa! Rimandiamo ancora una volta al corso di Fondamenti Logici dell Informatica lo studio di questo approccio alla programmazione.
14 Equivalenze logiche notevoli Quantificatori dello stesso tipo commutano: x. y.p y. x.p x. y.p y. x.p Quantificatori di tipo diverso NON commutano: x. y.p y. x.p x. y.p y. x.p
15 Equivalenze logiche notevoli Le seguenti equivalenze possono essere utilizzate per spostare i quantificatori in posizione di testa nelle formule: x.(p Q) ( x.p) ( x.q) x.(p Q) ( x.p) ( x.q) (usata da dx a sx) (usata da dx a sx) x.p P se x FV (P) x.p P se x FV (P) (usata da dx a sx) (usata da dx a sx) x.(p Q) ( x.p) Q se x FV (Q) x.(p Q) ( x.p) Q se x FV (Q) (usata da dx a sx) (usata da dx a sx)
16 Equivalenze logiche notevoli Le leggi di De Morgan si estendono ai quantificatori universali ed esistenziali (pensati come congiunzioni/disgiunzioni infinite): x.p x. P x. P x.p x.p x. P solo in logica classica in logica intuizionista in logica classica e intuizionista Attenzione: per dimostrare che x.p basta dimostrare che x. P ovvero è sufficiente un controesempio. Ma per dimostrare x.p dobbiamo dimostrare x. P ovvero serve una dimostrazione.
17 Equivalenze logiche notevoli Sia x FV (Q) (sempre vero per un qualche Q che sia α-convertibile con Q). Si ha ( x.p) Q x.(p Q) x.(p Q) ( x.p) Q ( x.p) Q x.(p Q) Q ( x.p) x.(q P) Q ( x.p) x.(q P) solo in logica classica in logica intuizionista
18 Forma normale prenessa Definizione: una formula della logica del prim ordine è in forma normale prenessa quando è della forma Q 1 x 1... Q n x n.p dove P non contiene quantificatori e Q {, } per ogni i. Teorema: solo in logica classica esiste un semplice algoritmo per mettere ogni formula data in forma normale prenessa. Dimostrazione (algoritmo): è sufficiente applicare le equivalenze logiche notevoli viste in precedenza sempre da dx a sx fino a quando possibile.
19 Forma normale prenessa Esempio: (( x.p(x)) ( x.q(x)) x.r(x) (( x.p(x)) ( y.q(y)) z.r(z) ( x. y.(p(x) Q(y)) z.r(z) x.((( y.(p(x) Q(y)) z.r(z))) x. y.(p(x) Q(y) z.r(z))) x. y. z.(p(x) Q(y) R(z)))
20 Forma normale di Skolem Definizione: una formula della logica del prim ordine è in forma normale di Skolem quando è della forma 1 x 1... n x n.p dove P non contiene quantificatori. Definizione (Skolemizzazione): data una formula Q 1 x 1... Q n x n.p in forma normale prenessa la sua Skolemizzata è la formual ottenuta rimuovendo ogni quantificatore esistenziale x i e sostituendo in P la variabile x i con f i (x n1,..., x ni ) dove f i è un nuovo simbolo di funzione e {x n1,..., x ni } è il sottoinsieme di {x 1,..., x i 1 } contenente solo le variabili quantificate universalmente. Esempio: x. y. z. w.p(x, y, z, w) si skolemizza in y. z.p(c, y, z, f (y, z)).
21 Forma normale di Skolem L idea alla base della Skolemizzazione è che per dimostrare che una proprietà esistenziale vale posso far riferimento alle variabili universali in scope. Esempio: n. m.m > n è dimostrabile scegliendo come m, per ogni n, il valore n + 1. Sostituendo a quantificatori esistenziali (che dipendono dagli universali in scope) delle funzioni (costanti) applicate alle variabili in scope NON VIENE RISPETTATA L EQUIVALENZA LOGICA. Esempio: n. m.m > n che è soddisfatta nel mondo inteso dell aritmetica sui numeri naturali dove I(f )(n) = n 1 si skolemizza in n.f (n) > n che non è soddisfatta nello stesso mondo.
22 Forma normale di Skolem Quindi la skolemizzazione non rispetta l equivalenza logica. Tuttavia essa rispetta la soddisfacibilità. Esempio: n. m.m > n che è soddisfatta nel mondo inteso dell aritmetica e si dimostra scegliendo n + 1 per m si skolemizza in n.f (n) > n che è soddisfatta nel mondo dell aritmetica ove I(f )(n) = n + 1.
Linguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 13/12/ : Semantica della logica del prim ordine. Universitá di Bologna
Linguaggi 18: Universitá di Bologna 13/12/2017 Outline 1 Semantica classica della logica del prim ordine Al fine di definire la semantica classica di un linguaggio del prim ordine
Dettaglix u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi
0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di
DettagliAlcune nozioni di base di Logica Matematica
Alcune nozioni di base di Logica Matematica Ad uso del corsi di Programmazione I e II Nicola Galesi Dipartimento di Informatica Sapienza Universitá Roma November 1, 2007 Questa é una breve raccolta di
DettagliAlgebra di Boole ed Elementi di Logica
Algebra di Boole ed Elementi di Logica 53 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni
DettagliPredicati e Quantificatori
Predicati e Quantificatori Limitazioni della logica proposizionale! Logica proposizionale: il mondo è descritto attraverso proposizioni elementari e loro combinazioni logiche! I singoli oggetti cui si
Dettagli(anno accademico 2008-09)
Calcolo relazionale Prof Alberto Belussi Prof. Alberto Belussi (anno accademico 2008-09) Calcolo relazionale E un linguaggio di interrogazione o e dichiarativo: at specifica le proprietà del risultato
DettagliAlgebra e Logica Matematica. Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine
Università di Bergamo Anno accademico 2006 2007 Ingegneria Informatica Foglio Algebra e Logica Matematica Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine Esercizio.. Costruire le tavole di verità per
DettagliAppunti di Logica Matematica
Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5
DettagliLinguaggi del I ordine - semantica. Per dare significato ad una formula del I ordine bisogna specificare
Linguaggi del I ordine - semantica Per dare significato ad una formula del I ordine bisogna specificare Un dominio Un interpretazione Un assegnamento 1 Linguaggi del I ordine - semantica (ctnd.1) Un modello
DettagliINTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI
INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.
DettagliAlgebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE
Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica
DettagliLOGICA PER LA PROGRAMMAZIONE. Franco Turini turini@di.unipi.it
LOGICA PER LA PROGRAMMAZIONE Franco Turini turini@di.unipi.it IPSE DIXIT Si consideri la frase: in un dato campione di pazienti, chi ha fatto uso di droghe pesanti ha utilizzato anche droghe leggere. Quali
DettagliLezione 8. La macchina universale
Lezione 8 Algoritmi La macchina universale Un elaboratore o computer è una macchina digitale, elettronica, automatica capace di effettuare trasformazioni o elaborazioni su i dati digitale= l informazione
DettagliSemantica Assiomatica
Semantica Assiomatica Anche nella semantica assiomatica, così come in quella operazionale, il significato associato ad un comando C viene definito specificando la transizione tra stati (a partire, cioè,
DettagliFondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2)
Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Definiamo innanzitutto una relazione d ordine tra le funzioni. Siano φ e ψ funzioni
DettagliLinguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 15/04/ : Deduzione naturale per la logica del prim ordine. Universitá di Bologna
Linguaggi 19: Universitá di Bologna 15/04/2011 Outline 1 Semantica Wikipedia: Deduzione naturaler per la logica del prim ordine Abbiamo già dato le regole per la deduzione naturale
Dettagli1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero
1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliCapitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá
Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá 1 Differenti nozioni di calcolabilitá (che seguono da differenti modelli di calcolo) portano a definire la stessa classe di funzioni. Le tecniche di simulazione
DettagliCorrettezza. Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 1. Dispensa 10. A. Miola Novembre 2007
Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 1 Dispensa 10 Correttezza A. Miola Novembre 2007 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf1/ Correttezza 1 Contenuti Introduzione alla correttezza
DettagliSemantica dei programmi. La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma.
Semantica dei programmi La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma. Semantica operazionale: associa ad ogni programma la sequenza delle sue
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliProcesso di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico
Processo di risoluzione di un problema ingegneristico 1. Capire l essenza del problema. 2. Raccogliere le informazioni disponibili. Alcune potrebbero essere disponibili in un secondo momento. 3. Determinare
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliG. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole
G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.
Dettaglif: AxB f(x)=y, f={<x,y> per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={<1,2>, <2,3>, <3,3>} : {1,2,3} {1,2,3} f(1)=2, f(2)=3, f(3)=3
Insieme delle parti di A : Funzione : insieme i cui elementi sono TUTTI i sottoinsiemi di A f: AxB f(x)=y, f={ per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={, , } : {1,2,3} {1,2,3}
DettagliCalcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi 1. Calcolo Relazionale. Angelo Montanari
Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi 1 Calcolo Relazionale Angelo Montanari Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine Calcolo Relazionale Basi di dati e sistemi informativi
DettagliDefinizione di nuovi tipi in C
Definizione di nuovi tipi in C typedef Ancora sui tipi di dato Ogni elaboratore è intrinsecamente capace di trattare domini di dati di tipi primitivi numeri naturali, interi, reali caratteri e stringhe
DettagliElementi di semantica operazionale
Elementi di semantica operazionale 1 Contenuti sintassi astratta e domini sintattici un frammento di linguaggio imperativo semantica operazionale domini semantici: valori e stato relazioni di transizione
DettagliNote su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT)
Note su quicksort per ASD 010-11 (DRAFT) Nicola Rebagliati 7 dicembre 010 1 Quicksort L algoritmo di quicksort è uno degli algoritmi più veloci in pratica per il riordinamento basato su confronti. L idea
DettagliOttimizzazione delle interrogazioni (parte I)
Ottimizzazione delle interrogazioni I Basi di Dati / Complementi di Basi di Dati 1 Ottimizzazione delle interrogazioni (parte I) Angelo Montanari Dipartimento di Matematica e Informatica Università di
DettagliLEZIONE 17. B : kn k m.
LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.
DettagliAlgebra Di Boole. Definiamo ora che esiste un segnale avente valore opposto di quello assunto dalla variabile X.
Algebra Di Boole L algebra di Boole è un ramo della matematica basato sul calcolo logico a due valori di verità (vero, falso). Con alcune leggi particolari consente di operare su proposizioni allo stesso
DettagliEsercitazione. Proposizioni. April 16, 2015. Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1.
Esercitazione Proposizioni April 16, 2015 Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1. 1. Consideriamo le proposizioni: - p : Gli orsi grizzly sono stati
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliRicorsione in SQL-99. Introduzione. Idea di base
Ricorsione in SQL-99 Introduzione In SQL2 non è possibile definire interrogazioni che facciano uso della ricorsione Esempio Voli(lineaAerea, da, a, parte, arriva) non è possibile esprimere l interrogazione
DettagliLOGICA DEI PREDICATI. Introduzione. Predicati e termini individuali. Termini individuali semplici e composti
Introduzione LOGICA DEI PREDICATI Corso di Intelligenza Artificiale A.A. 2009/2010 Prof. Ing. Fabio Roli La logica dei predicati, o logica del primo ordine (LPO) considera schemi proposizionali composti
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliCos è un Calcolatore?
Cos è un Calcolatore? Definizione A computer is a machine that manipulates data according to a (well-ordered) collection of instructions. 24/105 Riassumendo... Un problema è una qualsiasi situazione per
DettagliCalcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche
Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche 1 Algebra Booleana e Variabili Logiche I fondamenti dell Algebra Booleana (o Algebra di Boole) furono delineati dal matematico George Boole, in un lavoro pubblicato
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI
Università di Salerno Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Corso B Docente: Ing. Giovanni Secondulfo Anno Accademico 2010-2011 ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI Fondamenti di Informatica Algebra
DettagliMATLAB. Caratteristiche. Dati. Esempio di programma MATLAB. a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [1 2 3] ; c = a*b; c
Caratteristiche MATLAB Linguaggio di programmazione orientato all elaborazione di matrici (MATLAB=MATrix LABoratory) Le variabili sono matrici (una variabile scalare equivale ad una matrice di dimensione
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -
DettagliMetodologie di programmazione in Fortran 90
Metodologie di programmazione in Fortran 90 Ing. Luca De Santis DIS - Dipartimento di informatica e sistemistica Anno accademico 2007/2008 Fortran 90: Metodologie di programmazione DIS - Dipartimento di
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliErrori più comuni. nelle prove scritte
Errori più comuni nelle prove scritte Gli errori più frequenti, e reiterati da chi sostiene diverse prove, sono innanzi tutto meta-errori, cioè errori che non riguardano tanto l applicazione delle tecniche,
DettagliConcetto di Funzione e Procedura METODI in Java
Fondamenti di Informatica Concetto di Funzione e Procedura METODI in Java Fondamenti di Informatica - D. Talia - UNICAL 1 Metodi e Sottoprogrammi Mentre in Java tramite le classi e gli oggetti è possibile
DettagliLinguaggi Elementari
Linguaggi Elementari Marzo 2007 In questi appunti verranno introdotte le conoscenze essenziali relative ai linguaggi del primo ordine e alla loro semantica. Verrà anche spiegato come preprocessare un problema
DettagliAlbero semantico. Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni.
Albero semantico Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni. A differenza dell albero sintattico (che analizza la formula da un punto di vista puramente
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliAlgebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
DettagliFondamenti dei linguaggi di programmazione
Fondamenti dei linguaggi di programmazione Aniello Murano Università degli Studi di Napoli Federico II 1 Riassunto delle lezioni precedenti Prima Lezione: Introduzione e motivazioni del corso; Sintassi
DettagliLogica del primo ordine
Università di Bergamo Facoltà di Ingegneria Intelligenza Artificiale Paolo Salvaneschi A7_4 V1.3 Logica del primo ordine Il contenuto del documento è liberamente utilizzabile dagli studenti, per studio
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliDall italiano al linguaggio della logica proposizionale
Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale Enunciati atomici e congiunzione In questa lezione e nelle successive, vedremo come fare
DettagliSommario. Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi.
Algoritmi 1 Sommario Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi. 2 Informatica Nome Informatica=informazione+automatica. Definizione Scienza che si occupa dell
Dettagli2. Semantica proposizionale classica
20 1. LINGUAGGIO E SEMANTICA 2. Semantica proposizionale classica Ritorniamo un passo indietro all insieme dei connettivi proposizionali che abbiamo utilizzato nella definizione degli enunciati di L. L
DettagliESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme
ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme
DettagliElementi di semantica denotazionale ed operazionale
Elementi di semantica denotazionale ed operazionale 1 Contenuti! sintassi astratta e domini sintattici " un frammento di linguaggio imperativo! semantica denotazionale " domini semantici: valori e stato
DettagliIl principio di induzione e i numeri naturali.
Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito
DettagliLinguaggio del calcolatore. Algebra di Boole AND, OR, NOT. Notazione. And e or. Circuiti e reti combinatorie. Appendice A + dispense
Linguaggio del calcolatore Circuiti e reti combinatorie ppendice + dispense Solo assenza o presenza di tensione: o Tante componenti interconnesse che si basano su e nche per esprimere concetti complessi
DettagliVerifica parte IIA. Test (o analisi dinamica) Mancanza di continuità. Esempio
Test (o analisi dinamica) Verifica parte IIA Rif. Ghezzi et al. 6.3-6.3.3 Consiste nell osservare il comportamento del sistema in un certo numero di condizioni significative Non può (in generale) essere
DettagliLINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE
LINGUAGGI DI PROGRAMMAZIONE Il potere espressivo di un linguaggio è caratterizzato da: quali tipi di dati consente di rappresentare (direttamente o tramite definizione dell utente) quali istruzioni di
DettagliLa selezione binaria
Andrea Marin Università Ca Foscari Venezia Laurea in Informatica Corso di Programmazione part-time a.a. 2011/2012 Introduzione L esecuzione di tutte le istruzioni in sequenza può non è sufficiente per
DettagliFa riferimento ad una famiglia di linguaggi dichiarativi, basati sul calcolo dei predicati del primo ordine
Calcolo relazionale Fa riferimento ad una famiglia di linguaggi dichiarativi, basati sul calcolo dei predicati del primo ordine calcolo Specifica (èla base relazionale su tuple le di proprietà molti con
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
DettagliRisoluzione. Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005
Risoluzione Eric Miotto Corretto dal prof. Silvio Valentini 15 giugno 2005 1 Risoluzione Introdurremo ora un metodo per capire se un insieme di formule è soddisfacibile o meno. Lo vedremo prima per insiemi
DettagliProdotto libero di gruppi
Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliSemantica operazionale dei linguaggi di Programmazione
Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.
DettagliCorso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica
Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Dispensa E01 Esempi di programmi A. Miola Ottobre 2011 1 Contenuti Vediamo in questa lezione alcuni primi semplici esempi di applicazioni
DettagliAlgebra booleana. Si dice enunciato una proposizione che può essere soltanto vera o falsa.
Algebra booleana Nel lavoro di programmazione capita spesso di dover ricorrere ai principi della logica degli enunciati e occorre conoscere i concetti di base dell algebra delle proposizioni. L algebra
DettagliCodifica: dal diagramma a blocchi al linguaggio C++
Codifica: dal diagramma a blocchi al linguaggio C++ E necessario chiarire inizialmente alcuni concetti. La compilazione Il dispositivo del computer addetto all esecuzione dei programmi è la CPU La CPU
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di
DettagliFunzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente
Funzioni In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: 1. un insieme X detto dominio di f 2. un insieme Y detto codominio di f 3. una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento
DettagliPlanning as Model Checking Presentazione della Tesina di Intelligenza Artificiale
Planning as Model Checking Presentazione della Tesina di Intelligenza Artificiale di Francesco Maria Milizia francescomilizia@libero.it Model Checking vuol dire cercare di stabilire se una formula è vera
DettagliCorso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità
Corso di LOGICA II: indagini semantiche su modalità e quantificazione. Uno studio di logica della necessità e della possibilità Luisa Bortolotti Trento, 16.04.04 Lezione 24 : IL SISTEMA K-G (1) CAPITOLO
DettagliDescrizione di un algoritmo
Descrizione di un algoritmo Un algoritmo descrive due tipi fondamentali di oper: calcoli ottenibili tramite le oper primitive su tipi di dato (valutazione di espressioni) che consistono nella modifica
DettagliAlgoritmi e strutture dati. Codici di Huffman
Algoritmi e strutture dati Codici di Huffman Memorizzazione dei dati Quando un file viene memorizzato, esso va memorizzato in qualche formato binario Modo più semplice: memorizzare il codice ASCII per
DettagliInformatica 3. Informatica 3. LEZIONE 10: Introduzione agli algoritmi e alle strutture dati. Lezione 10 - Modulo 1. Importanza delle strutture dati
Informatica 3 Informatica 3 LEZIONE 10: Introduzione agli algoritmi e alle strutture dati Modulo 1: Perchè studiare algoritmi e strutture dati Modulo 2: Definizioni di base Lezione 10 - Modulo 1 Perchè
DettagliCorso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 2
Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 2 Dispensa 11 Tipi astratti di dato e loro rappresentazione A. Miola Marzo 28 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf2/ ADT e Rappresentazione
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliTipicamente un elaboratore è capace di trattare domini di dati di tipi primitivi
TIPI DI DATO Tipicamente un elaboratore è capace di trattare domini di dati di tipi primitivi numeri naturali, interi, reali caratteri e stringhe di caratteri e quasi sempre anche collezioni di oggetti,
DettagliI.I.S. Primo Levi Badia Polesine A.S. 2012-2013
LGEBR DI BOOLE I.I.S. Primo Levi Badia Polesine.S. 2012-2013 Nel secolo scorso il matematico e filosofo irlandese Gorge Boole (1815-1864), allo scopo di procurarsi un simbolismo che gli consentisse di
DettagliEsercizio per casa. Filosofia della scienza Gianluigi Bellin. October 29, 2013. 1. Si formalizzino i seguenti enunciati nel calcolo dei predicati.
Esercizio per casa. Filosofia della scienza Gianluigi Bellin October 29, 2013 1. Si formalizzino i seguenti enunciati nel calcolo dei predicati. 1.1 Condizione necessaria e sufficiente perché un corpo
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
Dettagli2 Progetto e realizzazione di funzioni ricorsive
2 Progetto e realizzazione di funzioni ricorsive Il procedimento costruttivo dato dal teorema di ricorsione suggerisce due fatti importanti. Una buona definizione ricorsiva deve essere tale da garantire
DettagliInterpretazione astratta
Interpretazione astratta By Giulia Costantini (819048) e Giuseppe Maggiore (819050) Contents Interpretazione astratta... 2 Idea generale... 2 Esempio di semantica... 2 Semantica concreta... 2 Semantica
Dettagli19. Inclusioni tra spazi L p.
19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p
DettagliLezione 4. Modello EER
Lezione 4 Modello EER 1 Concetti del modello EER Include tutti i concetti di modellazione del modello ER Concetti addizionali: sottoclassi/superclassi, specializzazione, categorie, propagazione (inheritance)
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
DettagliRisolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati
Algoritmi Algoritmi Risolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati Il procedimento (chiamato algoritmo) è composto da passi elementari
DettagliAlgebra Booleana ed Espressioni Booleane
Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Che cosa è un Algebra? Dato un insieme E di elementi (qualsiasi, non necessariamente numerico) ed una o più operazioni definite sugli elementi appartenenti a tale
DettagliCOS È UN LINGUAGGIO? LINGUAGGI DI ALTO LIVELLO LA NOZIONE DI LINGUAGGIO LINGUAGGIO & PROGRAMMA
LINGUAGGI DI ALTO LIVELLO Si basano su una macchina virtuale le cui mosse non sono quelle della macchina hardware COS È UN LINGUAGGIO? Un linguaggio è un insieme di parole e di metodi di combinazione delle
Dettagli