Tema A Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che

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Irma Longo
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1 Statistica Cognome: Laurea Triennale in Biologia Nome: 26 luglio 2012 Matricola: Tema A 1. Parte A 1.1. Sia x 1, x 2,..., x n un campione di n dati con media campionaria x e varianza campionaria s 2 x 0. Si consideri un nuovo campione di dati definito come y k := x k a, con a > 0. Siano ȳ e s 2 y, rispettivamente, la media e varianza campionaria del nuovo campione. Quale delle seguenti affermazioni è vera? x = ȳ s 2 x = s 2 y s 2 y = s 2 x + a 2 Nessuna delle precedenti 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che P (A B) = 0 P (A B) = 1 P (A B) = P (B A) P (A B) = 5/ Siano X N(1, 2) e Y N(1, 4) variabili aleatorie indipendenti. Quale delle seguenti affermazioni é falsa? X + Y N(2, 6) X Y N(0, 6) E(X 3Y ) = 2 V ar(x 3Y ) = Sia X B(100; 0.01). Quale delle seguente affermazioni è vera? Possiamo approssimare la distribuzione di X con quella di una normale N(1, 0.99) Possiamo approssimare la distribuzione di X con quella di una Poisson P o(1) Possiamo approssimare la distribuzione di X sia con N(1, 0.99) chè con P o(1) Nessuna delle precedenti 1.5. Un produttore di sigarette afferma che il contenuto medio µ di nicotina nelle sigarette da lui prodotte è significativamente inferiore a 0.7 mg. Per dimostrarlo, fa analizzare un campione di 100 sigarette, misurando il livello di nicotina di ognuno. Quale test gli consigliereste di usare? Un test su una proporzione per verificare l ipotesi H 0 : µ < 0.7 Un test su una proporzione per verificare l ipotesi H 0 : µ > 0.7 Un test sulla media di una popolazione normale per verificare l ipotesi H 0 : µ < 0.7 Un test sulla media di una popolazione normale per verificare l ipotesi H 0 : µ > In un test di buon adattamento ad una certa distribuzione, si ottengono le seguenti frequenze attese: Cosa si può concludere? È necessario accorpare alcuni valori in classi più ampie. I dati sono in ottimo accordo con la distribuzione ipotizzata. I dati non si accordano alla distribuzione ipotizzata. Nessuna delle precedenti. 1

Siano ȳ e s 2 y, rispettivamente, la media e varianza campionaria del nuovo campione. Quale delle seguenti affermazioni è vera? x = ȳ s 2 x = s 2 y s 2 y = s 2 x + a 2 Nessuna delle precedenti 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che P (A B) = 0 P (A B) = 1 P (A B) = P (B A) P (A B) = 5/6 1.

2 In un test di verifica di ipotesi si ottiene un p-value di 0.3. Si può concludere che: I dati sono fortemente in disaccordo con l ipotesi nulla. I dati sono moderatamente in disaccordo con l ipotesi nulla. I dati sono fortemente in accordo con l ipotesi nulla. I dati sono compatibili con l ipotesi nulla. 2. Parte B 2.1. (Solo per gli studenti del nuovo ordinamento: esame con 6 crediti) Dall esame del colore dei cappelli dei bambini di una certa regione, si ricavano i seguenti dati biondo rosso castano bruno nero Totale maschi femmine Totale Passiamo concludere all 1% di significatività che il colore dei capelli è indipendente dal sesso? Soluzione. Si calcolano in primo luogo le frequenze attese stimate, i cui valori sono riportati nella tabella sottostante. biondo rosso castano bruno nero maschi femmine Servendosi delle tabelle si calcola il valore della statistica che è T = Poichè χ 2 4,0.01 = > T, l ipotesi di indipendenza tra il colore dei capelli e il sesso viene accettata all 1%.

(Solo per gli studenti del nuovo ordinamento: esame con 6 crediti) Dall esame del colore dei cappelli dei bambini di una certa regione, si ricavano i seguenti dati biondo rosso castano bruno nero

3 (Solo per gli studenti del vecchio ordinamento: esame con 5 crediti) Due tipi di soluzione chimiche sono state provate per misurarne il ph. L analisi dei 6 campioni della prima soluzione ha mostrato un ph medio di 7.52, con uno scarto quadratico campionario di 0.032; l analisi dei 5 campioni della seconda soluzione ha mostrato un ph medio di 7.49 con uno scarto quadratico campionario di Stabilire al 5% di significatività se le due soluzioni abbiano mediamente lo stesso valore di ph. Soluzione. Soluzione. Siano µ x e µ y, rispettivamente, le medie del valore di ph nella prima e nella seconda soluzione. Sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : µ x = µ y. Supponiamo che i due campioni abbiano distribuzione normale, e rattandosi di campioni piccoli, verifichiamo la condizione s2 x s 2 (1/2, 2). Quindi calcoliamo la varianza campionaria combinata y s 2 p = = e tramite questa la statistica test x ȳ st = ( s 2 1 p ) Per un livello di significatività α = 0.05 si ha quindi la regione critica C = { ST > t 9,0.025 }, con t 9,0.025 = Poich st non cade nella regione critica non possiamo rifiutare H 0, e quindi concludiamo che i dati non sono sufficienti a concludere che via sia una differenza tra il ph delle due soluzioni.

032; l analisi dei 5 campioni della seconda soluzione ha mostrato un ph medio di 7.49 con uno scarto quadratico campionario di 0.024.

4 Una certa ditta farmaceutica asserisce che un suo farmaco è efficace nel 90% dei casi. In un campione di 200 persone che lo hanno usato, il farmaco si è rivelato efficace in 160 casi. Da tele osservazione, si sospetta che l efficacia del farmaco sia minore di quella dichiarata dalla ditta farmaceutica. (a) Stabilire se il sospetto è legittimo ad un livello di significatività del 5% (b) Determinare il valore-p del test opportuno. (c) Determinare l intervallo di confidenza all 99% per il numero medio dei casi in cui il farmaco è risultato efficace Soluzione. (a) Sia p 0 = 0.9 la proporzione di efficacia del farmaco dichiarato dalla ditta, e ˆp = 0.8 quella stimata sul campione. Sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : p 0.9. Usiamo quindi un test per la proporzione di un campione. Otteniamo la statistica test st = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) La regione critica è C = {ST < z 0.05 }. Essendo z 0.05 = 1.645, st cade nella regione critica ed H 0 è rifiutata: i dati non sono sufficienti a concludere che il sospetto dei consumatori è legittimo. (b) Il valore-p del test è: ᾱ = P (Z st) = P (Z 4.71) 0. (c) L intervallo di confidenza al 99% è ˆp(1 ˆp) ˆp ± z = 0.8 ±

(a) Stabilire se il sospetto è legittimo ad un livello di significatività del 5% (b) Determinare il valore-p del test opportuno.

5 Un autobus di linea effettua il collegamento tra due stazioni A e B seguendo due percorsi alternativi 1 e 2. La frequenza con cui segue il primo percorso è pari a 0.3, quella con cui segue il secondo percorso è pari a 0.7. Un gruppo di pendolari riesce a prendere il suddetto autobus con probabilità pari a 0.25 quando questo percorre il tragitto 1 e con probabilità 0.65 quando questo percorre il tragitto 2. Sapendo che il gruppo di pendolari non è riuscito a prendere l autobus, con che probabilità esso ha seguito il percorso 1? Soluzione. Consideriamo gli eventi A= il gruppo di pendolari non riesce a prendere l autubus B= l autobus segue il primo percorso Per ipotesi, sappiamo valere: P (E) = 0.3, P (E c ) = 0.7, P (A E) = 0.25, P (A E c ) = Utilizzando la formula di Bayes si ottiene P (E A) = P (A E)P (E) P (A E)P (E) + P (A E c )P (E c ) =

25 quando questo percorre il tragitto 1 e con probabilità 0.65 quando questo percorre il tragitto 2.

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