Ad esempio, potremmo voler verificare la legge di caduta dei gravi che dice che un corpo cade con velocità uniformemente accellerata: v = v 0 + g t

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1 Relazon lnear Uno de pù mportant compt degl esperment è quello d nvestgare la relazone tra due varabl. Il caso pù mportante (e a cu spesso c s rconduce, come vedremo è quello n cu la relazone che s ntende studare è lneare: y = A + Bx Ad esempo, potremmo voler verfcare la legge d caduta de grav che dce che un corpo cade con veloctà unformemente accellerata: v = v 0 + g t S osserv che qualora le due grandezze n questone fossero msurate senza ncertezze o error, una sere d msure d x e y (v 0 e t porterebbe mmedatamente a verfcare o rgettare l potes della relazone lneare. Infatt n tal caso punt (x, y s dsporrebbero lungo una retta. Inoltre le costant A e B sarebbero mmedatamente determnabl dall anals della suddetta retta. 1

2 Tuttava, pochè le grandezze n questone spesso sono note con ncertezze, le coppe (x, y non s dspongono su d una retta neppure se fossero legate da una relazone lneare; e qund neppure la lneartà della relazone è determnable; C s possono porre le seguent domande: (a cu rsponderemo entro la fne d questa lezone! supponendo che la relazone tra le varabl msurate sa lneare, come s possono determnare A e B (y = A + Bx? come valutare dalla msurazone se l potes della lneartà è verfcata? Per la determnazone d A e B: metodo de mnm quadrat Osservazone banale ma gusto per comncare... In assenza d errore per una data sere d valor x (come spesso s assume s avrebbe che l valore msurato delle corrspondent ŷ sarebbe: ŷ = A + Bx. Tuttava, a causa delle ncertezze su y, l rsultato della msura y sarà, n generale dverso da ŷ. La msura (ŷ y (la somma degl scart quadratc è una msura d quanto punt msurat s dscostano dalla retta A + Bx, e dunque la retta stessa è tanto mglore quanto pccola è la somma suddetta. Qualora le msure non fossero soggette ad errore ((ed x e y fossero legate da una relazone lneare s avrebbe che (ŷ = y e qund (ŷ y = (A + Bx y = 0.

3 Intutvamente c s aspetta qund che mglor parametr A e B sano quell che mnmzzano la quanttà: (ŷ y = (A + Bx y e dunque la funzone da mnmzzare è F (A, B = (A + Bx y = = (A + x 1 B y 1 + (A + x B y (A + x N B y N S tenga presente che 1 x, y sono valor numerc not le varabl sono A e B: s tratta d una funzone d due varabl. Dalla teora delle funzon a pù varabl s ha che condzone necessara perchè una funzone abba un mnmo n un punto è che che le due dervate parzal s annullno: F A = (A + x 1B y 1 + (A + x B y (A + x N B y N = (A + Bx y = 0 F B = x 1(A+x 1 By 1 +x (A+x By +...+x N (A+x N By N = = x (A + Bx y = 0 dunque, rscrvendo le somme e rsolvendo per A e B, s trova l rsultato rportato nel testo. 3

4 A = ( x ( y ( x ( x y N ( x ( x B = N ( x y ( y ( x N ( x ( x Tale metodo è (per ovve ragon noto col nome d metodo de mnm quadrat. Error nella msura d y Nel valutare la lneartà d certe relazon, anzchè effettuare molte volte la msura d un certo y s prefersce effettuare una msura d molt y. Questo modo d agre rende mpratcable la valutazone dell errore usando la solta formula della devazone standard che prevede dverse msure d una sola grandezza. E tuttava mportante avere una valutazone dell errore che commettamo nel msurare gl y : una formula c vene data usando le seguent potes: 1la devazone standard è comune per tutt gl y, ossa σ y = σ y ; l valore vero per y = A + Bx Con queste due potes capamo che anzchè effetture la meda della devazone standard su tante devazon d una sngola msura, possamo effettuare la meda su una devazone d molte msure così che: σ y = 1 N N =1 (y A Bx 4

5 Errore nella valutazone d A e B Qual è l errore che commettamo nella valutazone d A e B? Rcordamo la stuazone: 1 A e B sono funzon d tant x e tant y A = ( x ( y ( x ( x y N ( x ( x ( ( ( B = N x y ( y x ( N x x x è noto senza errore (δx = 0; 3 tutt gl y sono not con lo stesso errore (δy = σ y. Allora per calcolare δa e δb formula d propagazone degl error Rsultato σ A = σ y ( ( ] x [N / x x σ B = Nσ y / [N ( ( ] x x 5

6 Esempo Una certa quanttà d gas è tenuta n un contentore d volume V: d questo campone d gas s può varare la temperatura e la pressone. S vuole verfcare che: T = A + BP Immagnamo d effettuare 5 msure: Numero Press. P Temp. T A+BP prova mm. merc. 0 C Applcando le formule precedent dobbamo calcolare P = 45 T = 60 P = 3715 P T = 5810 Con quest s ha A = ( P ( T ( P ( P T N ( P ( P = B = N ( P T ( P ( T N ( P ( P =

7 σt = 1 (T A BP = 44.6 N σ A = σ T ( P / [N ( ( ] P P = 331 Relazon non lnear Le relazon lnear, studate nel paragrafo precedente, non sono che una (mportante parte delle possbl relazon. Il metodo ntutvo che abbamo dscrtto (mnm quadrat può tuttava essere esteso con poco sforzo (Taylor, paragrafo 8.6 a cas non lnear per trovare formule per calcolare coeffcent d relazon tpo Non parleremo d cò! y = A + Bx + Cx y = A sn x + B cos x Mostramo nvece come alcune volte c s possa rdurre a relazon lnear. C lmteremo qu a consderare l caso esponenzale che vene trattato con maggore semplctà e che è molto mportante per le applcazon. Se x e y sono legate da una relazone esponenzale y = Ae Bx, prendendo l logartmo d entramb membr s ha: log y = log ( Ae Bx ossa log y = log A + Bx rnomnando Y = log y e α = log A s ha dunque Y = α + Bx 7

8 ossa c samo rportat al modello lneare che sappamo rsolvere. n pratca sarà suffcente, dalle msure d x e y prendere logartmo d y e calcolare coeffcent α e B secondo le relazon vste sopra. A s può po rcavare da A = exp(α. Un altro caso facle è: da cu s ha y = Ax B log y = log A + B log x da cu chamando rnomnando Y = log y, X = log x e α = log A s ha dunque Y = α + BX

9 Coeffcente d correlazone lneare Avendo ora rsposto alla domanda supponendo che la relazone tra le varabl msurate sa lneare, come s possono determnare A e B? c rmane da consderare la seconda: come valutare dalla msurazone se l potes della lneartà è verfcata? Per rspondere a questo questo occorre ntrodurre una quanttà che msura la correlazone d due dverse varabl, che c dce se tra le due quanttà c è qualche relazone. Supponamo d aver effettuato una sere d msure N accoppate d x e y; abbamo gà defnto la meda (camponara della varable x x = 1 N e la sua analoga per y. Inoltre abbamo defnto gl scart dalla meda delle due sere d msure: x, d x = x x e la sua analoga per y. La covaranza tra x e y è defnta come: σ xy = 1 N d x d y = 1 N (x x(y ȳ Rcordamo noltre che dagl scart d x s può ottenere la varanza d x, defnta da σ x = 1 N d x, 8

10 la cu radce quadrata è la devazone standard σ x. Con queste quanttà s defnsce l coeffcente d corrleazone, denotato con r = σ xy σ x σ y Il sgnfcato quanttatvo d r può essere studato con la teora delle probabltà (ved Taylor 9.4. No c lmteremo a mostrarne le propretà qualtatve seguent: 1 r +1: coeffcente d corrleazone è un numero con modulo mnore uguale a 1. Infatt la dsuguaglanza d Schwartz, afferma propro che vale, per a e b qualsas, ( a b ( a ( b, che usando a = d x e b = d y dventa propro σ xy σ x σ y. se le due varabl sono perfettamente correlate (ossa gaccono su una retta alora r = 1, ossa r = ±1. Il segno è postvo se la retta ha coeffcente angolare postvo (ossa se ad un aumento d una delle due varabl, la seconda cresce n proporzone, negatvo se l coeffcente angolare è negatvo (ossa ad un aumento d una delle due varabl la seconda decresce n proporzone. Infatt se y = A + Bx allora anztutto ȳ = 1 y = 1 (A + Bx = A + B 1 N N N x = A + B x e anche gl scart sono legat da qund: d y = y ȳ = A + Bx A B x = B(x x = Bd x

11 r = σ xy σ x σ y = 1 N 1 N d x 1 N d x d y d y = B d x d x B d x = B B = ±1 Se B > 0 allora B = B e r = 1; altrment B = B e r = 1. se r = 0 (o comunque molto pccolo le due varabl non sono correlate e non hanno la tendenza a gacere su d una retta. Tale propretà derva dal fatto che se non v fosse alcuna relazone tra x e y, qualunque sa l valore d x (e dunque d d x, y avrebbe la stessa probabltà d trovars sopra o sotto ȳ: qund la somma che defnsce σ xy è composta d termn che hanno la stessa probabltà d essere postv quanto negatv. Tale somma rsulterà pccola e con le r. In defntva, una msura d quanto bene dat s dspongono su d una retta è data dal coeffcente d correlazone r: quanto pù l suo modulo s avvcna a 1, tanto meglo la retta descrve la relazone tra dat. Anzchè r a volta s trova rportato r.