Uguali? Diversi! Addomesticare l infinito Varese, ottobre 2009 M. Dedò

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1 Uguali? Diversi! Addomesticare l infinito Varese, ottobre 2009 M. Dedò

2 Che cosa c entra l idea di uguali e diversi con l infinito? Tantissimi è uguale a infinito? Tutti gli infiniti sono uguali? O ci sono degli infiniti più infiniti dagli altri? Come si confronta il finito con l infinito? Come si confrontano tra loro due infiniti?

3 Una mostra Pisa, Pianeta Galileo, La Limonaia, 2009, 22 ottobre 9 novembre

4 Problemi di classificazione Siamo abituati a classificare di tutto, oggetti concreti e concetti astratti. E certo non solo in matematica!

5 Ogni astrazione contiene implicitamente un processo di classificazione Quando il bambino impara a parlare, deve decidere che tutti gli oggetti rappresentati in queste foto sono uguali, perché a tutti si può associare la parola tazza.

6 Usiamo la parola uguale, anche senza accorgercene, in tante accezioni diverse. Per esempio: Due monete da 1 e una moneta da 2 sono uguali o sono diverse? Dipende!

7 Siamo noi a decidere i criteri di classificazione; in situazioni diverse li possiamo e li dobbiamo decidere in maniere diverse, in modo che si adattino al problema che abbiamo di fronte. Che cosa fa la matematica? Ci dà degli strumenti per fissare le regole del gioco, per fornirci una cornice che faccia funzionare il processo di astrazione, per stabilire quindi che cosa vuol dire che un criterio di classificazione sia davvero tale.

8 Si può classificare in base al colore Un esempio

9 Si può classificare in base alla forma Un esempio

10 Si possono cercare altri criteri Un esempio

11 Criteri che funzionano e criteri che non funzionano avere lo stesso colore avere la stessa forma sono due buoni criteri di classificazione (anche se ) Affinché le cose funzionino, il criterio che si usa per dire che due oggetti vanno nello stesso cassetto (sono equivalenti, rispetto a quel criterio) deve obbedire a certe regole che mimano le proprietà dell uguaglianza.

12 Un esempio che non funziona: metto due poligoni nello stesso cassetto se hanno almeno un lato di uguale lunghezza. C è qualcosa che non va! I triangoli rosso e giallo devono stare nello stesso cassetto; i triangoli giallo e blu pure. Però i triangoli rosso e blu non possono stare nello stesso cassetto.

13 Le proprietà cardine dell uguaglianza (e dei criteri per classificare) Simmetrica se un primo oggetto è equivalente a un secondo, anche il secondo è equivalente al primo. Riflessiva ogni oggetto è equivalente a se stesso. Transitiva se un primo oggetto è equivalente a un secondo, e questo secondo è equivalente a un terzo, allora anche il primo è equivalente al terzo.

14 Va bene avere la stessa forma Va bene avere lo stesso colore Invece: Due triangoli sono equivalenti se hanno almeno un lato della stessa lunghezza. NO Non vale la transitività: Il triangolo rosso è equivalente al giallo, il giallo è equivalente al blu, ma rosso e blu non sono equivalenti. Non è un buon criterio di classificazione.

15 Un problema qual è la cifra finale di elevato alla potenza 8348-esima? Una classificazione adeguata al problema Due numeri sono nello stesso cassetto (equivalenti) se finiscono con la stessa cifra (è un buon criterio di classificazione) sta nello stesso cassetto di 4. Il prodotto di due numeri che finiscono per 4 dà un numero che finisce per 6. Il prodotto di un numero che finisce per 4 e uno che finisce per 6 dà un numero che finisce per 4. Basta considerare i cassetti, non occorre considerare i numeri!

16 Basta considerare i cassetti, non occorre considerare i numeri! elevato al quadrato (2) finisce per elevato alla terza potenza (3) finisce per elevato alla quarta potenza (4) finisce per elevato alla quinta potenza (5) finisce per elevato alla potenza 8348-esima finisce per 6

17 Naturalmente questa classificazione non è utile per un problema qualsiasi; occorre un problema per cui sia indifferente se scelgo due numeri diversi, purché abbiano la stessa cifra finale. Non va bene per decidere se un numero è primo o no (17 è primo e 27 non lo è); non va bene per decidere se un numero è multiplo di 3 oppure no (27 è un multiplo di 3 e 17 non lo è); va bene invece per decidere se un numero è pari o dispari, o se è un multiplo di 5. E va bene per trovare la cifra finale di una potenza alta (anche molto alta!) perché la cifra finale di un prodotto (e quindi anche di una potenza) dipende solo dalle cifre finali dei due numeri che si moltiplicano.

18 Un altro esempio Una classificazione che tutti abbiamo incontrato, magari inconsapevolmente. Per quale criterio possono essere uguali mongolfiere e piselli? pecore e oche? yak e pellicani?

19 3

20 2

21 tanti quanti 8

22 Non ho bisogno di contarli per sapere che ci sono tanti piedi rossi quanti piedi blu Anche se proseguissimo all infinito, saremmo sicuri a priori che i piedi rossi sono tanti quanti i piedi blu

23 Problema Sono di più i soli piedi rossi o tutti i piedi (rossi e blu)? Problema Sono di più i numeri interi o i soli numeri pari? Sono diversi se uso come criterio avere la stessa direzione Questi due segmenti sono uguali o diversi? Sono diversi se uso come criterio avere la stessa lunghezza Problema Individuare un criterio rispetto al quale questi due segmenti siano uguali