NOME E COGNOME. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A, Prolungare il lato AB di un segmento BD AB e dimostrare che DC > AB.

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1 VERIFICA DI MATEMATICA ^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 6 dicembre 018 NOME E COGNOME Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A, Prolungare il lato AB di un segmento BD AB e dimostrare che DC > AB. Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in A. Tracciare un segmento CD che risponda a queste caratteristiche: CD AC ; CD AC ; D appartiene allo stesso semipiano di B determinato dalla retta AC. Dimostrare che AD è la bisettrice dell'angolo BAC. Consideriamo un angolo MON. Prendiamo due punti A, B sul lato OM in modo tale che OA AB. Analogamente prendiamo due punti C,D sul lato ON in modo tale che OC CD. Dimostrare che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base maggiore è doppia della base minore. Consideriamo il triangolo isoscele ABC di vertice A. Sia D il punto di intersezione delle altezze relative ai lati obliqui. Dimostrare che AD è asse della base BC. Un triangolo isoscele OAB ha il vertice O nel centro di una circonferenza e i lati OA e OB intersecano tale circonferenza rispettivamente nei punti E ed F. Dimostrare che la corda EF è parallela alla base AB del triangolo. Valutazione Obiettivi: riuscire ad interpretare un enunciato, analizzarlo coi metodi se/allora ipotesi/tesi, impostare la dimostrazione, scrivere la dimostrazione in modo chiaro. Applicare le proprietà delle figure geometriche, i criteri di congruenza dei triangoli, il teorema fondamentale delle rette parallele, il teorema del fascio di parallele, definizione di luoghi geometrici, circonferenza e cerchio. Riferimenti principali: capitoli,3,4,5 del libro di testo. Valutazione delle risposte. punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale. 1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità. 1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione. 1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore. 1, punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. 1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0, punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

2 1 Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A, Prolungare il lato AB di un segmento BD AB e dimostrare che DC> AB. triangolo ABC isoscele con AC AB ; A, B, D allineati; BD AB. DC> AB Consideriamo il triangolo ACD. Per la disuguaglianza triangolare DC+ AC>AD. Per le ipotesi è pure vero che AC AB ; AD AB, dunque la disuguaglianza possiamo riscriverla come DC+ AB> AB+ AB. Da tale disuguaglianza segue immediatamente la tesi.

3 Consideriamo il triangolo ABC rettangolo in A. Tracciare un segmento CD che risponda a queste caratteristiche: CD AC ; CD AC ; D appartiene allo stesso semipiano di B determinato dalla retta AC. Dimostrare che AD è la bisettrice dell'angolo BAC. BAC= π ; ACD= π ; CD AC. BAD DAC Il triangolo ACD è isoscele visto che per ipotesi CD AC. Sempre per ipotesi ACD= π, quindi del triangolo ACD possiamo pure dire che DAC ADC, in quanto triangolo isoscele, ma anche che DAC ADC π 4 per somma interna degli angoli di un triangolo. Quello che ci interessa è che DAC π 4. Inoltre, essendo per ipotesi BAC= π possiamo pure dire che BAD BAC DAC π π 4 = π 4. Ricapitolando π 4 BAD DAC che è la tesi.

4 3 Consideriamo un angolo MON. Prendiamo due punti A, B sul lato OM in modo tale che OA AB. Analogamente prendiamo due punti C,D sul lato ON in modo tale che OC CD. Dimostrare che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base maggiore è doppia della base minore. OA AB ; OC CD ABDC trapezio; AC BD Osserviamo subito che i segmenti CD e AB non sono paralleli perchè le rette a cui appartengono formano l'angolo MON. Consideriamo adesso il triangolo OBD, in virtù delle ipotesi possiamo dire che A è il punto medio di OB e C è il punto medio di OD. Dunque il segmento AC congiunge i due punti medi di due lati di un triangolo. Per il teorema del fascio di parallele applicato ai triangoli [teorema 14 pag. 153 di MultiMath Blu Geometria, pag.158 Teoria.zip ] possiamo affermare che AC BD e quindi che il quadrilatero ABDC è un trapezio, ma ci permette pure di affermare che AC BD, che è la seconda tesi richiesta.

5 4 Consideriamo il triangolo isoscele ABC di vertice A. Sia D il punto di intersezione delle altezze relative ai lati obliqui. Dimostrare che AD è asse della base BC. triangolo ABC isoscele con AB AC ; D intersezione altezze relative. AD asse di BC. Per il teorema dell'ortocentro [pag MultiMathBlu Geometria, pag.11 Teoria.zip] nel punto D si incontrano le tre altezze del triangolo, quindi la retta AD contiene l'altezza AH. Allora BC AD. Inoltre ricordiamo che nei triangoli isosceli coincidono altezza, mediana e bisettrice relative a vertice e base, dunque AH è anche mediana. [pag.7 e seguenti MultiMath Blu Geometria] Allora BH HC. Ricapitolando la retta AD è perpendicolare al segmento BC e lo divide a metà, per definizione è l'asse del segmento BC, come volevasi dimostrare.

6 5 Un triangolo isoscele OAB ha il vertice O nel centro di una circonferenza e i lati OA e OB intersecano tale circonferenza rispettivamente nei punti E ed F. Dimostrare che la corda EF è parallela alla base AB del triangolo. triangolo OAB isoscele con OA OB ; OE OF r AB EF Anche il triangolo OEF è isoscele, visto che OE OF r ; avendo indicato con r il raggio della circonferenza. Dunque, per le proprietà dei triangoli isosceli, gli angoli OEF OFE ; Per la somma interna degli angoli di un triangolo abbiamo anche che OEF π EOF Analogamente, per quanto riguarda il triangolo OAB isoscele per ipotesi: OAB π AOB Ovviamente Ricapitolando: EOF = AOB. OEF π EOF = π AOB OAB ovvero OEF OAB. Le rette AB ed EF hanno angoli corrispondenti congruenti, quindi sono parallele, per il teorema fondamentale delle rette parallele, come volevasi dimostrare.