Il modello di regressione lineare semplice (1) Studio della dipendenza riepilogo

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1 Studo della dpedeza replogo Abbamo vsto due msure d assocazoe tra caratter: ) msure d assocazoe basate sull dpedeza dstrbuzoe ( χ, V d Cramer) possoo essere applcate a coppe d caratter qualuque (ache etrambe qualtatv) soo smmetrche l loro calcolo s basa sulle cotgeze ) msure d assocazoe basate sull dpedeza meda o soo msure smmetrche, ossa c è ua varable dpedete e ua dpedete l carattere dpedete deve essere quattatvo Itroducamo ua uove msure d assocazoe tra caratter basate sul cocetto d dpedeza leare Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao Il modello d regressoe leare semplce () Esempo I ua localtà degl Stat Ut fu rlevato dal marzo 95 al luglo 953 l cosumo d gelato mesle (Y - pte pro-capte) e la temperatura meda mesle (X grad F) (ostra elaborazoe su dat tratt da Koteswara Rao Kadyala, Ecoometrca, 97): Y X Y X Y X Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao Il modello d regressoe leare semplce () Voglamo utlzzare dat per rcavare u equazoe che permetta d prevedere l cosumo pro-capte d gelato u certo mese, ota la temperatura del mese. Ossa voglamo dagare l essteza d ua relazoe del tpo (cosumo d gelato)=f(temperatura) Il modello d regressoe leare semplce (3) E oto, fatt, che l cosumo d gelato o è costate ell ao, ma è fluezato dalle codzo clmatche, partcolare dalla temperatura. cosumo pro-capte d gelato mese Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4

2 Il modello d regressoe leare semplce (4) Il modello d regressoe leare semplce (5) cosumo pro-capte d gelato temperatura Il grafco mette rlevo ua relazoe puttosto forte, d tpo sostazalmete leare. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5 Se rteamo accettable l potes d relazoe leare, possamo esplctare u modello del tpo: Y = β + βx cu: β rappreseta l tercetta, ossa l valore assuto dal cosumo d gelat quado la temperatura è par a grad β rappreseta l coeffcete agolare della retta, e dca qual è la varazoe el cosumo per og varazoe utara della temperatura Tuttava tale modello è acora troppo rgdo quato potzza che, a partà d temperatura, l cosumo d gelato sa uguale tutt mes. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6 Il modello d regressoe leare semplce (6) Ua specfcazoe pù flessble è la seguete: Y = β + β X + errore, La compoete errore esprme la parte d varazo del cosumo d gelato che la relazoe leare potzzata co la temperatura o resce a spegare; è assuta addtva rspetto alla fuzoe f() potzzata. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7 Modell d regressoe leare semplce: termologa Il modello Y = β + β X + errore vee usualmete deomato modello d regressoe leare semplce. La varable Y è deomata varable dpedete (o varable rsposta). La varable X è deomata regressore (o varable esplcatva o varable dpedete). β e β soo dett parametr del modello. Il terme regressoe derva dalle org storche del modello (F. Galto, 888). Il terme semplce è rferto al fatto che speghamo la varable dpedete medate u modello che utlzza ua sola varable esplcatva. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 8

3 Modell lear e parametr Pù geerale, la dpedeza d ua varable Y da ua varable X può essere esplctata dalla relazoe: Y = f ( X; θ ) + errore dove f è ua geerca fuzoe d X e θ. Prederemo cosderazoe esclusvamete relazo lear e parametr. Esemp: X f X; θ = e θ o è leare e parametr ( ; θ ) log ( θ ) log ( θ ) ( ; θ ) θ θ log f X = X + X o è leare e parametr f X = + X è leare e parametr, fatt è del tutto equvalete al modello f Z; θ = θ + θ Z co Z = log( X ) ( ; θ ) θ θ f X = + X è leare e parametr, fatt è del tutto equvalete al modello f W ; θ = θ + θ W co W = X Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 9 Mm quadrat () Abbamo l problema d determare (stmare) valor (cogt) d β e β del modello specfcato. Ifatt, calcolato u valore ragoevole per due parametr (che chameremo ˆβ e ˆβ ), ota la temperatura meda d u mese possamo pesare d prevedere l cosumo d gelato come ˆ β + ˆ β cosumo d gelato. Sembra ragoevole cercare d determare stme de parametr cogt modo tale che l modello forsca u buo adattameto sull'seme d dat osservato, ossa tale che y ˆ β ˆ + βx y ˆ β + ˆ β x y ˆ β + ˆ β x Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao Mm quadrat () La soluzoe pù usata cosste ello sceglere due parametr mmzzado s y x = ( β, β ) = ( β β ) ossa mmzzado la somma delle dffereze al quadrato tra valor osservat della varable dpedete ed valor prevst dalla retta stmata. Questo crtero d stma de parametr è oto come metodo de mm quadrat. Mm quadrat (3) Il metodo de mm quadrat: rede mma la somma de quadrat delle dstaze de put dalla retta stmata. cosumo pro-capte d gelato Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao temperatura Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao

4 Determazo de parametr co l metodo de mm quadrat () Rsolvamo l problema della rcerca del mmo: Noto β, per ua propretà della meda artmetca sappamo che s y x = è mmzzata quado ( β, β ) = ( β β ) β = y β x Qud u valore per β può essere determato mmzzado ( y ) ( ) y + βx βx = y y β x x = = Determazo de parametr co l metodo de mm quadrat () S tratta d trovare l mmo della precedete equazoe per β. Dervado e poedo a zero la dervata s ottee l equazoe da cu s rcava = ( x x ) ( y y ) β ( x x ) = ( )( ) = = ( x x ) ( x x ) = = y y x x y y x x Cov X Y β = = = V X (, ) Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4 Determazo de parametr co l metodo de mm quadrat () Qud: (, ) Cov X Y = = ( y y )( x x ) ˆ β = y ˆ β x (, ) ˆ Cov X Y β = V X è detta covaraza; come vedremo pù avat, è ua msura della dpedeza leare tra due varabl quattatve. Propretà della covaraza (). La covaraza è uguale alla meda del prodotto tra X e Y meo l prodotto delle mede d X e Y (, ) Cov X Y ( y y )( x x ) y ( x x ) y ( x x ) = = = = = yx x y = = = y x x y = = = M XY M X M Y Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6

5 Sgfcato statstco d ˆβ E la stma della d varazoe d Y per varazoe utara d X, ossa stma d quato aumeta Y (ella sua utà d msura) all aumetare d X d u utà. Può assumere valor compres tra e +. Ha lo stesso sego della covaraza. Se ˆ β = Se ˆ β > v è evdeza d dpedeza leare tra Y e X; la retta stmata è parallela all asse delle ascsse, v è evdeza d dpedeza leare tra Y e X; la retta stmata è ascedete Se ˆ β < v è evdeza d dp. leare tra Y e X; la retta stmata è dscedete Esempo (cotua) Nell esempo cosderato abbamo che: y =.353 x = V ( X ) = M ( XY ) = 8.4 Cov X, Y =.87 Qud: ˆ Cov X, Y.87 β = = =.3 V X ˆ β = y ˆ β x = =. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 8 Esempo (cotua) s stma ua relazoe leare postva tra temperatura e cosumo d gelato; s valuta che preseza d ua temperatura meda mesle d grad F l cosumo pro-capte d gelato sa par a. pte; s stma che per og aumeto della temperatura par ad u grado, l cosumo d gelato aumet d.3 pte. Defzoe de resdu Le quattà e = y ˆy co ˆy ˆ ˆ = β + βx, soo defte resdu. E facle dmostrare che = e = Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 9 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao

6 Varaza de resdu () Poché e =, allora V ( e, e,, e ) = e = SQE = La varaza de resdu goca u ruolo mportate ella valutazoe della botà dell adattameto d u modello d regressoe leare a dat: pù la varaza de resdu sarà pccola, pù l modello s adatterà bee a dat. = Varaza de resdu () V ( e, e,, e ) = ( y y ) ˆ β ( x x ) = Da cu dscede che ˆ β ˆ β = + = = = ( y y ) ( x x ) ( y y )( x x ) = V Y + ˆ V X ˆ Cov X Y β β (, ) (, ) Cov X, Y Cov X, Y = V ( Y ) + V ( X ) Cov X, Y V X V X Cov X Y = V ( Y ) V X ( ) V e, e,, e V Y Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao Esempo (cotua) Resdu del modello: e Grafco de resdu E u dagramma a dspersoe che preseta ordata resdu ed ascssa le stme ˆy. L evdeza d partcolar patter e resdu dca ua volazoe dell potes d leartà. Put molto solat el grafco dcao la preseza d valor aomal. e = e = =.56 e =.63 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4

7 Esempo (cotua) Grafco de resdu Osservazo sulla covaraza () resdu Cosderamo due caratter quattatv X e Y. Defamo le due varabl scarto Naturalmete abbamo che X = X M X Y = Y M Y * * * * M ( Y ) M X = = -.6 Y prevsta Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6 Osservazo sulla covaraza () Cosderamo l protocollo elemetare delle varabl scarto ( *, * ) {( x x ),( y y ) =,,..., } X Y : X e Y presetao cocordaza se la maggor parte degl scostamet ha lo stesso sego. X e Y presetao dscordaza se la maggor parte degl scostamet ha sego opposto. Osservazo sulla covaraza (3) Nel caso cu a valor crescet d X corrspodao valor crescet d Y, c aspettamo che valor maggor della meda d X corrspodao a valor maggor della meda per Y; questo caso la covaraza rsulterà postva. Completamete smmetrco è quello che accade se a valor crescet d X corrspodao valor decrescet d Y; questo caso la covaraza rsulterà egatva. Pù forte è la relazoe tra le due varabl, pù c aspettamo che la covaraza dvet grade valore assoluto. I asseza d forme d relazoe mootoe c aspettamo che gl added sao parte postv ed parte egatv; questo caso la covaraza sarà ulla o prossma a zero. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 8

8 Osservazo sulla covaraza (3) S cosder ad esempo l seguete caso X Y La relazoe tra X e Y è perfetta ( Y = X ) ma o è mootoa. Le due varabl hao meda zero (duque soo varabl scarto). E facle verfcare che prodott degl scart d sego postvo s compesao co quello d sego egatvo e la covaraza è par a. Propretà della covaraza (). Dsuguaglaza d Cauchy-Schwarz (, ) S X S Y Cov X Y S X S Y qud S ( X ) S ( Y ) è l valore massmo che l valore assoluto della covaraza può assumere 3. Covaraza tra combazo lear ( +, + ) = (, ) Cov ax b cy d accov X Y 4. Cov ( Z, X + Y ) = Cov ( Z, X ) + Cov ( Z, Y ) 5. Cov ( X, X ) = V ( X ) Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 9 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3 Propretà della covaraza () 6. Varaza d ua somma d varabl ( + ) = + + (, ) V X Y V X V Y Cov X Y Ifatt: V X Y x y x y ( + ) = [ + ] = = + + = ( x x ) ( y y ) ( x x )( y y ) (, ) = V X + V Y + Cov X Y Mostrare per eserczo che V ( X Y ) = V ( X ) + V ( Y ) Cov ( X, Y ) Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3 Perché la covaraza msura la dpedeza leare () S cosder l caso cu tra X e Y v sa perfetta relazoe leare, ossa: e s cosder per semplctà b > I questo caso: y = a + bx y y = a + bx a bx = b x x Poché V ( Y ) = b V ( X ) l massmo della covaraza è: V Y V X = bv X y = a + bx Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 3

9 Perché la covaraza msura la dpedeza leare () Ioltre: (, ) Cov X Y = = = = ( y y )( x x ) ( )( ) = bv X b x x x x qud la covaraza è uguale al suo massmo. Ioltre, se o esste dpedeza leare tra le due varabl s può Cov X, Y =. faclmete dmostrare che Perché la covaraza msura la dpedeza leare (3) S cosder ora l caso cu X, rlevata su 7 dvdu, è u varable che assume seguet valor smmetrc attoro allo : -3, -, -,,, 3 M X = M X =., 3. Osservamo che Sa y = ( x + b) b > m( X ) Esste ua relazoe perfetta (e mootoa) tra X e Y: Y b= X Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 33 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 34 Perché la covaraza msura la dpedeza leare (4) Osservamo che (,( + ) ) = (, + + ) Cov X X b Cov X X bx b (, ) (, ) 3 = Cov X X + Cov X bx = M X M X M X + bv X = bv X = Il massmo del valore assoluto della covaraza è dato da ( + + ) = ( + ) V X V X bx b V X V X bx = V ( X ) V ( X ) + V ( bx ) + Cov ( X,bX ) = ( ) = V X V X + V bx Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 35 Perché la covaraza msura la dpedeza leare (5) Poché, come s può faclmete verfcare, questo caso V X > V X, s ha che V X V X + V bx > V X V X + V bx = V X + 4b Qud Cov X,( X b) + è sempre ferore al suo massmo quato 4 bv X < V X + b b Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 36

10 Coeffcete d correlazoe leare () Ua msura ormalzzata della dpedeza leare può essere dervata usado la propretà della covaraza (, ) V ( X ) V ( Y ) Cov X Y Il rapporto tra la covaraza ed l suo massmo è ota come coeffcete d correlazoe leare: (, ) Cor X Y = (, ) Cov X Y V X V Y E u dce che vara tra e e o dpede dall utà d msura de due caratter. E uguale alla covaraza tra le varabl stadardzzate. Coeffcete d correlazoe leare () Il sego del coeffcete d correlazoe leare corrspode al sego della covaraza. Assume l valore quado tra due caratter o v è dpedeza leare ( e pù geerale assocazoe mootoa) Il coeffcete d correlazoe leare assume valor e quado tra due caratter sussste u legame leare perfetto del tpo: Se b< allora Cor ( X, Y ) = Se b> allora Cor ( X, Y ) = Y = a + bx Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 37 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 38 Esempo Nella tabella soo rportat l cosumo d sgarette pro-capte (X) el 93 paes occdetal oché la mortaltà specfca (mort per mloe) per cacro a polmo el 95 (Y). I dat (Doll et. al. 954) rappresetao u mometo mportate ello stora dello studo dell assocazoe tra fumo d sgarette e cacro a polmo Paese X Y Australa 48 8 Caada 5 5 Damarca 38 7 Flada 35 Gra Bretaga 46 Islada 3 6 Paes Bass 49 4 Norvega 5 9 Sveza 3 Svzzera 5 5 Stat Ut 3 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 39 Esempo (cotua) Calcolamo l coeffcete d correlazoe tra caratter X e Y. Per prma cosa calcolamo le mede artmetche: 664 x = 6 y = x = = = y = = = 5.45 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4

11 Esempo (cotua) Note le mede possamo costrure le varabl scarto: Paese ( x x ) ( y y ) ( x x )( y y ) Australa Caada Damarca Flada Gra Bretaga Islada Paes Bass Norvega Sveza Svzzera Stat Ut Somma Esempo (cotua) La covaraza s ottee come meda artmetca de prodott degl scart: Cov ( X, Y ) = = (avremmo potuto calcolarla come meda del prodotto meo prodotto delle mede) Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 4 Esempo (cotua) Per calcolare l coeffcete d correlazoe servoo le devazo stadard. Paese ( x x ) ( y y ) Australa Caada Damarca Flada Gra Bretaga Islada Paes Bass Norvega Sveza Svzzera Stat Ut Somma Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 43 Esempo (cotua) V( X ) = = V( X ) = V( Y ) = = V( Y ) =.79 Da cu Cor ( X, Y ) = = Il legame leare tra due caratter è postvo e puttosto forte. Questo aspetto è evdezato ache dall aals del dagramma d dspersoe: Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 44

12 Esempo (cotua) Sgarette pro capte vs mortaltà per tumore a polmo Per valor alt del umero d sgarette pro capte c è maggore dspersoe. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 45 Altr esemp () Collettvo d 3 eoat uma classfcat secodo l peso alla ascta ( oce) e l accrescmeto percetuale del peso tra l 7 e l goro. 6 Accrescmeto 8 4 Peso alla ascta (X) vs Accrescmeto % del peso (Y) 6 Peso alla ascta 9 5 I questo caso Cor X, Y =.69. Il legame leare tra peso alla ascta e accrescmeto tra 7 e l goro è forte, ma d sego egatvo. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 46 Altr esemp () Paes europe (membr OCSE) classfcat per PIL pro-capte tasso d fecodtà geerale. Tasso d fecodtà I questo caso PIL pro capte vs tasso d fecodtà, Paes Europe PIL pro capte Cor X, Y =.. Il legame leare tra PIL pro capte e fecodtà geerale è debole. Il sego della relazoe è postvo. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 47 Altr esemp (3) Cosderamo u seme d osservazo potetco cu due caratter, X e Y, soo legate dalla seguete relazoe determstca: y = x + 4x I questo caso, Cor X Y = La correlazoe msura l testà del legame leare e assume valor e solo se dat soo alleat. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 48

13 Altr esemp (4) Calcolo del coeffcete d correlazoe a partre da ua tabella a doppa etrata (caratter etrambe quattatv) Se dat soo dspobl forma d dstrbuzoe coguta d frequeza possamo applcare la seguete formula per l calcolo della covaraza: H K Cov( X, Y ) = x x y y o alteratvamete: h = k = h = k = h k hk H K Cov( X, Y ) = x y x y h k hk Se le modaltà de due caratter soo raggruppate class occorrerà sostture a cascua classe valor rappresetatv x ˆ h e ˆy k. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 49 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5 Esempo 3 Cosderamo l seguet dat relatv alla dstrbuzoe delle famgle talae del 978 per umero d compoet e spesa mesle ( ): N. compoet (Y) Spesa mesle (X) 3 4 Totale Totale Esempo 3 (cotua) ) Calcolamo le mede d X e Y sulla base delle dstrbuzo margal: Le modaltà d X soo raggruppate class: sceglamo l loro puto medo come rappresetatvo: x ˆ h h xˆ h h Somma x = = Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 5

14 Esempo 3 (cotua) y k k yk k Somma y = =.44 4 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 53 Esempo 3 (cotua) Calcolo della covaraza: matrce de valor xˆ h y k matrce de valor xˆ h y k hk xˆ h ykhk = Abbamo qud xˆ h ykhk =.54 = = h= k= h k Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 54 Esempo 3 (cotua) e Cov ( X Y ), =.54 xy = =.96 Cov(X,Y) ha sego postvo e qud ache Cor ( X, Y ) >. Per calcolare Cor ( X, Y ) dobbamo calcolare gl scart quadratc med d X e Y. Effettuamo calcol basadoc, aalogamete alle mede, sulle dstrbuzo margal. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 55 Esempo 3 (cotua) x ˆ h h x ˆ h xˆ h h Somma H xˆ h = 9.36 x = = V X = 3.9 h y j j y j y j j Somma K j = y = y = j j Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 56

15 Esempo 3 (cotua) V ( Y ) =.3 Otteamo che S X = 3.9 =.978 S Y Qud: =.3 =.5.96 Cor ( X, Y ) = = Idpedeza meda e dpedeza leare () Sao X e Y due caratter quattatv. Sa oltre Y dpedete meda da X, ossa: ( ) M Y X = x = M Y Allora: H K Cov( X, Y ) = ( xh M ( X ))( yk M ( y )) hk = h= k= H K = ( xh M ( X )) ( yk M ( y )) hk = h= k= H K = ( xh M ( X )) ykhk h M ( Y ) = h= k= H = ( xh M ( X )) h M ( Y x h ) h M ( Y ) = h= Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 57 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 58 Idpedeza meda e dpedeza leare () I questo modo abbamo dmostrato che se due caratter soo dpedet meda allora soo ache dpedet learmete. I geerale o è vero l cotraro. Ifatt, abbamo vsto esemp d Cov X, Y =. I quest esemp le relazo curvlee per le qual mede codzoate soo comuque dverse tra loro. Idpedeza meda e dpedeza leare (3) Il cocetto d dpedeza leare è duque pù debole d quello d dpedeza meda. Rcordado che l dpedeza dstrbuzoe mplca l dpedeza meda possamo scrvere che: dpedeza dstrbuzoe dpedeza meda dpedeza leare Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 59 I geerale o valgoo le mplcazo ella drezoe opposta. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6

16 Il coeffcete d determazoe leare () Il coeffcete d determazoe leare () Ua volta stmata la retta d regressoe, occorre dare ua valutazoe quattatva della botà dell adattameto a dat. La varaza de resdu, che msura la dspersoe de put attoro alla retta, o è ua msura partcolarmete adatta perché dpede dall utà d msura d Y. S prefersce allora usare u dce che assume valor compres tra e e che è deomato coeffcete d determazoe leare. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6 Tale dce s basa sulla seguete scomposzoe della devaza d Y (Somma totale de quadrat - SQT): y ˆ ( ˆ ) y = y y + y y = = = SQT = SQR + SQE SQR: Soma de Quadrat spegat dalla Regressoe, è la devaza d regressoe, ossa la quota d varabltà d Y spegata dal modello leare. Quado tutt put gaccoo sulla retta d regressoe SQR=SQT. SQE: Somma de Quadrat degl Error, msura la quota d varabltà resdua, o spegata dalla retta d regressoe ed è massma el caso d dpedeza. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 6 Il coeffcete d determazoe leare (3) Il coeffcete d determazoe leare è otteuto rapportado SQR al propro massmo teorco SQT: R e SQE = = = SQR = = SQT SQT = = ( ˆy y ) ( y y ) ( y y ) L dce R rsulta uguale a quado tutt put gaccoo sulla retta. Rsulta uguale a el caso d dpedeza leare. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 63 = S può oltre mostrare che R = Cor ( X, Y ) Esempo (cotua) Poché ( y y ) = = Allora R = = L adattameto del modello stmato può rteers soddsfacete Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 64

17 La prevsoe co la retta d regressoe Utlzzado la retta d regressoe stmata s possoo effettuare prevso per assegat valor della varable dpedete. Ifatt, basta sfruttare la relazoe Esempo (cotua) ˆy = ˆ β + ˆ β x Se per u certo mese l servzo meteorologco prevede ua temperatura meda d 5 grad F, allora l cosumo pro-capte d gelato prevsto per quel mese è par a =.36 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 65 Esempo 4 Il gruppo IKEA ha cooscuto ua rapda e sorpredete espasoe del suo fatturato el corso del tempo. D seguto rportamo alcu dat rportat sul sto del gruppo ( relatv propro all adameto del fatturato mlo d. Ao (X) Fatturato (Y) Voglamo stmare coeffcet della retta d regressoe che spega l fatturato fuzoe dell ao d caledaro. Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 66 Esempo 4 (cotua) Il grafco a dspersoe mette rlevo ua evdete devazoe dall potes d leartà. Esempo 4 (cotua) Tuttava, stmare l modello leare può essere u utle eserczo soprattutto al fe d mparare a trattare opportuamete stuazo d questo tpo. fatturato (mlo d euro) ao Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 67 La stma de mm quadrat del coeffcete agolare modello rsulta essere ˆ β =.9 metre la stma delll tercetta è ˆ β = 489 (l tercetta questo modello ha uo scarso sgfcato emprco Il coeffcete d determazoe leare rsulta abbastaza elevato: R =.78 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 68

18 Esempo 4 (cotua) Tuttava l grafco de resdu rbadsce l adeguatezza del modello leare mettedo evdeza u forte patter: resdu Esempo 4 (cotua) Cosderamo ora u potes alteratva (espoezale) a quella leare: y = e β β + x I parametr d questo modello possoo essere stmat utlzzado l metodo studato per l modello leare effettuado ua opportua trasformazoe. Ifatt: y = l y = β + β x * Y prevsta Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 69 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7 Esempo 4 (cotua) S tratta ora d stmare parametr del modello su uov dat: Ao (X) Y*=l(Y) Cov ( X, Y *) = 53.8 Esempo 4 (cotua) V ( X ) = 86.5 Per cu ˆ β =.86 e ˆ β = 36.8 Ioltre R =.973 U valore elevatssmo, che dmostra l adameto quas esattamete espoezale del fatturato IKEA dal 954 ad ogg. y * = 6. x = Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7 Utà 9 - Corso d Statstca e Probabltà (FAI), Modulo d Statstca C. Trvsao 7