x L In una lastra di ceramica (k = 3.5 W/mK) di sezione rettangolare

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1 CONDUZIONE TERMICA IN REGIME STAZIONARIO ( ) In una lastra di ceramica (k = 3.5 W/mK) di sezione rettangolare 30 cm (L) x 15 cm (b) tre lati sono mantenuti alla temperatura costante di 5 C, la faccia superiore (di ordinata pari a b) ha un andamento della temperatura del tipo: x T 5 C 5 C sin L Determinare la temperatura al centro della lastra e la potenza termica, per unità di spessore della lastra (W/m), attraverso la faccia superiore della lastra.

2 PIASTRA BIDIMENSIONALE IN REGIME STAZIONARIO SENZA GENERAZIONE DI CALORE Le condizioni al contorno sono: 1) T 0 per x = 0 ) 3) T 0 T 0 per x = L per y = 0 4) T T m Se k è uniforme: x sen L T per y = b 0 T x T y 0 E un equazione differenziale alle derivate parziali ed omogenea che può essere integrata assumendo per T(x,y) una soluzione prodotto del tipo: T X x Y y X Y x 1 X X x Y X y 1 Y 0 Y y Siccome nessuno dei due membri può variare al variare di x e y entrambi, devono avere un valore costante ad esempio X xx y Y X 0 Y 0 Gli integrali generali sono: X Acosx B senx y y Y C e De

3 La soluzione generale è: Applichiamo le condizioni al contorno: 1) 0 y y, cos T x y A x B sen x C e D e y y T per x = 0 0 ACe De T per y = 0 0 B sin x C D 3) 0 ) 0 T per x = L y y 0 BCsen Le e n L con n=1,,3, A 0 D C senl 0 Esiste quindi una soluzione differente per ogni n intero ed ogni soluzione ha una diversa costante di integrazione: ' n n T x, y Cn sen x senh y n1 L L Applichiamo l ultima condizione al contorno per trovare le costanti C n : x x ' n n 4) T Tmsen T per y = b msen Cnsen x senh b L L n1 L L Tm che è soddisfatta per n=1: C 1 b senh senh y L La soluzione diventa: L T x, y Tm sen x senh b L L

4 IRRAGGIAMENTO TERMICO ( ) Si consideri un sistema simmetrico costituito da due sfere di raggio r 1 =r =10cm, distanti s = 10cm, poste all interno di una cavità nera del diametro di 1 m che si trova alla temperatura di 100 C. Le due sfere hanno stessa emissività pari a 0.7. Sapendo che la potenza termica netta emessa dalla cavità è pari a 0 kw determinare la temperatura delle due sfere. Il fattore di vista tra le due sfere è dato dalla relazione riportata sotto: F R 1 SR RS1 RS1 R R r r 1 s S r

5 IRRAGGIAMENTO TERMICO (16.0.1) Due cilindri concentrici molto lunghi si scambiano calore per irraggiamento. Sapendo che: - il cilindro interno (pieno) ha un diametro esterno di 40 cm ed emissività pari 0.80; - il cilindro esterno ha un diametro interno pari a 0.70 m ed emissività pari a 0.70; - nell intercapedine tra i due cilindri vi è un gas (che si porta alla temperatura di equilibrio tra i due cilindri) con emissività pari a 0.65 e coefficiente di riflessione nullo; - la superficie esterna del cilindro di diametro inferiore è mantenuta alla temperatura di 150 C; - la superficie i interna del cilindro di diametro superiore è mantenuta t alla temperatura di 40 C; determinare: - la potenza termica netta per unità di lunghezza che si scambiano i due cilindri; - la temperatura del gas. Considerare i fattori di vista tra superfici e gas pari ad uno.

6 CONDUZIONE ED IRRAGGIAMENTO TERMICO ( ) Un corpo di forma sferica del diametro di 10 cm si trova all interno di un guscio anch esso sferico e concentrico del diametro di 0 cm e spessore cm. Tra la sfera ed il guscio è presente il vuoto. Sapendo che: - ci si trova in regime stazionario; - il guscio è realizzato in acciaio avente un k = 40 W/(mK); - la potenza termica generata per unità di volume all interno della sfera è pari a 50 kw/m 3 ; - il coefficiente di scambio termico convettivo tra guscio ed aria esterna è pari a 8 W/(m K); - l ariaesterna si trova a 0 C; - la sfera ed il guscio hanno un emissività pari a 0.7; determinare: - la temperatura della superficie esterna del guscio; - la temperatura del la superficie interna del guscio; - la temperatura della sfera.

7 IRRAGGIAMENTO TERMICO TRA CORPI GRIGI J G E 1 G E i i i i ni i i i ni Per un corpo nero = 1 J G E J è la radiosità: radiazione totale n che abbandona una superficie per unità di tempo e per unità di area (W/m ) G G è l irradiazione: energia radiante che incide su una superficie per unità di tempo e per unità di area (W/m ) BILANCIO TERMICO DI UNA SUPERFICIE G J E T i J E 1 i i ni 1 i 4 i ni i In uno scambio termico per irraggiamento, una superficie perde energia emettendola per irraggiamento (J i )eguadagna energia assorbendo la radiazione emessa dalle altre superfici (G i ). La potenza termica netta scambiata per irraggiamento da una superficie i di area A i si esprime in W: Ji ie ni Eni Ji Eni Ji q i Ai Ji Gi qi Ai Ji q i 1 1 i i R i A i i R i resistenza superficiale

8 POTENZA TERMICA NETTA SCAMBIATA TRA DUE SUPERFICI GRIGIE Per la relazione di reciprocità: i ij j ji q AF J A F J ij i ij i j ji j Ji J j Ji J j qij AF i ij Ji J j qij 1 Rij AF i ij A F con R ij resistenza spaziale A F q ij Tenendo presente la relazione che lega le radiosità ità ai poteri emissivi delle superfici nere si può stabilire un analogia elettrica dell intero fenomeno di scambio termico tra le due superfici i e j attraverso le resistenze superficiali e spaziali. Se lo scambio termico avviene solo tra le superfici i e j si ha: q ij Eni Enj Eni Enj R i Rij Rj i A AF A i i i ij j j j

9 CAVITA COSTITUITA DA 3 SUPERFICI GRIGIE E ANALOGIA ELETTRICA q 1 q q 1 q 13 q 3 En 1 J J 1 1J J1J A1 1 AF 1 1 AF 1 13 E J n J 1J J J A AF 1 1 AF 3 E J n3 J3 1J3 J J A3 3 AF 1 13 AF 3 q1 q1 q13 q q1 q3 q 3 q 13q 3 0 q 3 Si fissa un verso arbitrario di q i e q ij ; Si risolve il sistema di 3 equazioni in 3 incognite (J 1, J e J 3 ) Se q i e q ij verso risultano negativi, si cambia il

10 SCHERMI ALLA RADIAZIONE q 1 T T A AF A A A F A 1 3,1 3, ,3 3 3,1 3 3,,3 F 3 F13 1 A1 A A3 A Se 1 3,1 3, si ottiene: 4 4 A T1 T q 1 1 Si dimostra che interponendo N schermi alla radiazione la potenza termica scambiata tra le superfici 1 e diventa: q A T1 T N 1 1 Se le superfici sono tutte nere ( = 1) si ottiene: q 1 A T T N 1

11 SCAMBIO TERMICO COMBINATO: IRRAGGIAMENTO + CONVEZIONE Q Ah T T conv p f T p Q 4 4 irr AFpf Enp Enf AFpf Tp Tf T f Superficie nera La potenza termica scambiata per irraggiamento può essere scritta come: Q AF T T T T AF T T T T T T irr pf p f p f pf p f p f p f Se T p T f 3 irr 4 pf p p f Q AF T T T La potenza termica scambiata per irraggiamento e convezione è data: 3 4 Q Ah T T AF T T T conv irr p f pf p p f ponendo: h 4F T Q h h AT T si ottiene: 3 I pf p conv irr I p f

12 FATTORE DI VISTA TRA DUE SUPERFICI RETTANGOLARI ADIACENTI

13 FATTORE DI VISTA TRA DUE SUPERFICI RETTANGOLARI ADIACENTI

14 FATTORE DI VISTA TRA DUE SUPERFICI CIRCOLARI PARALLELE E CONCENTRICHE N C