Esercitazioni di Fisica. venerdì 10:00-11:00 aula T4. Valeria Malvezzi

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Davide Testa
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1 Esercitazioni di Fisica venerdì 10:00-11:00 aula T4 Valeria Malvezzi

2 Richiami di trigonometria Definizioni goniometriche )α Relazione goniometrica fondamentale

3 I grafici delle funzioni f(x) = sin(x) e f(x) = cos(x) sul piano cartesiano. Il grafico della funzione f(x) = tan(x) sul piano cartesiano.

senα cosα tgα senα senα ± 1 sen 2 α ± sen

tg 2 α α cosα 1 ± 1 + tg 2 α ± tgα 1 cos 2

4 Nota la funzione trigonometrica di un angolo è possibile ricavare le altre: NOTO senα cosα tgα senα senα ± 1 sen 2 α ± sen α 1 sen 2 α cosα tgα ± ± 1 cos 2 tgα 1 + tg 2 α α cosα 1 ± 1 + tg 2 α ± tgα 1 cos 2 cosα α Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono poi i valori delle funzioni trigonometriche di altri archi particolari:

5 Archi associati: sen (π - α) = sen α cos (π - α) = -cosα sen (π/2 - α) = cos α cos (π/2 - α) = sen α sen (π + α) = -senα cos (π + α) = -cos α sen (π/2 + α) = cos α cos (π/2 + α) = sen α sen (2π - α) = -senα cos (2π - α) = cos α

6 Valori delle funzioni goniometriche di archi particolari α senα cosα tgα 15 = π/12 18 = π/ = π/6 1/2 3 /2 /3 45 = π/4 2/2 2/ = π/3 3 /2 1/ = π/2 1 0 non esiste 180 = π = 3/2π -1 0 non esiste 0 = 360 = 2π 0 1 0

Applicazioni nello studio dei triangoli: Le funzioni trigonometriche

cerchio unitario ma possono essere definite come rapporti fra i lati di

Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e

Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato

7 Applicazioni nello studio dei triangoli: Le funzioni trigonometriche sono definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario ma possono essere definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo. 1. Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. 2. Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. 3. La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente.

8 Nota sui triangoli: Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo in modo che la somma degli angoli interni è π radianti(o 180 ); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti sono compresi fra 0 e π/2 radianti. Esercizi: 1. In un triangolo rettangolo sia b = 3 e cosγ = 1/3, risolvere il triangolo. 2. In un triangolo rettangolo sia a = 2 e β = 60, risolvere il triangolo. 3. In un triangolo rettangolo sia a = 3 e b = 1, risolvere il triangolo. 4. In un triangolo rettangolo sia b = 4 e c = 3, risolvere il triangolo.

9 5. Semplificare le seguenti espressioni con le regole degli archi associati: sen( π α ) = sen (π /2 α) = sen (π + α ) = sen ( 2 π - α ) = 6. Sapendo che α è acuto e positivo e che senα = 3/5 calcolarne le altre funzioni trigonometriche. 7. Semplificare le seguenti espressioni: tg(π + α)sen(π - α) cos(π + α) + tg 2 (π - α)cos 2 (- α) sen 4 α sen 2 α cos 4 α + cos 2 α

10 Vettori e scalari Nello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di grandezze: scalari e vettori. Quantità scalari: è sufficiente un numero e la rispettiva unità per caratterizzarlo completamente massa energia lavoro potenza temperatura assoluta Le grandezze vettoriali hanno necessità di 4 informazioni: modulo direzione verso punto di applicazione

11 Il vettore può essere individuato anche tramite le sue componenti lungo un sistema di assi cartesiani: Il modulo del vettore puo essere espresso in funzione delle componenti: r 2 v = v + v 2 x 2 y r = v cos( α) r = v sin( α) Anche l angolo α può essere espresso in funzione delle componenti: v v v x y tan α = v y x

12 Esistono dei vettori speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori. Caratteristiche: Hanno modulo 1; Sono diretti lungo gli assi cartesiani; Indicano il verso positivo degli assi cartesiani. Un qualunque vettore puo essere espresso per mezzo delle sue componenti e dei versori i, j e k.

13 Somma di vettori Operazioni con vettori Metodo grafico: regola del parallelogrammo Differenza di vettori Il segno davanti a un vettore ne mantiene direzione e modulo, e ne inverte il verso:

14 Somma per componenti: Le componenti della somma di due vettori sono uguali alla somma delle rispettive componenti dei vettori addendi Prodotto di un vettore per uno scalare Per moltiplicare un vettore per uno scalare c si moltiplica per c ciascuna componente:

15 Prodotto di vettori Prodotto scalare: il prodotto scalare tra due vettori ha come risultato una grandezza scalare calcolo con le componenti: Proprietà: Nota: non si può definire il prodotto scalare di 3 vettori

16 Prodotto vettoriale: prodotto tra due vettori che ha come risultato un terzo vettore calcolo con le componenti: Modulo Direzione perpendicolare al piano individuato da a e b Verso avanzamento vite destrorsa, cavatappi, mano destra Proprietà:

17 Casi particolari

18 Esercizi sui vettori: 1. Dati i vettori a=4.2 m i-1.6 m j b=-1.6 m i+2.9 m j c= -3.7 m j trovare il vettore r che rappresenta la somma di a, b e c. 2. Determinare le coordinate del vettore 4a-5b sapendo che risulta a=(2,6,1) e b=(-2,3,-3). Si trovi successivamente il suo modulo. 3. Si trovi la componente orizzontale e quella verticale del vettore A, di modulo 15 che ha una inclinazione di 20 sud-est. 4. Un vettore ha componenti (-5, 10). Determinare il modulo del vettore e l angolo che forma con l asse x. 5. I vettori a= OA e b= OB sono espressi dalle a=4i-3j e b=-7i+8j. Determinare la rappresentazione cartesiana di AB 6. Verificare che i vettori a=(3,-5,1) e b=(2,6,24) sono ortogonali

19 7. Un cane effettua 3 spostamenti consecutivi D 1 = (15 i +30j +12 k) cm D 2 = (23 i -14j -5 k) cm D 3 = (-13 i + 15j ) cm Trovare le componenti dello spostamento risultante e il modulo. 8. Calcolare il prodotto scalare e vettoriale di 2 vettori che hanno intensità 6 unità e 3 unità e formano un angolo di 45. Indicare direzione e verso del vettore risultante nel prodotto vettoriale. 9. Un auto viaggia per 32 Km verso Est e da qui per 47 Km verso Nord. Trovare il vettore spostamento 10. Si considerino i seguenti vettori A = - i + 2j, B = 5 I, C = 3j, D = i - 2j - Disegnare i vettori A e B, trovare la risultante graficamente e determinare le sue componenti cartesiane. - Determinare graficamente la risultante R = A + B + C + D - Calcolare il prodotto scalare p = A D. - Disegnare i vettori C e D e determinare il prodotto vettoriale M = C x D.

20 11. Dati 2 vettori A = ( 3 i - 2 j) m e B = (- i 4 j) m Calcolare: a) A + B; b) A B; c) A+B d) A-B e) la direzione di A + B e di A B 12. In quale diagramma la somma A + B dei due vettori ha una componente positiva lungo l asse x?

21 Quale affermazione è errata? 1. due vettori di modulo diverso possono avere risultante nulla 2. se la risultante di tre vettori è nulla, allora i tre vettori sono complanari 3. tre vettori ciascuno ortogonale agli altri due, non possono avere risultante nulla 4. quattro vettori aventi lo stesso modulo possono avere risultante nulla Il prodotto scalare di due vettori paralleli è: 1. pari al prodotto dei moduli dei vettori 2. nullo 3. un numero minore del prodotto dei moduli dei vettori 4. un numero il cui valore assoluto è pari al prodotto dei moduli Dati due vettori a e b entrambi non nulli. Se vale la condizione a+b = a + b, allora se ne deduce che: 1. L angolo formato da a e b vale a è perpendicolare a b 3. a e b sono paralleli ed hanno stessa direzione 4. L angolo formato da a e b vale 45 Il modulo del prodotto vettoriale dei versori della terna cartesiana vale:

22 Due vettori, aventi diverso modulo, possono avere risultante nulla: 1. quando sono perpendicolari 2. quando sono paralleli ed hanno verso opposto 3. quando sono paralleli ed hanno lo stesso verso 4. mai Tre vettori, aventi diverso modulo (ciascuno diverso dagli altri due), possono avere risultante nulla: 1. quando sono coplanari 2. quando non sono coplanari 3. mai 4. quando sono a coppie perpendicolari

23 Due vettori a e b hanno componenti (1,0) e (-3,0), il loro prodotto scalare è: 1. zero Il vettore b=a/6 è definito come quel vettore: 1. ortogonale ad a con modulo b=6a 2. parallelo ed equiverso ad a con modulo b=6a 3. ortogonale ad a con modulo b=a/6 4. parallelo ed equiverso ad a con modulo b=a/6 Dati tre vettori A=-3i+2j-k,B=i-3j+5k, C=2i+j-4k, è possibile verificare se sono perpendicolari tra loro? 1. Solo i vettori B e C sono perpendicolari tra loro 2. I vettori A, B e C non sono perpendicolari tra loro 3. Solo i vettori A e C sono perpendicolari tra loro 4. Solo i vettori A e B sono perpendicolari tra loro

24 Il prodotto vettoriale tra due vettori axb è nullo quando: 1. a e b sono paralleli 2. a e b sono perpendicolari 3. a e b formano un angolo acuto 4. a e b hanno lo stesso modulo Il prodotto scalare tra due vettori è espresso: 1. Dalla somma dei moduli dei vettori 2. Dalla regola del parallelogramma 3. Dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell angolo compreso 4. Dal prodotto dei moduli dei vettori Il prodotto scalare di due vettori assume il valore massimo quando: 1. I due vettori sono paralleli e controversi 2. I due vettori sono paralleli ed equiversi 3. I due vettori sono perpendicolari tra loro 4. I due vettori formano un angolo acuto

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e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b

8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B