F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B

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1 In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B A µ dnds = µ d N B A ds = µ dnl AB con Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

2 In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B A µ dnds = µ d N B A ds = µ dnl AB con L AB la lunghezza effettiva del percorso compiuto. Quando il lavoro non dipende dal percorso effettuato ovvero Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

3 Indipendendenza dal percorso per In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B A µ dnds = µ d N B A ds = µ dnl AB con L AB la lunghezza effettiva del percorso compiuto. Quando il lavoro non dipende dal percorso effettuato ovvero B A ( F ds) I = B A ( F ds) II (1) Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

4 Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = B A µ dnds = µ d N B A ds = µ dnl AB con L AB la lunghezza effettiva del percorso compiuto. Quando il lavoro non dipende dal percorso effettuato ovvero B A ( F ds) I = B A ( F ds) II (1) qualunque siano i percorsi I e II allora si dice che la forza F è conservativa. Se questo è verificato allora l integrale B A ( F ds) = G(B) G(A) si può esprimere come differenza dei valori di una funzione G(x) (una primitiva) nelle coordinate dei punti A e B (il lavoro allora dipenderà dalle coordinate dei punti ma non dallo specifico percorso fatto) (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

5 Conseguenza di ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono, il lavoro sarà nullo: Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

6 Conseguenza di ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono, il lavoro sarà nullo: L = 0 F ds = 0 (2) L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza è conservativa. Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

7 Indipendendenza dal percorso per Conseguenza di ciò è che se il percorso è chiuso, ovvero i punti iniziali e finale coincidono, il lavoro sarà nullo: L = 0 F ds = 0 (2) L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza è conservativa. La funzione primitiva G(x) cambiata di segno è detta potenziale: L AB = U A U B = U = E p Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

8 L = 0 F ds = 0 (2) L=0 per qualunque percorso chiuso equivale a dire che la forza è conservativa. La funzione primitiva G(x) cambiata di segno è detta potenziale: L AB = U A U B = U = E p Indipendendenza dal percorso per Indipendendenza dal percorso per (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

9 alcune alcune Calcolare l energia potenziale significa effettuare il seguente integrale U = x f x i F(x)dx (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

10 alcune alcune Calcolare l energia potenziale significa effettuare il seguente integrale U = x f x i F(x)dx potenziale forza peso Es. 1: Forza costante (es. Forza peso): F=-mg che in genere è diretta lungo l asse y per cui integriamo di fatto su dy: U = y f y i ( mg)dy = +mg(y f y i ) U = mg y ovvero U f U i = mgy f mgy i U = mgy+cost. (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

11 Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto calcoliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l energia potenziale in un preciso punto (ad es. y f ). Per fare questo dobbiamo considerare un punto di riferimento per l energia (Politecnico potenziale di Bari) al quale attribuiamo arbitrariamente energia 21 ottobre / 14 alcune alcune Calcolare l energia potenziale significa effettuare il seguente integrale U = x f x i F(x)dx potenziale forza peso Es. 1: Forza costante (es. Forza peso): F=-mg che in genere è diretta lungo l asse y per cui integriamo di fatto su dy: U = y f y i ( mg)dy = +mg(y f y i ) U = mg y ovvero U f U i = mgy f mgy i U = mgy+cost.

12 Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto calcoliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l energia potenziale in un preciso punto (ad es. y f ). Per fare questo dobbiamo considerare un punto di riferimento per l energia potenziale al quale attribuiamo arbitrariamente energia potenziale nulla. Questa nostra scelta non avrà alcuna conseguenza nel calcolo delle variazioni di energia potenziale. Nell esempio considerato ad esempio si attibuisce energia (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14 alcune alcune potenziale forza peso Es. 1: Forza costante (es. Forza peso): F=-mg che in genere è diretta lungo l asse y per cui integriamo di fatto su dy: U = y f y i ( mg)dy = +mg(y f y i ) U = mg y ovvero U f U i = mgy f mgy i U = mgy+cost.

13 alcune alcune Normalmente si calcolano sempre delle differenze in quanto di fatto calcoliamo dei lavori. Possiamo comunque volere l energia potenziale in un preciso punto (ad es. y f ). Per fare questo dobbiamo considerare un punto di riferimento per l energia potenziale al quale attribuiamo arbitrariamente energia potenziale nulla. Questa nostra scelta non avrà alcuna conseguenza nel calcolo delle variazioni di energia potenziale. Nell esempio considerato ad esempio si attibuisce energia potenziale nulla al livello del suolo y i = 0, U(y i ) = 0. Fatta questa scelta abbiamo che U = mgy è l energia potenziale in un generico punto alla quota y e U = mg(y f y i ). L energia potenziale gravitazionale dipende solo dall altezza rispetto al suolo (che è scelta come posizione di riferimento U(0)=0). (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

14 alcune potenziale delle Forze elastiche Le elastiche hanno F=-kx per cui U = x f x i ( kx)dx = +[ 1 2 kx2 ] x f x i = 1 2 k(x2 f x2 i ) U = 1 2 kx2 +cost. La costante è definita scegliendo un riferimento opportuno: U=0 quando x i = 0, avendo indicato con x i = 0 la posizione a riposo della molla e quindi l energia potenziale elastica della molla ha espressione U = 1 2 kx2 (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

15 alcune Definiamo E di un sistema la somma della sua energia cinetica con l energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi componenti. E = E p +E k oppure E = U +K Vediamo cosa accade ad un punto materiale soggetto solo a : (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

16 alcune Definiamo E di un sistema la somma della sua energia cinetica con l energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi componenti. E = E p +E k oppure E = U +K Vediamo cosa accade ad un punto materiale soggetto solo a : dal teorema del lav-en.cinetica abbiamo che L = E k e dalla definizione di abbiamo che L = U per cui U = E k (U +E k ) = 0 ovvero (U f U i ) = E kf E ki U f +E kf = U i +E ki E f = E i (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

17 alcune Definiamo E di un sistema la somma della sua energia cinetica con l energia potenziale eventualmente posseduta da tutti i suoi componenti. E = E p +E k oppure E = U +K Vediamo cosa accade ad un punto materiale soggetto solo a : dal teorema del lav-en.cinetica abbiamo che L = E k e dalla definizione di abbiamo che L = U per cui U = E k (U +E k ) = 0 ovvero (U f U i ) = E kf E ki U f +E kf = U i +E ki E f = E i L energia si conserva in presenza di (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

18 alcune Se in un sistema isolato agiscono solo allora l energia del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile) dell applicazione del principio è quello di poter considerare solo gli stati iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi. (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

19 alcune Se in un sistema isolato agiscono solo allora l energia del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile) dell applicazione del principio è quello di poter considerare solo gli stati iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi. Esercizio 8.3 Un oggetto di massa m scivola su un piano privo di attrito da una altezza h=8.5m. Calcolare la velocità alla fine dello scivolo. (confrontate la soluzione con quella trovata con lo svolgimento tramite il secondo principio) (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

20 alcune Se in un sistema isolato agiscono solo allora l energia del sistema non cambia. Potranno cambiare separatamente U e K in modo da dare una somma costante. Il vantaggio (quando possibile) dell applicazione del principio è quello di poter considerare solo gli stati iniziali e finale del punto senza dover considerare gli stati intermedi. Esercizio 8.3 Un oggetto di massa m scivola su un piano privo di attrito da una altezza h=8.5m. Calcolare la velocità alla fine dello scivolo. (confrontate la soluzione con quella trovata con lo svolgimento tramite il secondo principio) mgh = 1 2 mv2 v = 2gh (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

21 alcune Esercizio 8.4 Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160n/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h =45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà? (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

22 alcune Esercizio 8.4 Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160n/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h =45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà? Le agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte inoltre sia all inizio che alla fine l oggetto è fermo (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

23 alcune Esercizio 8.4 Un oggetto di massa M=61 Kg è legato ad una corda elastica di lunghezza L=25m e di costante elastica k=160n/m. Se tale oggetto è lanciato da un ponte alto h =45 m sopra un fiume, a quale altezza h dal fiume arriverà? Le agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte inoltre sia all inizio che alla fine l oggetto è fermo All inizio: U g = mgh (riferita al suolo) e U el = 0 (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

24 alcune Le agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte inoltre sia all inizio che alla fine l oggetto è fermo All inizio: U g = mgh (riferita al suolo) e U el = 0 Alla fine si avra U g = mgh e U el = 1 2 k(h h 25) 2 (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

25 alcune Le agenti sono la fune elastica e la forza peso tutte inoltre sia all inizio che alla fine l oggetto è fermo All inizio: U g = mgh (riferita al suolo) e U el = 0 Alla fine si avra U g = mgh e U el = 1 2 k(h h 25) 2 Per cui si avrà mgh = mgh+ 1 2 k(h h) 2 mg(h h) = 1 2 k(h h) 2 mg = 1 2 k(h h 25) h = h 2mg k =... (verificare soluzione h=2.06m!) (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

26 alcune 4.6-Estensione del principio di Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l energia trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal sistema (W< 0) W 0 W<0 (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

27 alcune 4.6-Estensione del principio di Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l energia trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal sistema (W< 0) W 0 W<0 Quindi in generale per un sistema qualunque possiamo dire che il lavoro complessivo è (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

28 alcune 4.6-Estensione del principio di Lavoro svolto da una forza esterna: avendo definito il lavoro come l energia trasferibile ad un corpo (teor.lavoro-en.cinetica) allora possiamo vedere il lavoro esterno come un trasferimento di energia al sistema (W> 0) o dal sistema (W< 0) W 0 W<0 Quindi in generale per un sistema qualunque possiamo dire che il lavoro complessivo è L tot = (lavori di tutte le agenti)= L cons +L noncons Inoltre L tot = L cons +L nc = E k (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

29 alcune quindi ricavando il lavoro delle non si ha: L nc = E k L cons = E k ( U) = (E k +U) = E. Il lavoro delle non è pari alla variazione di energia Tra le non vi sono gli attriti per i quali E mecc < 0 e per qusto motivo sono dette dissipative in questo caso l energia viene parzialmente convertita in calore dovuto ad esempio allo strofinamento con la superficie di contatto. (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

30 alcune quindi ricavando il lavoro delle non si ha: L nc = E k L cons = E k ( U) = (E k +U) = E. Il lavoro delle non è pari alla variazione di energia Tra le non vi sono gli attriti per i quali E mecc < 0 e per qusto motivo sono dette dissipative in questo caso l energia viene parzialmente convertita in calore dovuto ad esempio allo strofinamento con la superficie di contatto. (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

31 alcune Se consideriamo tutte le forme di energia possibili e consideriamo l energia totale E di un sistema, essa può variare solo se viene trasferita da o verso l esterno. In sostanza dato un sistema il lavoro compiuto da una forza esterna è L = E mecc + E int + E cal e se il sistema è isolato l energia totale del sistema si conserva: E mecc + E int + E cal = 0 avendo chiamato con E int L energia dovuta alle interne al sistema E cal l energia termica prodotta dagli attriti (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

32 alcune Ricerca analitica di una forza Dal momento che per le si ha U(x) = L = F x x allora F x (x) = U x e portando agli infinitesimi F x (x) = du dx ovvero la forza lungo la direzione x è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a x e cambiata di segno. Graficamente rappresenta la pendenza della curva. U U(x) tgα=du dx α x (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14 La relazione indicata scritta nello spazio diventerebbe:

33 alcune 4.7 Momento angolare -Appendice C Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto Se v è un vettore applicato in un punto P si definisce momento del vettore rispetto ad un punto O (detto polo) il vettore M o = OP v ed è ortogonale al piano definito dai vettori OP e v e ha modulo Mo = OP v sinθ = OH v con la distanza OH = h che viene detta braccio di v rispetto ad M O θ P O H O (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14 v

34 alcune 4.7 Momento angolare -Appendice C Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto OP e v e ha modulo M o = OP v sinθ = OH v con la distanza OH = h che viene detta braccio di v rispetto ad O O M O H P θ v Comunque si muovi il vettore v lungo la retta d azione HP il vettore M o non cambia ma se si cambia polo in genere cambia anche il momento (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

35 alcune 4.7 Momento angolare -Appendice C Appendice C- Momento di un vettore rispetto ad un punto M O v O H P θ Comunque si muovi il vettore v lungo la retta d azione HP il vettore M o non cambia ma se si cambia polo in genere cambia anche il momento Infatti se introduciamo un nuovo punto O si avrà M o = O P v = ( O O+ OP) v = O O v+ M o (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

36 alcune 4.7 Momento angolare e momento della Forza Momento angolare Definiamo come momento angolare il vettore L = r p = r m v (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

37 alcune 4.7 Momento angolare e momento della Forza Momento angolare Definiamo come momento angolare il vettore L = r p = r m v che è calcolato rispetto al polo O, se si cambia polo per quanto detto prima si avrà L O = O O m v+ L O (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

38 alcune 4.7 Momento angolare e momento della Forza Momento angolare Definiamo come momento angolare il vettore L = r p = r m v che è calcolato rispetto al polo O, se si cambia polo per quanto detto prima si avrà L O = O O m v+ L O Momento della Forza Analogamente il il momento della Forza è definito come M O = r F ovviamente la somma dei momenti risulta pari al momento della risultante: M = i r F i = r i F i (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

39 alcune Teorema del momento angolare Deriviamo rispetto al tempo il momento angolare: d L dt = d r dt m v+ r md v dt Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui il moto avviene allora d r dt = v per cui il primo prodotto vettoriale si annulla e risulta d L dt = r md v dt = r m a = r F = M o ovvero il teorema del Momento angolare: M o = d L o dt La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento della forza se entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un sistema di riferimento inerziale (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

40 alcune Teorema del momento angolare Deriviamo rispetto al tempo il momento angolare: d L dt = d r dt m v+ r md v dt Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui il moto avviene allora d r dt = v per cui il primo prodotto vettoriale si annulla e risulta d L dt = r md v dt = r m a = r F = M o ovvero il teorema del Momento angolare: M o = d L o dt La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento della forza se entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un sistema di riferimento inerziale Se il momento delle è nullo allora M = 0 L = costante Inoltre quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: t 0 Mdt = t 0 ( r F)dt = r t 0 F = r J = L che è detto teorema del momento dell impulso (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

41 alcune Se il momento delle è nullo allora M = 0 L = costante Inoltre quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: t 0 Mdt = t 0 ( r F)dt = r t 0 F = r J = L che è detto teorema del momento dell impulso Lavoro in un moto circolare Infine possiamo esprimere il lavoro in termini di uno spostamento angolare: L = B A F Tds = θ B θ A F T rdθ = θ B θ A Mdθ (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

42 alcune Se il momento delle è nullo allora M = 0 L = costante Inoltre quando la forza è applicata per tempi brevi si può scrivere: t 0 Mdt = t 0 ( r F)dt = r t 0 F = r J = L che è detto teorema del momento dell impulso Lavoro in un moto circolare Infine possiamo esprimere il lavoro in termini di uno spostamento angolare: L = B A F Tds = θ B θ A F T rdθ = θ B θ A Mdθ Unità di misura dei momenti: Momento della forza:nm Momento angolare: kg ms 1 = Nms (Politecnico di Bari) 21 ottobre / 14

F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att =

F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di attrito radente: F att = 2 ENERGIE POTENZIALI DI ALCUNE FORZE Parte I 1 4.5 - Forze conservative In generale il lavoro L = f i F ds dipende dal percorso effettuato. Basta infatti considerare il lavoro compiuto da una forza di

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