Riepilogo calcolo ruote dentate a dentatura diritta Verifica a rottura per flessione

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1 Riepilogo calcolo ruote dentate a dentatura diritta Verifica a rottura per flessione 2 M corr σ MAX = m 3 X v Z 1 y Problema di progetto MAX ams 3 2 M corr m σ ams X v Z 1 y Dove Xv coefficiente di maggiorazione dinamica X v = A A + v p A=3 per ingranaggi poco precisi (ruote finite di dentatrici) A=6 per ingranaggi precisi (ruote sbarbate o rettificate) Riepilogo calcolo ruote dentate a dentatura diritta

2 Verifica ad usura (PITTING) 3 2 M corr p max = K 1 ( ) b d 1 sin 2 f v d 1 d 2 HB in dan/mm 2 n numero di giri al minuto h ore di funzionamento p MAX p ams p ams = 24,5 HB 6 n h Problema di progetto K 1 = 378 N mm 2 3 m 2 K 1 2 Z 2 1 sen(2 ) (1 + Z 1 ) Z 2 M c 2 f v p ams

3 Il rendimento degli ingranaggi cilindrici a denti diritti A causa della resistenza d attrito dovuta allo strisciamento che si ha tra i denti in presa di un ingranaggio, la potenza effettivamente utilizzabile sull albero condotto P2 è sempre inferiore a quella sviluppata sull albero motore P1. Il rapporto tra P2 e P1, ovvero il rendimento η di un ingranaggio, nel caso di ruote cilindriche a denti diritti è esprimibile dalla seguente relazione: 1 η = 1 + f π ( Z 1 Z ) 2 ove: f è il coefficiente di attrito radente Z1 e Z2 sono i numeri di denti delle ruote accoppiate. Da questa relazione si deduce che, fissato un determinato coefficiente di attrito f, il rendimento è tanto maggiore quanto minore è la somma: ( 1 Z Z 2 ) In ogni caso, una lubrificazione efficace (e quindi un coefficiente di attrito molto basso) è una condizione essenziale per ottenere un buon rendimento. Quando gli ingranaggi sono lubrificati in modo efficace e i denti sono stati ottenuti con un buon grado di finitura, il coefficiente di attrito f può ritenersi compreso tra 0,04 e 0,1. In queste condizioni, i rendimenti di questi ingranaggi possono raggiungere valori superiori al 99 %. Le ruote dentate cilindriche a denti elicoidali Mentre nelle ruote dentate cilindriche a denti diritti i fianchi dei denti sono realizzati per inviluppo da una serie di rette (le cosiddette rette direttrici ) parallele all asse della ruota, generatrici dei fianchi dei denti diritti Fr r r Fr Ft F Ft Cilindro primitivo

4 nelle ruote dentate cilindriche a denti elicoidali le direttrici dei fianchi sono eliche cilindriche (dette eliche direttrici) inclinate rispetto all asse geometrico della ruota di un certo angolo (β) detto angolo di elica (generalmente compreso tra 10 e 45 ), b= mn pn Fr Fm Fa r Fa Fr β pf Ft Fm Fm β generatrici dei fianchi dei denti Cilindro primitivo La Ft, tangente al cilindro primitivo, dovendo restare perpendicolare alle generatrici dei fianchi dei denti come nel caso delle dentature diritte, ora trattandosi di denti elicoidali, non è più la spinta tangenziale responsabile della trasmissione del moto. Lo è invece la sua componente Fm che vale: ove è: F m = F t F t = F cos α ove F è la forza che si trasmettono i denti in presa. Dovremo allora scrivere da cui M t = F m r F m = M t r

5 La componente assiale (Fa) di Ft vale F a = F t sin β che è anche esprimibile F a = F m tan β Che a parità di Ft cresce al crescere dell angolo d elica β. Per annullare questa componente si predispongono opportuni sistemi di montaggio o si ricorre a ingranaggi bielicoidali. Si può osservare che la forza F che si trasmettono i denti in presa è esprimibile: F = F t cos θ Sostituendo Ft in funzione di Fm F m F = cos θ Ovvero M t F = r cos θ la lunghezza del dente b cresce al crescere dell angolo d d elica β. Infatti b = b Ove b è lo spessore assiale della ruota. Di conseguenza cresce anche l arco di condotta e, in definitiva, il numero dei denti contemporaneamente in presa. Il rendimento degli ingranaggi cilindrici a dentatura elicoidale è ricavabile in modo analogo a quello degli ingranaggi cilindrici a dentatura diritta. La distanza tra due punti omologhi di due denti successivi, se misurata su una sezione normale del cilindro primitivo viene chiamato passo frontale o circonferenziale o trasversale (pf); se invece viene misurata su una sezione del cilindro primitivo perpendicolare alle eliche direttrici è detta passo normale (pn). Ai due passi ora definiti corrispondono rispettivamente il modulo frontale mf e il modulo normale mn. Essendo p n = p f Risulta anche, dividendo ambo i membri per m n = m f

6 Due ruote dentate coniugate devono possedere lo stesso passo normale, se hanno assi paralleli, i loro angoli di elica devono essere uguali (se l elica di una ruota sarà destrorsa, quella della ruota accoppiata sarà sinistrorsa). Se invece la trasmissione avviene tra assi sghembi, le dentature hanno angoli di elica diversi. Caratteristiche delle ruote dentate cilindriche a dentatura elicoidale. Durante l ingranamento i denti delle ruote vengono a contatto in modo progressivo, ciò determina una maggiore silenziosità rispetto alle dentature diritte. Inoltre la ruota a denti elicoidali è caratterizzata da una lunghezza dell arco di azione maggiore di quella che avrebbe se fosse a denti diritti, il che consente di ridurre il numero di denti minimo e di conseguenza, le dimensioni della ruota. Il numero minimo di denti di una ruota cilindrica a denti elicoidali è esprimibile con la relazione: Z min denti el = Z min denti dir cos 3 β il numero di denti minimo per ruote cilindriche a denti elicoidali è tabellato in funzione dell angolo d elica. Dimensionamento di una ruota dentata a denti elicoidali Metodo di Reuleaux Per il dimensionamento del dente si procede analogamente a quanto fatto per le ruote dentate cilindriche a denti diritti, ponendo M in sostituzione di M b = m n m f in sostituzione di b in sostituzione di m si perviene alla relazione 3 10,9 M m f = σ amd Z cos 2 β Calcolato il mf si risale al mn m n = m f

7 Che sarà arrotondato, in eccesso, al valore più prossimo previsto dalle norme. Metodo di Lewis Il calcolo del modulo di una ruota a dentatura elicoidale può essere impostata con le ipotesi di Lewis, tenendo presente che, per ricavare il coefficiente di Lewis y non si deve utilizzare Z ma Zid, σ MAX = 2 M corr m 2 n X v Z b y ove y = 0,484 0,2865 Z id ove Z id = Z cos 3 β Nelle ruote dentate a dentature elicoidale la formula di verifica presenta le seguenti differenze: 1) è presente il mn 2) per ricavare il coefficiente di Lewis y non si deve utilizzare Z ma Zid, 3) il fattore cosβ considera che la lunghezza del dente è b/cosβ Problema di progetto La formula conclusiva per il calcolo del modulo secondo Lewis è uguale: 3 m n = 2 M c X v σ ams y Z Verifica a usura È bene procedere anche al calcolo di verifica per stabilire se la pressione specifica p fra due denti a contatto è inferiore a quella massima ammissibile p0, il cui valore dipende dalle caratteristiche del materiale impiegato e dalle condizioni di lavoro. Dalla teoria di Hertz si ricava il valore della pressione specifica

8 3 2 M corr p max = K 1 ( ) b d 1 sin 2θ t f v d 1 d 2 Ove t è l angolo di pressione trasversale Ne segue tan θ t = tan θ n Ne segue θ t = tan 1 tan θ n b = m n Per quanto riguarda la pressione ammissibile, la sua espressione non differisce da quella relativa alle ruote dentate cilindriche a denti diritti: p 0 = 2,5 6 HB n h HB va espressa in dan/mm 2 n il numero di giri (in giri/min) della ruota più piccola. h la durata in ore h= funzionamento continuo h= funzionamento discontinuo h= funzionamento saltuario La vita del pignone di calcola con h = ,5 HB ( ) n 1 p MAX

9 Problema di progetto 3 m n 2 K 1 2 M corr cos 2 β Z sin 2θ t f v p amm (1 + Z 1 ) Z 2 Riepilogo calcolo ruote dentate a dentatura elicoidale ad usura (PITTING) Nella realtà la p ams dipende dalla velocità di rotazione del pignone (rpm) e dal numero di ore di funzionamento. Quando una ruota dentata ha pochi denti (piccolo diametro) l evolvente è molto curvo, questo implica che la pressione di contatto è elevata. All aumentare del numero di denti (a parità di diametro primitivo) lo spessore del dente diminuisce questo implica che la sua resistenza a flessione diminuisce. Quindi esiste un numero di denti detto equilibrato in cui si eguagliano la resistenza a flessione e la resistenza a PITTING. Se il numero di denti è minore di quello equilibrato la verifica più critica è quella a PITTING, viceversa, la verifica più critica è quella di rottura a flessione.