L EQUAZIONE DI UNA RETTA CAPITOLO 3. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
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- Geraldo Biagi
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1 L EQUAZIONE DI UNA RETTA CAPITOLO 3. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
2 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 2 /20 1. LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI Un equazione lineare in due variabili x e y è un equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma: a x + b y + c = 0 con a, b, c (a e b non entrambi nulli). Una soluzione dell equazione è una coppia (x 0 ; y 0 ) di numeri reali che la soddisfa. ESEMPIO 3x + 2y 6 = 0 con x = y 6 = 0 cioè 2y = 3 è una soluzione. E nello stesso tempo rappresenta un punto nel piano cartesiano. Inoltre x 0 2 3x = 0 y y 6 = 0 y = y 6 = 0 y = 0 1
3 2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI L EQUAZIONE DI UNA RETTA 3 /20 ESEMPIO Retta parallela all asse x Retta parallela all asse y PROPRIETÀ Equazione di una retta parallela a un asse L equazione di una retta parallela all asse x è y = k. L equazione di una retta parallela all asse y è x = h.
4 2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI L EQUAZIONE DI UNA RETTA 4 /20 PROPRIETÀ Le equazioni degli assi L equazione dell asse x è y = 0. L equazione dell asse y è x = 0.
5 2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI L EQUAZIONE DI UNA RETTA 5 /20 Retta non parallela agli assi Condizione di allineamento Consideriamo tre punti P, P 1 e P 2 e le loro proiezioni sugli assi. La condizione perché P (x; y) appartenga alla retta passante per P 1 (x 1 ; y 1 ) e P 2 (x 2 ; y 2 ) è:
6 2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI L EQUAZIONE DI UNA RETTA 6 /20 TEOREMA Retta non parallela agi assi A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano. Due casi particolari dell equazione di una retta
7 3. LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI L EQUAZIONE DI UNA RETTA 7 /20 Equazione della retta passante per due punti La condizione di allineamento fornisce l equazione della retta passante per i punti (x 1 ; y 1 ) e (x 2 ; y 2 ): y y1 x x 1. y2 y1 x2 x1 ESEMPIO Determiniamo l equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e B(1;-4) e stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta. y 5 = 3x 6 y + 3x + 1 = 0 C( 1;2), y + 3x + 1 = ( 1) + 1 = 0 D(1;3), y + 3x + 1 =
8 4. DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA L EQUAZIONE DI UNA RETTA 8 /20 Equazione della retta in forma implicita ESEMPIO a x + b y + c = 0 Equazione della retta in forma esplicita coefficiente angolare ordinata all origine y = m x + q Scriviamo in forma esplicita l equazione 9x + 3y 2 = 0. 3y = 9x + 2 y = x + y = 3x + Il coefficiente angolare è 3 L ordinata all origine è
9 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 9 /20 5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI Se l ascissa aumenta di una certa quantità fissa, l ordinata cresce anch essa di una quantità fissa. Quando l ascissa aumenta di 1 unità, l ordinata aumenta di m.
10 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 10 /20 5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI PROPRIETÀ Coefficiente angolare e coordinate di due punti Il coefficiente angolare di una retta non parallela all asse y è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti della retta: y2 y m 1. x2 x1 ESEMPIO Il coefficiente angolare della retta passante per A(1; ) e B(3; 4) è:
11 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 11 /20 5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI Il coefficiente angolare fornisce informazioni sull angolo tra la retta e l asse x *, ossia sulla pendenza della retta. * Angolo tra la semiretta i cui punti hanno ordinata positiva e il semiasse x di verso positivo. Pendenza positiva m = 2 Pendenza positiva m = 1/3 Pendenza negativa m = 2
12 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 12 /20 6. L EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x 1 ; y 1 ): y y 1 = m (x x 1 ) ESEMPIO Troviamo la retta di coefficiente angolare m =, passante per P (1; 2). Equazione di una retta passante per l origine: y = mx y 2 = (x 1)
13 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 13 /20 7. ESERCIZI: DAL GRAFICO ALL EQUAZIONE Per ogni grafico scrivi l equazione della retta relativa.
14 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 14 /20 7. ESERCIZI: DAL GRAFICO ALL EQUAZIONE
15 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 15 /20 7. ESERCIZI: DAL GRAFICO ALL EQUAZIONE Scrivi le equazioni delle rette rappresentate, utilizzando le informazioni fornite dal grafico. Scrivi l equazione della retta passante per la coppia di punti indicata. Stabilisci se le seguenti terne di punti sono costituite da punti allineati e, nel caso lo siano, scrivi l equazione della retta su cui giacciono.
16 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 16 /20 8. ESERCIZI: DALL EQUAZIONE AL GRAFICO / L APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA RETTA Rappresenta in un grafico cartesiano le rette che hanno le seguenti equazioni. Per ogni retta assegnata stabilisci se i punti A e B le appartengono.
17 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 17 /20 9. ESERCIZI: DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA E VICEVERSA Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni.
18 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 18 / ESERCIZI: IL COEFFICIENTE ANGOLARE Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti.
19 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 19 / ESERCIZI: L EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA In base alle indicazioni date in ogni figura, ricava m e q e scrivi l equazione della retta rappresentata.
20 L EQUAZIONE DI UNA RETTA 20 / ESERCIZI: LA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E DI COEFFICIENTE ANGOLARE NOTO Scrivi l equazione della retta passante per il punto indicato e di coefficiente angolare assegnato e rappresentala.
Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:
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Esempio: Trovare le coordinate del punto medio del segmento di estremi. Applicando la formula, abbiamo che:
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