Corso di Fisica generale

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1 Corso di Fisica generale Liceo Scientifico Righi, Cesena Anno Scolastico 2014/15 3B Appunti su Lavoro ed Energia Riccardo Fabbri 1 (Dispense ed esercizi su

2 Il Lavoro Il lavoro fatto da una forza F costante nel muovere un corpo (quindi agente sul corpo) di una spostamento Δ S è definito come il prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento per il modulo dello spostamento. Nel caso semplice del trascinamento orizzontale di un corpo, come in figura, il lavoro risulta essere L = F Δ S. Attenzione: in fisica il termine lavoro ha un significato ben preciso, talvolta diverso da quello assunto nel linguaggio comune. Evidenziamo, per esempio, che non è un facchino che compie lavoro, bensì il facchino esercita una forza muscolare che a sua volta compie lavoro. Osserviamo che il lavoro è una grandezza scalare. Riccardo Fabbri 2 (Dispense ed esercizi su

3 Nel caso più generale di forza e spostamento con direzioni differenti, come rappresentato in figura è, per definizione di lavoro, L = OF' Δ S. Osserviamo che i triangoli OF' F e OSS' sono simili per cui vale la proporzionalità tra lati opposti ad angoli uguali: per cui OF ' OF = OS' OS = Δ S' Δ S L = OF' Δ S = OF Δ S' = F Δ S cos θ. Dati due vettori a e b, con θ l'angolo compreso tra essi, definiamo il prodotto scalare dei vettori come la quantità a b = a b cos θ. Risulta quindi che il lavoro è il prodotto scalare tra una forza applicata F e lo spostamento subito dal corpo Δ S : L = F Δ S = F Δ S cos θ. È immediato ricavare che, per esempio, in un moto circolare la forza centripeta non compie lavoro. Riccardo Fabbri 3 (Dispense ed esercizi su

4 Cosa possiamo dire quando la forza non è costante? Consideriamo ad esempio una forza F che sia una funzione della posizione S possiamo supporre di dividere il cammino Δ S in N segmenti di retta Δ s k, in ciascuno dei quali la forza sia approssimativamente costante; il lavoro può essere scritto come L = F 1 Δ s 1 + F 2 Δ s F N Δ s N = k=1 dove il simbolo indica la somma. N F k Δ s k, L'equazione ottenuta è rigorosamente valida solo nel limite di infiniti spostamenti Δ s k infinitesimi, poiché, in generale, un cammino curvo non può essere decomposto esattamente in un numero finito di segmenti di retta. Questo formalismo verrà trattato adeguatamente con lo strumento matematico degli integrali. Quando la proiezione della forza lungo il vettore spostamento ha lo stesso verso dello spostamento risulta che il lavoro L = F Δ S = F Δ S cos θ è positivo, essendo in questo caso cos θ > 0. Analogamente, nel caso in cui abbia verso opposto allo spostamento il lavoro eseguito è negativo. L'equazione dimensionale del lavoro è [ L ] = [F Δ S]=[ m l 2 t 2 ] Riccardo Fabbri 4 (Dispense ed esercizi su

5 ovvero, il lavoro ha le stesse dimensioni della energia cinetica. Le unità di misura sono il Joule = Nm nel sistema internazionale e l'erg = dine cm nel sistema C.G.S.; il lavoro di un joule è perciò quello compiuto da una forza costante di un Newton quando il punto di applicazione della forza subisce nella sua stessa direzione lo spostamento di un metro. Analogamente un erg è il lavoro compiuto da una forza costante di una dine se il punto di applicazione della forza subisce nella sua stessa direzione lo spostamento di un centimetro. Rappresentazione geometrica del lavoro L'espressione del lavoro è suscettibile di una rappresentazione geometrica molto utile per il calcolo del lavoro di una forza variabile in intensit à durante lo spostamento. A tal scopo, fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, e rappresentiamo sull'asse dell'ascisse lo spazio percorso S e su quello delle ordinate la componente F della forza parallela allo spostamento. Nel caso di una forza costante il lavoro è L = F Δ S ed è rappresentato dall'area del rettangolo tratteggiata in figura, L = F ( s 2 s 1 ). Nel caso di una forza che sia funzione della posizione possiamo pensare di Riccardo Fabbri 5 (Dispense ed esercizi su

6 dividere lo spostamento in N segmenti Δ s k in ciascuno dei quali la forza sia approssimativamente costante. Per ogni segmento k esimo di percorso calcoliamo il lavoro effettuato L k = F k, Δ s k approssimando la forza variabile F k,, per esempio, con il valore minimo della componente parallela della forza in quel tratto di percorso. Un valore approssimato del lavoro totale è dato dalla somma dei singoli k esimi lavori L k così calcolati geometricamente come area dei rispettivi rettangoli: L = L 1 + L L N = k=1 N L k Come osservato in precedenza questa asserzione è rigorosamente valida solo nel limite di infiniti spostamenti Δ s k infinitesimi. Useremo il metodo grafico per la valutazione del lavoro nel caso delle forze elastiche, per cui l'intensità varia durante lo spostamento. Riccardo Fabbri 6 (Dispense ed esercizi su

7 Teorema dell'energia cinetica Quando una forza agisce su un corpo e compie un lavoro induce su questo una accelerazione, e quindi una variazione del modulo della velocit à. Consideriamo l'esempio del ragazzo che trascina un blocco con una forza di direzione costante inclinata di un angolo α rispetto all'orizzontale: Il pacco è soggetto ad una forza orizzontale m a x = F cos θ ed accelera di una quantità cosθ, quindi si ha necessariamente una variazione a x = F m del modulo della velocità. Definiamo energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v la quantità K = 1 2 m v 2. Risulta quindi che un lavoro non nullo causa una variazione di energia cinetica. Quale forma funzionale assume questa variazione? Riccardo Fabbri 7 (Dispense ed esercizi su

8 Si dimostra il Teorema dell'energia cinetica: Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze applicate ad un punto materiale lungo un arco di traiettoria ÂB è uguale alla variazione della energia cinetica subita dal corpo nel passare da A a B L = 1 2 mv 2 B 1 2 m v 2 = Δ K. A Osserviamo che questo teorema è valido sempre, ogni qual volta il lavoro sia non nullo, e qualsiasi sia la natura delle forze in gioco. La dimostrazione generale del teorema si basa sulla 2 a legge della dinamica; di conseguenza il teorema non aggiunge nulla di nuovo dal punto di vista concettuale. Esprime una maniera alternativa di scrivere la legge del moto, utile nella soluzione di alcuni problemi. Dimostriamo il teorema nel caso particolare di una forza costante F e di uno spostamento caratterizzato dal moto rettilineo uniformemente accelerato avente la stessa direzione della forza. In questo caso il lavoro è L = F Δ S = ma Δ S. Essendo il moto uniformemente accelerato valgono le seguenti relazioni: Riccardo Fabbri 8 (Dispense ed esercizi su

9 { v = at +v 0 Δ S = 1 2 at 2 +v 0 t, ovvero at = v v 0, da cui Δ S= 1 2 t (v+v 0 ). Introducendo queste due relazioni nella espressione del lavoro risulta L = ma Δ S = ma 1 2 t (v+v 0 ) = 1 2 m at (v+ v 0 ) = 1 2 m (v v 0 ) (v+v 0 ) = 1 2 mv2 1 2 m v 0 È immediato verificare che nel caso di aumento (diminuzione) di energia cinetica il lavoro è positivo (negativo). Attenzione: con il teorema delle forze vive bisogna considerare la risultante di tutte le forze agenti sul corpo: 2. L = F tot Δ S = Δ K. Riccardo Fabbri 9 (Dispense ed esercizi su